第02讲 二次根式的性质（2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第02讲 二次根式的性质 （2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①二次根式的化简； ②复合二次根式的化简； 1. 掌握二次根式的化简； 2. 掌握复合二次根式的化简； 知识点01.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即学即练5】 1、下列等式正确的是（　　） A．＝﹣2 B．＝±9 C．＝﹣2 D．＝﹣5 【答案】C 【解答】解：CA、＝2，故A不符合题意； B、＝9，故B不符合题意； C、＝﹣2，故C符合题意； D、无意义，故D不符合题意； 故选：C． 【即学即练6】 2、下列各式中，正确的是（　　） A． B．﹣ C． D． 【答案】B 【解答】解：∵＝|﹣3|＝3， ∴A选项的结论不正确； ∵﹣＝﹣3， ∴B选项的结论正确； ∵＝|﹣3|＝3， ∴C选项的结论不正确； ∵＝3， ∴D选项的结论不正确， 故选：B． 知识点02.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即学即练7】 3、若a＜0，则化简|a﹣3|﹣的结果为（　　） A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3 【答案】B 【解答】解：∵a＜0， ∴a﹣3＜0， ∴|a﹣3|﹣ ＝3﹣a﹣（﹣a） ＝3﹣a+a ＝3， 故选：B． 【即学即练8】 4、当1＜a＜2时，代数式+的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a 【答案】A 【解答】解：∵1＜a＜2， ∴a﹣2＜0，a﹣1＞0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣1| ＝2﹣a+a﹣1 ＝1． 故选：A． 题型01 二次根式的直接化简问题 【典例1】化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)20 (2)72 (3)6b 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式性质是解题的基础． （1）将800化为，根据二次根式的性质化简以上各式即可求解； （2），根据二次根式的性质化简以上各式即可求解； （3）根据二次根式的性质化简以上各式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即最简二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质求解即可； （2）根据二次根式的性质求解即可； （3）根据二次根式的性质求解即可； （4）根据二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）根据，再利用算术平方根的性质进行化简即可； （2）根据，再利用算术平方根的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式4】求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式化简和立方根的定义；掌握二次根式的性质和立方根的定义进行计算是解此题的关键， （1）根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可； （3）根据二次根式的性质进行计算即可； （4）先算减法，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型02 二次根式中数轴化简问题 【典例1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简，的结果是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， 则 ． 故选：B． 【变式1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据数轴化简绝对值，解题的关键是根据数轴得出． 根据数轴得出，则，根据绝对值和二次根式的非负性，即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和计算立方根，根据数轴可得到，则，据此计算立方根和化简二次根式并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】实数 a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示， 则化简得 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简，解题关键是掌握二次根式与绝对值的化简方法． 本题可以先确定和的符号，再化简即可求解． 【详解】解：由图可知，，且 ∴，， ∴原式 ， 故答案为： ． 【变式4】探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)①4；0；a；②3；5；； (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． （）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出，； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：，， 探究：对于任意非负有理数a，； ，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，； （2）解：观察数轴可知： ，，， ． 题型03 给出字母范围化简二次根式 【典例1】已知，则代数式化简后为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．先根据判断出和的符号，再进行计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式1】如果，那么的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，根据完全平方公式可得出，结合已知条件可得出，进而可得出． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】若化简的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，化简绝对值，熟练掌握和运用利用二次根式的性质化简是解决本题的关键．首先根据二次根式的性质化简，再根据化简绝对值，据此即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：3． 【变式3】已知，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，先根据已知判断出被开方数的符号，再根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4】当 时，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，先判断，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 题型04 利用字母的关系化简二次根式 【典例1】当时，化简的结果是（　　） A． B．b C．b D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，结合，得出异号，因为，所以，据此化简即可作答． 【详解】解：∵， ∴异号， ∵的，且， ∴， 则化简的结果是， 故选：A． 【变式1】若，则（     ） A． B．2b C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式、二次根式性质等知识，先由平方差公式、再由二次根式性质化简即可得到答案，熟记平方差公式、二次根式性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 【变式2】已知，那么可化简为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据有意义，可知，再由，可得，据此根据化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式4】已知，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据题意，先求出，再根据进行化简即可． 【详解】解：∵，且有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 20．若，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查了求算术方根及二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键。由，得，进而得，代入求解即可。 【详解】解：由，得， ∴且， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 题型05 利用二次根式非负性化简二次根式 【典例1】已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一元一次不等式组解法，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件求出，进而求出的值，代入中进行计算求解． 【详解】解：根据二次根式的意义得，， ， 当时，，， ， ∴， 故选：A． 