专题03 双角平分线与角n等分线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题03 双角平分线与角n等分线模型 目录 1 模型1.双角平分线模型 1 模型2.角n等分线模型 13 16 模型1.双角平分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图，点在同一条直线上，分别平分． (1)求的度数； (2)如果，为平面内的一条射线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角之间的和差关系． （1）由角平分线定义可知，，再根据和可得结果； （2）分当在上方时，当在下方时，利用角之间的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， 则， ∵， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， 当在上方时， ； 当在下方时， ； 综上，为或． 例2．如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 【答案】(1)①；② (2)秒 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义； （1）①根据题意得出，进而根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； ②根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据题意得出第秒时，两个角都停止旋转，然后根据追及问题分析两角开始重合到分离的过程，转化为射线的旋转，分析与有重叠部分的时间，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∵ ∴， ∵，分别平分，． ∴， ∴ 故答案为：． ②∵，分别平分，． ∴， ∴ ∴ （2）解：∵以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时， ∴所用时间为秒， ∴第秒时，两个角都停止旋转， ∵以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转， ∴旋转过程中，同向旋转，且的速度大于的速度， 当第一次追上时， 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒时，两角开始有重叠部分 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒后，两角没有重叠部分； ∴与有重叠部分的时间为：秒 当第二次追上时，则射线旋转了 射线第二次与射线重合时，从开始起所用时间为：秒 同理射线第二次与射线重合时，与有重叠部分的时间为秒，即秒 又∵总用时间为秒， ∴第二次重叠时间为秒 ∴旋转过程中与有重叠部分的总时长为秒． 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算． （1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可； （2）同（1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 例2．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 【答案】(1) (2)是定值， (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意，，由角平分线的定义可得，，由，即可求解； （3）延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，①当在时，射线、都在内部；②当在时，射线、分别在、的内部；③当在时，射线、都在的内部；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，，平分，平分， ，， ； （2）解：的值是定值，为．理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，具体如下： ①当在时，射线、都在内部，由（2）得： ， ； ， ； ， ， ， ，解得； ②当在时，射线、分别在、的内部， 由（2）得：， ， ； 本题中的角均为大于且不大于的角， ， ， ； ， ， ，解得； ③当在时，射线、都在的内部，由（2）得：，，； 本题中的角均为大于且不大于的角， ； ， ，； ， ， ， 解得， 不满足， ③不成立，舍去． 综上所述，或． 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1．如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的相关计算． （1）根据邻补角得到，根据角平分线得到； （2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 例2．已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意易得射线在内部，则可分：当射线在内部时，当射线在内部时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：因为射线平分，， 所以， ∵， ∴； 故答案为； （2）解：因为射线和射线分别平分、，， 所以， 因为， 所以， ∴； （3）解：因为射线平分， 所以， 因为， 所以， 由可知射线在内部，则可分： 当射线在内部时，如图， 因为射线分别平分， 所以， 所以， 所以； 当射线在内部时，如图， 因为射线分别平分， 所以， 所以， 所以； 综上所述：或． 模型2.角n等分线模型 角n等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 例2．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 一、单选题 1．如图，点在直线上，、分别是、的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的性质可得，，再结合，即可获得答案． 【详解】解：∵分别是的角平分线， ∴，， ∵点在直线上， ∴， ∴． 故选：B． 2．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分，平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④；其中正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，与补角有关的计算，根据角平分线的定义，平角的定义以及补角的定义，结合角度之间的和差关系逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴，即：；故①正确； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中互补的角共有8对；故②错误； ∵，， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴ ∴；故④正确； 故选C． 3．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互补；②；③图中互余的角有7对；④其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：①∵平分， ∴ ∵平分， ∴ ∴， 又 ∴ ∴， ∴与互补，故①正确； ②∵平分，平分， ∴ ∴, ∴， 又 ∴， ∴， ∴，故②正确； ③互余的角有：与；与；与；与；与；与；与；与；与；共9对；故③错误； ④∵， ∴ ， 故④正确， 综上，正确结论是①②④，共3个， 故选：C． 4．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 二、填空题 5．如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出、、的度数和得出．由角的和差关系可得，根据角的平分线的行医可得，，结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    【答案】/88度 【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差，先根据角平分线的定义得到，，然后根据解题即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．如图，从顶点任意作一条射线，若是的平分线，是的平分线，，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握各角之间的和、差及倍数关系是解答本题的关键． 根据角平分线的定义可求得，即可解得． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ， ， ， 故答案为：． 8．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 三、解答题 9．如图，已知，，为内的两条射线，且，平分，平分． (1)求的度数； (2)在内沿顺时针方向转动，平分，平分，则在绕点转动的过程中，若，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论． （1）由，，可得，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可求解； （2）设，则，分两种情况：当在的下方时，当在的上方时，根据角的和差列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ； （2）当在的下方时，如答图①， 设，则． 