7.1 正弦函数的图像与性质（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第七章 三角函数 7.1正弦函数的图像与性质 前一章学习了三角，无论是在锐角三角形中，还是在平面直角坐标系中，我们都是从几何的角度，把正弦、余弦和正切看成一个比值.本章我们将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质. 与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数具有周期性，在现实生活中存在大量的周期现象，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等.三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型.根据19世纪法国数学家傅里叶建立的傅里叶级数理论，一般的周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数表示，它确认了正弦函数和余弦函数在周期现象研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用. 第7章 序言 我们已经知道，任意一个给定的实数x都对应着唯一确定的角(其弧度数等于实数x),而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x.这样，对于任意一个给定的实数x,都有唯一确定的正弦值sinx与之对应.按照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作y=sin x.正弦函数的定义域是实数集R. 正弦函数的图像 对任意给定的实数x,都有sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z.这说明当x的值增加或减少2π的整数倍时，sinx的值会重复出现.因此，只要作出正弦函数y=sinx在区间[0,2π]上的图像，就可以得到正弦函数在R上的图像. 下面，我们结合单位圆，利用描点法作y=sinx的大致图像.为了描出y=sinx图像上的某个点M(a,sinα),先在平面直角坐标系的x轴上任取一点O,以点O1为圆心的单位圆与x轴有两个交点，其中右边的一个交点记作A(图7-1-1).设P是此单位圆上一点，∠AO1P=α,作PQ垂直于x轴，其垂足为Q.对比以坐标原点O为圆心的单位圆中角α的终边与单位圆的交点，可知点P的纵坐标为sinα,而QP的长是|sinα|.在x轴上取点N(α,0),将线段QP平移至NM的位置使点Q与点N重合，从而点M的坐标为(a,sinα),这样就得到了函数y=sin x图像上的一点M. 随着α的变化，可以得到函数y=sinx图像上的其他点. 因为sin(x+2kπ)=sin x,k∈Z,所以函数y=sinx∈[2π,4π],x∈[4π,6π],…时的图像与y=sin x,x∈[0,2π]的图像形状完全一样，只需将后者向右平移2π、4π、…就可得到.同样，函数y=sinx当x∈[-2π,0],x∈[-4π,-2π],…时的图像与y=sin x,x∈[0,2π]的图像形状也完全一样，只需将后者向左平移2π、4π、…就可得到.这样，就可以得到函数y=sin x的图像(图7-1-3).正弦函数y=sin x的图像通常称为正弦曲线. 从图7-1-2可知，(0,0)、(2,1)、(π,0)、和(2π,0)是函数y=sin x,x∈[0,2π]图像的五个关键点.我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数y=sin x,x∈[0,2π]的大致图像(图7-1-4). 这种通过五个关键点作出正弦函数大致图像的方法，通常称为“五点(作图)法”. (1)周期性 由正弦曲线(图7-1-3)可知，正弦函数的值随着自变量的变化呈现出周期性的变化.这种“周而复始”的变化规律可以用数学式子表示为 sin(x+2π)=sin x. 正弦函数的这种性质称为周期性.这样，若记f(x)=sinx,则对任意给定的实数x,都有f(x+2π)=f(x).一般地，如何用数学语言来描述一个函数的周期性呢? 定义 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取其定义域D中的任意值时，有x+T∈D,且成立 f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做周期函数,而这个非零常数T就叫做函数y=f(x)的一个周期. 正弦函数的性质 对于一个周期函数y=f(r),如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y=f(x)的最小正周期. 因为对任意给定的实数x,都有sin(x+2kπ)=sin x,k∈Z,由周期函数的定义，正弦函数y=sinx是周期函数，而2kπ(k∈Z,k≠0)均是它的周期.可以证明，2π是它的最小正周期.事实上，若定义域为R的函数y=f(x)具有正周期T,由于对此函数定义域中任意给定的实数x,总成立f(x+T)=f(x),因此函数y=f(x+T)与函数y=f(x)必具有完全相同的图像.换而言之，将函数y=f(x)的图像向左平移T个长度单位，所得图像与y=f(x)原来的图像必完全重合.对于正弦函数y=sin x,对任何给定的T'(O<T'<2π),因为： sin( +T')=cosT'≠1,即y=sin( +T')≠sin ，所以 y=sin （x+T'）的图像与y=sinx的图像绝不会相同.这说明正弦函数绝不会有小于2π的正周期，从而其最小正周期为2π. (2)值域与最值 设角x的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(图7-1-6),点P的坐标为(u,v).由正弦的定义，sinx=v,于是有|sinx|=|v|≤1. 因此，正弦函数y=sinx,x∈R的值域为[-1,1],其最大 值为1,最小值为-1. (3)奇偶性 对任意给定的x∈R,等式sin(一x)=-sin x都成立，因此正弦函数y=sinx是一个奇函数，从而其图像关于坐标原点中心对称. (4)单调性 由于正弦函数是以2π为最小正周期的周期函数，因此在研究它的单调区间时，只需选择一个长度为2π的合适的区间进行考察.方便起见，我们可以在 上研究正弦函数y=sinx 的单调性. 题型1　“五点法”作图的应用 例1 利用“五点法”作出函数y＝2－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解：(1)取值列表如下． 题型归纳 (2)描点连线，如图所示． 用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤 (1)列表： 利用三角函数图象解sin x＞a的三个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝sin x的图象． (2)确定sin x＝a的x值． (3)确定sin x＞a的解集． 提醒：解三角不等式sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集． 题型3　正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题 例3 求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0解的个数． 判断方程解的个数的关注点 (1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解． (2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定． 易错警示　利用正弦函数图象判断方程根的个数没有找准临界点致误 练：方程sin x＝lg x的实数根有 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 错解：如图所示，y＝sin x与y＝lg x的图象，有且只有1个公共点．故选A. 易错防范：作y＝lg x图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图． 正解：在同一平面直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点，故原方程的实根有3个．故选C. 题型4　正弦函数、余弦函数的单调性 单调区间的求法 求形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数， (1)当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；放入y＝sin x的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． (2)当A＜0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递减区间；放入y＝sin x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间． 提醒：求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sin x的单调区间来解决．当A＜0或ω＜0时，要注意原函数的单调性与y＝sin x的单调性的关系． 易错防范：内层函数为减函数，因此不能直接套用y＝sin x的单调递增区间来求．防范措施是先将y＝sin(ωx＋φ)中的ω变为正数，然后再求解． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x 2 1 2 3 2 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y b A＋b b －A＋b b $$