精品解析：山东省青岛市莱西市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省青岛市莱西市九年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分） 1. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功，3名航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽顺利进驻中国空间站，与神舟十八号3名航天员顺利会师．载人航天飞船的发射场受到我国超过120000000人的关注，120000000这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 其施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖米，则依题意列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ） A. B. C. π D. 2π 8. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 9. 计算：________． 10. 如图，三个顶点的坐标分别是，，，将向下平移个单位长度得到，之后将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是________． 11. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是__． 12. 如表是函数与部分自变量与函数值的对应关系，结合表格，当的图象在的图象上方时，则x的取值范围是_________． x 1 1 7 7 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____． 14. 如图，已知矩形，，，点为边上一点，连接，以为一边在与点的同侧作正方形，连接．当点在边上运动时，的最小值是______． 三、作图题（本题满分4分）用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹。 15. 已知：如图，；求作：点P，使，且点P在边的高线上． 四、解答题（本题满分74分，共10道小题） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 17. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛． （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______； （2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率． 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______； （2）表格中的____，_____（填“”“”或“”）； （3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当小明将拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当小明将拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：，，，，，） 20. 如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E． （1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证； （2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 　 　（只填序号）． 21. 如图，在中，，，点直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图①，当，且点在线段上时，线段和之间数量关系是 ； （2）如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； （3）当，，时，请求出的长． 22. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 23. 如今我国大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米． 图2 （1）直接写出，的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 24. 问题：某兴趣小组开展综合实践活动：如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系． 探究： （1）[初步感知]：如图1，当点由点运动到点时． ①当时，  ． ②求出关于的函数解析式； （2）[建立模型]：当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． （3）[延伸探究]：若存在3个不同时刻分别为，这3个时刻分别对应的正方形的面积均相等，求的值． 25. 如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在边上时，用含t的代数式表示线段的长； （2）当点F落在的平分线上时，求t的值； （3）连结，当为钝角时，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省青岛市莱西市九年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分） 1. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形， B．是轴对称图形但不是中心对称图形， C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形， D．既是轴对称图形也是中心对称图形． 故选D． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，是解题的关键． 2. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功，3名航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽顺利进驻中国空间站，与神舟十八号3名航天员顺利会师．载人航天飞船的发射场受到我国超过120000000人的关注，120000000这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解∶， 故选∶B． 3. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可． 【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键． 4. 下列运算中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式除法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式，根据整式除法、积的乘方的运算法则以及合并同类项和完全平方公式计算分析即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，故选项符合题意； B、，原式计算错误，故选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； D、，原式计算错误，故选项不符合题意． 故选：A． 5. 其施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖米，则依题意列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设原计划每天挖米，则开工后每天挖米，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每天挖米，则开工后每天挖米，根据题意得： ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 6. 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．首先根据菱形的一组邻角互补可以求出，再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得、，所以可得，根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得． 【详解】解：如下图所示， 四边形是菱形， ， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， 在中，， ， 点是的中点， ， ． 故选：C． 7. 如图，在中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ） A. B. C. π D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，为等边三角形，，可得弧长的值． 【详解】解：如图连接、、 ∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角，弧长等知识．解题的关键在于找出弧长所对的圆心角以及半径． 8. 已知二次函数图象一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 9. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先化简二次根式、计算零指数幂，然后计算加减法． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 如图，三个顶点的坐标分别是，，，将向下平移个单位长度得到，之后将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，旋转的性质，熟练掌握平移的性质，旋转的性质是解题的关键． 根据平移的性质、旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∴点的坐标是， 故答案为：． 11. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），连接，过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 则阴影部分的面积是 ， 故答案为：． 12. 如表是函数与部分自变量与函数值的对应关系，结合表格，当的图象在的图象上方时，则x的取值范围是_________． x 1 1 7 7 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例与一次函数的交点问题，与不等式的关系，涉及待定系数法求解析式． 根据表格信息建立方程组求解k，b的值，由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：当时，，即， ∴， ∴一次函数为， ∵当时，， ∴当时，即， ∴反比例函数为：， 由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为， ∴当的图象在图象上方时，x的取值范围为或． 