【变式1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，化简二次根式，根据非负数的性质得到，则，据此计算出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】已知满足，则 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查二次根式的性质，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，由此可化简绝对值，得，所以有，由此即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023 【变式3】设x、y为实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数，化简二次根式，求一个的平方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得到且，从而得到x的值，再计算出对应的y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：且， ∴， 当时，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【变式4】阅读下面的材料后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：； 乙的解答是：． (1) 的解答是错误的． (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ． (3)模仿上题化简并求值：，其中． 【答案】(1)甲 (2)当时， (3)；8 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握，是解题的关键： （1）甲在化简二次根式的时候出现错误； （2）当时，； （3）根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简求值即可． 【详解】（1）解：甲在化简二次根式的时候出现错误； 故答案为：甲； （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：当时，； （3）∵ ∴ ． 题型06 根据三角形三边关系化简二次根式 【典例1】已知的三边之长分别为2、5、m，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系可得出，再根据二次根式有意义的条件即可将原式化简求值． 【详解】的三边之长分别为2、5、m， 即 ， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中的被开方数为非负数是解题的关键． 【变式1】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（             ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积． 【详解】解：，，． ， 的面积； 故选：B． 【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算． 【变式2】已知3，m，5是一个三角形的三边，化简： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，二次根式化简，先根据三角形三边关系得出，然后再化简二次根式即可． 【详解】解：∵3，m，5是一个三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 【变式3】若a，b，c是三角形的三边，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形三边的关系，二次根式性质的化简，整式的加减，先根据三角形三边的关系去绝对值，化简二次根式，然后利用整体代入计算即可． 【详解】原式， 故答案为：4． 【变式4】已知a、b、c是三角形的三边，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可． 【详解】解：∵a，b，c为三角形三边， ∴，，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，整式加减运算，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系，是解题的关键． 题型07 复合二次根式的化简 【典例1】如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】先估算出，再根据不等式的性质，得到，即可得到答案，此题考查了无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质，熟练掌握方法是解题关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C表示的数与最接近， 故选：C． 【变式1】下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式2】当时，化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式3】形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 【变式4】先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 题型08 二次根式化简的新定义问题 【典例1】对于任意两个正数，定义运算※为：，计算的结果为（    ） A． B． C．5 D．或5 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方差公式，二次根式的性质，利用新定义的规定运算，转化成二次根式的运算，利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：※※ ． 故选：C． 【变式1】对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：；例如．那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的运算，二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】对于任意不相等的两个实数，，定义运算如下：，如，那么的运算结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，化简二次根式，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3】对于任意不相等的两个实数，，定义一种算法，例如：， 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“”的运算方法．根据，用与的差的算术平方根除以与的和，求出的值即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【变式4】对于任意两个不相等的数，，定义一种运算：，若，则 ， ．（其中为负数） 【答案】 【分析】先根据新定义列式，再计算化简即可. 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是实数的新定义运算，二次根式的化简，理解运算法则是解本题的关键. 1．关于的叙述不正确的是（   ） A． B．面积是8的正方形的边长是 C．是正无理数 D．是64的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．解题的关键是熟知无理数的定义及二次根式的性质． 根据二次根式的性质即可依次判断． 【详解】A. ，∴A选项正确； B. 面积是8的正方形的边长是，∴B选项正确； C. 是正无理数，∴C选项正确； D. 8是64的算术平方根，∴D选项不正确． 故选：D． 2．下列各式中运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，立方根等知识，解题的关键是掌握二次根式的性质．利用二次根式的性质一一判断即可． 【详解】A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 3．a，b为实数，在数轴上的位置如图，则的值是（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】此题考查学生对绝对值代数意义的理解，以及掌握二次根式的性质与化简．我们常常利用数轴来确定数的正负及大小，体现了数形结合的数学思想．根据数轴可知a大于0，b小于0，从而得到大于0，根据负数的绝对值等于它的相反数可把第一个加数化简，然后根据及b为负数，把第二个加数化简，合并即可求出值． 【详解】解：观察数轴可知：， ∴， ． 故选：C． 4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 5．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简，根据数据可得第个数为，据此即可求解，由已知数据找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴个数据应是， 故选：． 6．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故答案为：． 7．已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次函数的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 8．观察分析下列数据：，…，根据数据排列的规律，得到第28个数据应是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察前面几个数可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，根号下的数为3乘以序号减1的结果，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， 第五个数为， ……， 以此类推，可知，第n个数为， ∴第28个数据应是， 故答案为：． 9．已知，当x分别取1，2，3，……，2022时，所对应的y值的总和是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质． 依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即当时，； 当时，， 即当x分别取2，3，…，2022时，y的值均为1， ∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是． 故答案为：2024． 10．