精品解析：湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年下学期期中质量监测试题 九年级数学 时量∶120分钟 总分∶120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 反比例函数是的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且相似比为3，若，则为（ ） A. 2 B. 9 C. 18 D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 6. 如图，在中，如果，，则下列比例式中不正确的是( ) A. B. C. D. 7. 如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（ ） A. 1：3 B. 2：3 C. 1：4 D. 2：5 9. 已知方程可以配方成，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程：解为：____________． 12. 一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式是______． 13. 已知，则_____． 14. 若函数y=4x与y=图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是________ 15. 岳阳县工业园区今年九月份提供就业岗位200个，并按计划逐月增长，预计十一月份将提供岗位242个．设十、十一两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为_______． 16. 已知m、n是方程的两个根，则的值为______． 17. 如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则值为____________. 18. 在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为___． 三、解答题：（共66分）) 19 解方程： 20. 学校网球场的网高为，如图，轩轩同学在课外活动课打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的点A位置上，已知球拍垂直于地面的点B离网，求此时球拍击球时的高度h为多少？ 21. 已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为1，求的值； （2）当为何值时，是矩形． 22. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 23. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克元； 小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的储售价为每千克多少元？ 24. 如图，四边形和四边形都是正方形，三点在一直线上，连接并延长交边于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求正方形的对角线的长． 25. 阅读理解： 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，，的值； （2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； （3）过A，C两点直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期期中质量监测试题 九年级数学 时量∶120分钟 总分∶120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 反比例函数是的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是正确理解当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限． 【详解】解：由可得，， ∴图象分别位于第一、三象限， 故选：． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握定义是关键． 根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、是一元二次方程，故此选项符合题意； C、不是整式方程，所以不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知，且相似比为3，若，则为（ ） A. 2 B. 9 C. 18 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形对应边比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为3， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可判断． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键． 5. 已知反比例函数，下列结论中，不正确是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， ∴图象必经过点，正确，不符合题意； B、， ∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意； C、， ∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； D、∵当时，， ，正确，不符合题意， 故选：C． 6. 如图，在中，如果，，则下列比例式中不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．根据平行四边形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例判断各项即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D不正确，符合题意． 故选：D． 7. 如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式分解，由和是方程的两个根可得，进而可得，即可求解，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴， 即， ∴多项式可以分解因式为， 故选：． 8. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（ ） A 1：3 B. 2：3 C. 1：4 D. 2：5 【答案】A 【解析】 【详解】∵DE为△ABC的中位线， ∴AE=CE 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS） ∴S△ADE=S△CFE ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2 ∴S△ADE：S△ABC=1：4 ∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED=1：3 ∴S△CEF：S四边形BCED=1：3 故选：A. 9. 已知方程可以配方成，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．利用配方法判断出可得结论． 【详解】解：， ， ， 又可以配方成， ， ． 故选：B． 10. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程：的解为：____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，用因式分解法解方程即可解得答案． 【详解】解：， 即， 解得，． 故答案为：，． 12. 一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用待定系数法解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，正确确定k值是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 故答案：． 13. 已知，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质设，，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 14. 若函数y=4x与y=的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是________ 【答案】( 【解析】 【详解】试题解析：正比例函数y=4x与反比例函数y=的图象均关于原点对称，则其交点也关于原点对称， 那么（，2）关于原点的对称点为：（-，-2）． 故答案为（-，-2）． 15. 岳阳县工业园区今年九月份提供就业岗位200个，并按计划逐月增长，预计十一月份将提供岗位242个．设十、十一两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据今年九月份提供就业岗位200个，预计十一月份将提供岗位242个．设十、十一两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，则列方程为，即可作答． 【详解】解：∵今年九月份提供就业岗位200个，并按计划逐月增长，预计十一月份将提供岗位242个．设十、十一两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为， ∴， 故答案为：． 16. 已知m、n是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程有两，，则，是解题的关键． 先由根与系数的关系求得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 17. 如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则值为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．连接、，如图，由于轴，根据三角形面积公式得到，再利用反比例函数系数k的几何意义，即可作答． 【详解】解：连接、，如图， 轴， ， 而， ， 而， . 故答案为：4 18. 在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，分式化简求值．熟练掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．把分别代入与，得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：把分别代入与，得 ，， ∴，， ∴． 故答案：1． 三、解答题：（共66分）) 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程化为一般式，再运用公式法解方程即可. 【详解】将方程化为一般式，得 由题可知，所以 即， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，当直接运用直接开平方法、配方法或因式分解法有困难时，可选择用公式法直接解方程，牢记公式法的形式是解题关键. 20. 学校网球场的网高为，如图，轩轩同学在课外活动课打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的点A位置上，已知球拍垂直于地面的点B离网，求此时球拍击球时的高度h为多少？ 【答案】h=1.5m 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程． 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行得，根据其相似比即可求解即可． 【详解】解：∵， , ∴， 即， 则 ∴． 21. 已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为1，求的值； （2）当为何值时，是矩形． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定． （1）将代入方程，求出的值即可； （2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根， ∴当的长为1时，， 解得：； 【小问2详解】 ∵的两对角线，， ∴当时，是矩形， 方程有两个相等的实数根， ， 解得，即的值为1． 22. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 23. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克元； 小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的储售价为每千克多少元？ 【答案】这种水果的储售价为每千克29元 【解析】 【分析】设每千克降低元，超市每天可获得销售利润元，根据利润=单个的利润×销售量，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意得， ， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为元千克． 答：这种水果的储售价为每千克元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，四边形和四边形都是正方形，三点在一直线上，连接并延长交边于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求正方形的对角线的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得到相关角度，结合对顶角相等，等量代换，再由两个三角形相似的判定定理即可得证； （2）由正方形性质及等腰直角三角形性质得到边的关系以及角度关系，再由两个三角形相似的判定定理即可得证； （3）根据勾股定理、相似三角形的性质列式求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查正方形性质、对顶角相等、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 25. 阅读理解： 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系． 【答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由如下： ∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC． ∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC． ∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点． （2）作图如下： （3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM．∴∠BCE=∠ECM=∠AEM． 由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD． ∴∠BCE=∠BCD=30°．∴BE=CE=AB． 在Rt△BCE中，， ∴，∴． 【解析】 【详解】试题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解． （2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可． （3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，，的值； （2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； （3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得，求k的值． 【答案】（1），， （2）点的坐标为或， （3） 【解析】 【分析】（1）把代入得，把代入得；把代入得； （2）设，由（1）知，，而，①当，为对角线时，，的中点重合，，②当，为对角线时，，的中点重合，，③当，为对角线时，，的中点重合，，分别解方程组可得答案； （3）设点，则点，根据，得，即：，解得：，（不合题意，舍去），求得点，再用待定系数法求出直线解析式为，又有且只有一点，则只有一个解，即有两个相等实数根，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得， 把点代入得，即：，则， 所以，， 【小问2详解】 解：设， 由（1）知，，而， ①当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ②当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ③当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ， 这种情况不符合题意； 综上所述，的坐标为或，的值为； 【小问3详解】 解：设点，则点， ∵ ∴，即：， 解得：，（不合题意，舍去） ∴点， 设直线解析式为， 将点、点代入， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵过两点的直线与双曲线有且只有一点， ∴，即：方程有且只有一个解， ∴，得． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，平行四边形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$