平分，平分，， ，． ， ， 解得：， 即； 当在的上方时，如答图②， 设，则， 平分，平分，， ，， ， ， 解得：， 即． 综上所述，的度数为或． 10．如图所示，是平角，，，、分别是、的平分线． (1)猜想与是否互补，并说明理由； (2)求的度数； (3)如果只改变和的度数，其他条件不变，则与有什么样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)互补，见解析 (2)135度 (3) 【分析】本题主要考查角的运算，根据图形理清各个角之间的关系是解题的关键． （1）先求出，得，故可得结论； （2）先根据角平分线的意义求出和，再根据，即可求解； （3）根据、分别是的平分线，再利用角的和可得结论． 【详解】（1）解：与互补；理由如下： 因为，，是的平分线， 所以， 所以， 所以， 所以与互补； （2）解：因为，分别是、的平分线， 所以，， 所以； （3）解：． 因为，分别是、的平分线， 所以，， 所以． 11．如图①，，平分，平分． (1)已知，求的度数； (2)若（1）中，其他条件不变，求的度数； (3)在如图②中，若，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行计算． （1）依据，，即可得到．再根据平分，平分，即可得出； （2）依据，，即可得到．再根据平分，平分，可得，进而得到； （3）依据，，可得．再根据平分，平分，即可得到，即可得出． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以； （2）解：因为，， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以； （3）解：因为，， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 12．已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意易得射线在内部，则可分：当射线在内部时，当射线在内部时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：因为射线平分，， 所以， ∵， ∴； 故答案为； （2）解：因为射线和射线分别平分、，， 所以， 因为， 所以， ∴； （3）解：因为射线平分， 所以， 因为， 所以， 由可知射线在内部，则可分： 当射线在内部时，如图， 因为射线分别平分， 所以， 所以， 所以； 当射线在内部时，如图， 因为射线分别平分， 所以， 所以， 所以； 综上所述：或． 13．如图，有一副三角尺，，，． (1)把三角尺按图1所示方式放置，当平分时，求的度数： (2)将三角尺绕点O顺时针旋转，使射线重合，且平分，平分，在图2中补全图形，并直接写出的度数______； (3)如图3，将三角尺绕点O旋转，把旋转到的外部（始终在直线右侧），平分，平分，则的度数为______． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线定义得，再根据即可得出答案； （2）先求出，再根据角平分线定义得，，进而根据可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当都在直线的同侧时，设，则，，根据角平分线定义结合角的和与差计算可得出答案；②当都在直线的两侧时，同理即可得出答案，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：依题意得：， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：补全图形如图， 依题意得：，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：依题意得：在三角尺绕点O旋转的过程中，有以下两种情况： ①当都在直线的同侧时，如图①所示： 设， 则，， ∵平分，平分， ∴，，； ②当在直线的两侧时，如图②所示： 设， 则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 14．小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几何画板制作了一道关于角的动态问题，如图1，平面上顺时针排列射线，在外部且为钝角，，射线分别平分（题目中所出现的角均小于且大于）．请用学过的知识帮他求解以下问题． (1)若， ， ； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（的对应边分别是），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值． 【答案】(1)； (2)的值不会随着的变化而变化，定值为 (3)81或174 【分析】（1）先求出，再由，可求出，再根据角平分线定义求出，从而可得出结论； （2）设，可得，再由，可求出，再根据角平分线定义求出，从而可得出结论； （3）分五种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：的值不会随着的变化而变化， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴， ∴， 即的值不会随着的变化而变化，定值为； （3）解：由（1）得：， 当时， ∵， ∴，无解； 当时， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴，无解； 当时， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴，无解； 综上所述，t的值为81或174． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 双角平分线与角n等分线模型 目录 1 模型1.双角平分线模型 1 模型2.角n等分线模型 13 16 模型1.双角平分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图，点在同一条直线上，分别平分． (1)求的度数； (2)如果，为平面内的一条射线，且，求的度数． 例2．如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 例2．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1．如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 例2．已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 模型2.角n等分线模型 角n等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 例2．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 一、单选题 1．如图，点在直线上，、分别是、的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分，平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④；其中正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互补；②；③图中互余的角有7对；④其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 二、填空题 5．如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ． 6．如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    7．如图，从顶点任意作一条射线，若是的平分线，是的平分线，，则的度数为 8．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 三、解答题 9．如图，已知，，为内的两条射线，且，平分，平分． (1)求的度数； (2)在内沿顺时针方向转动，平分，平分，则在绕点转动的过程中，若，求的度数． 10．如图所示，是平角，，，、分别是、的平分线． (1)猜想与是否互补，并说明理由； (2)求的度数； (3)如果只改变和的度数，其他条件不变，则与有什么样的数量关系？请直接写出结论． 11．如图①，，平分，平分． (1)已知，求的度数； (2)若（1）中，其他条件不变，求的度数； (3)在如图②中，若，其他条件不变，求的度数． 12．已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 13．如图，有一副三角尺，，，． (1)把三角尺按图1所示方式放置，当平分时，求的度数： (2)将三角尺绕点O顺时针旋转，使射线重合，且平分，平分，在图2中补全图形，并直接写出的度数______； (3)如图3，将三角尺绕点O旋转，把旋转到的外部（始终在直线右侧），平分，平分，则的度数为______． 14．小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几何画板制作了一道关于角的动态问题，如图1，平面上顺时针排列射线，在外部且为钝角，，射线分别平分（题目中所出现的角均小于且大于）．请用学过的知识帮他求解以下问题． (1)若， ， ； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（的对应边分别是），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$