形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将转化为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)20 (2)72 (3)6b 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式性质是解题的基础． （1）将800化为，根据二次根式的性质化简以上各式即可求解； （2），根据二次根式的性质化简以上各式即可求解； （3）根据二次根式的性质化简以上各式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 12．已知实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的点确定式子的符号，绝对值的化简，二次根式的性质化简，理解数轴上的点确定式子的符号，掌握绝对值的性质化简，二次根式的性质化简是解题的关键． 根据数轴的特点可得，，，，由此，，，结合绝对值的性质，二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由题图可知，，，， 故，，， ∴ ． 13．同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如；，下面我们观察：，反之，，，．根据以上材料，求： (1)； (2)； (3)若，则、与、的关系是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键． （1）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （2）将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【详解】（1）解：， （2）解：； （3）解：，， 理由：， ， ， ，． 14．新考法．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_______的解法是错误的，错误的原因是_______； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮；未能正确运用二次根式的性质 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）． （2）解：， ， 则 ． 当时，原式． 15．通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 【答案】(1)①4，；② (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算,实数与数轴以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出； （2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简， 合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意①； ； 探究：对于任意非负有理数，． 故答案为：4，； ②； 探究：对于任意负有理数，． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：2，3，，； （2）解：观察数轴可知：，，，． ． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的性质 （2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①二次根式的化简； ②复合二次根式的化简； 1. 掌握二次根式的化简； 2. 掌握复合二次根式的化简； 知识点01.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即学即练5】 1、下列等式正确的是（　　） A．＝﹣2 B．＝±9 C．＝﹣2 D．＝﹣5 【即学即练6】 2、下列各式中，正确的是（　　） A． B．﹣ C． D． 知识点02.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数；被开方数中不含． 【即学即练7】 3、若a＜0，则化简|a﹣3|﹣的结果为（　　） A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3 【即学即练8】 4、当1＜a＜2时，代数式+的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a 题型01 二次根式的直接化简问题 【典例1】化简： (1)； (2)； (3)． 【变式1】化简： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】化简 (1) (2) 【变式4】求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 二次根式中数轴化简问题 【典例1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简，的结果是（   ） A． B． C． D．0 【变式1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简（    ） A． B． C． D． 【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是 【变式3】实数 a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示， 则化简得 ． 【变式4】探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型03 给出字母范围化简二次根式 【典例1】已知，则代数式化简后为（      ） A． B． C． D． 【变式1】如果，那么的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若化简的结果为 ． 【变式3】已知，化简 ． 【变式4】当 时，化简 ． 题型04 利用字母的关系化简二次根式 【典例1】当时，化简的结果是（　　） A． B．b C．b D． 【变式1】若，则（     ） A． B．2b C． D． 【变式2】已知，那么可化简为 ． 【变式4】已知，化简： ． 20．若，求的算术平方根． 题型05 利用二次根式非负性化简二次根式 【典例1】已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【变式1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知满足，则 ． 【变式3】设x、y为实数，且，则的平方根是 ． 【变式4】阅读下面的材料后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：； 乙的解答是：． (1) 的解答是错误的． (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ． (3)模仿上题化简并求值：，其中． 题型06 根据三角形三边关系化简二次根式 【典例1】已知的三边之长分别为2、5、m，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 【变式1】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（             ） A． B． C． D． 【变式2】已知3，m，5是一个三角形的三边，化简： ． 【变式3】若a，b，c是三角形的三边，，则 ． 【变式4】已知a、b、c是三角形的三边，化简：． 题型07 复合二次根式的化简 【典例1】如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 【变式1】下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】当时，化简： ． 【变式3】形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【变式4】先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 题型08 二次根式化简的新定义问题 【典例1】对于任意两个正数，定义运算※为：，计算的结果为（    ） A． B． C．5 D．或5 【变式1】对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：；例如．那么等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】对于任意不相等的两个实数，，定义运算如下：，如，那么的运算结果为 ． 【变式3】对于任意不相等的两个实数，，定义一种算法，例如：， 【变式4】对于任意两个不相等的数，，定义一种运算：，若，则 ， ．（其中为负数） 1．关于的叙述不正确的是（   ） A． B．面积是8的正方形的边长是 C．是正无理数 D．是64的算术平方根 2．下列各式中运算正确的是（） A． B． C． D． 3．a，b为实数，在数轴上的位置如图，则的值是（    ） A． B．a C． D． 4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 5．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（   ） A． B． C． D． 6．化简： ． 7．已知，化简： ． 8．观察分析下列数据：，…，根据数据排列的规律，得到第28个数据应是 ． 9．已知，当x分别取1，2，3，……，2022时，所对应的y值的总和是 ． 10．形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 11．化简： (1)； (2)； (3)． 12．已知实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 13．同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如；，下面我们观察：，反之，，，．根据以上材料，求： (1)； (2)； (3)若，则、与、的关系是什么？并说明理由． 14．新考法．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_______的解法是错误的，错误的原因是_______； (2)求代数式的值，其中． 15．通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$