故答案为：或． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵Rt△ABC中，BC=6，sinA= ∴AB=10 ∴． ∵D是AB的中点，∴AD=AB=5． ∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB， ∴ 即 解得：DE=． 14. 如图，已知矩形，，，点为边上一点，连接，以为一边在与点的同侧作正方形，连接．当点在边上运动时，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，，设，则，，利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 设，则，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值为， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些性质． 三、作图题（本题满分4分）用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹。 15. 已知：如图，；求作：点P，使，且点P在边的高线上． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和垂线的作图，垂直平分线的性质等知识．根据点C作，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 四、解答题（本题满分74分，共10道小题） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】（1）；（2）无解，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法和除法混合运算，解一元一次不等式组，正确运用相关运算法则是解题的关键． （1）按照分式的运算法则化简即可； （2）分别求出不等式的解集，再得到原不等式组是解集，数轴上表示即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组无解． 在数轴上表示 17. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛． （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______； （2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案； （2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种， ∴恰好选中乙的概率为； 故答案为：； （2）分别用字母A，B表示女生，C，D表示男生 画树状如下： 4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种， ∴（1女1男）． 答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 78 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______； （2）表格中的____，_____（填“”“”或“”）； （3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1）图见解析， （2）7.5， （3）选择乙公司，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，方差的意义，求中位数，扇形统计图，解题的关键是熟练掌握扇形统计图的特点． （1）求出甲公司配送速度得分为9分的频数，补全频数分布直方图即可；用乘以扇形统计图中“7分”的百分比，即可得扇形统计图中圆心角α的度数． （2）根据中位数的定义可得m的值；根据方差的意义可得答案． （3）根据配送速度和服务质量得分统计表分析即可． 【小问1详解】 解：甲公司配送速度得分为9分的频数为． 补全频数分布直方图如图所示． 扇形统计图中圆心角α的度数为． 【小问2详解】 解：由频数分布直方图可得，． 由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小， ∴． 故答案为：；＜． 【小问3详解】 解：选择乙公司． 理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯一，合理即可）． 19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当小明将拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当小明将拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：，，，，，） 【答案】每节拉杆长30厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．设每节拉杆长为，则图1中，，图2中，，在图1中，过点作于点，利用三角函数可得；在图2中，过点作于点，利用三角函数可得，结合两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同，可得关于的方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设每节拉杆长为，则图1中，， 图2中，， 在图1中，过点作于点， 在中，， ， ， 在图2中，过点作于点， 在中，， ， ， ， ，解得：． 答：每节拉杆长30厘米． 20. 如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E． （1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证； （2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 　 　（只填序号）． 【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②） 【解析】 【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可； （2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k． 【详解】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故； 当x=-6时，；当x=-2时， ∵，k＜0 ∴ 即 （2）选择条件① ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD ∴四边形OCED是矩形 ∴OD∙OC=2 ∵OC=2 ∴OD=1 即 ∴点B的坐标为(-6,1) 把点B的坐标代入y＝中，得k=-6 若选择条件②，即BE=2AE ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD ∴四边形OCED是矩形 ∴DE=OC，CE=OD ∵OC=2，DB=6 ∴BE=DB-DE=DB-OC=4 ∴ ∵AE=AC-CE=AC-OD= 即 由（1）知： ∴k=-6 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 21. 如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； （2）如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； （3）当，，时，请求出的长． 【答案】（1） （2）；证明见解析 （3）的长度为或 【解析】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质． （1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得； （2）根据，得，由，即知，从而，有，故； （3）根据，得，分两种情况：①当在线段上时，,得到； ②当在延长线上时，，得． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 在与中，， ， ； 【小问2详解】 解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： 如图： ， ， 同（1）可证， ， ， ， ； 【小问3详解】 解， ∴， ①当在线段上时，如图： ∵， ， 由（2）知 ； ②当在延长线上时，如图： ∵， ， ； 综上所述，的长度为或． 22. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 23. 如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米． 图2 （1）直接写出，的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】（1），；（2）米；（3）352 【解析】 【分析】（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入，求出b、c即可； （2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可； （3根据，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可． 【详解】解：（1）由题意知点A坐标为，点B坐标为， 将A、B坐标代入得： 解得：， 故，； （2）由， 可得当时，有最大值， 即大棚最高处到地面的距离为米； （3）由，解得，， 又因为， 可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） 共需要（根）竹竿． 【点睛】本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及根据函数值确定自变量取值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质． 24. 问题：某兴趣小组开展综合实践活动：如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系． 探究： （1）[初步感知]：如图1，当点由点运动到点时． ①当时，  ． ②求出关于的函数解析式； （2）[建立模型]：当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． （3）[延伸探究]：若存在3个不同时刻分别为，这3个时刻分别对应的正方形的面积均相等，求的值． 【答案】（1）3； （2）图像如下，， （3）4 【解析】 【分析】（1）①当时，，运用勾股定理即可求得答案； ②由题意得，运用勾股定理可得出结果； （2）观察图象可得，当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得， ，即，设，将代入，即可求得解析式，再利用勾股定理即可求得线段的长； （3）根据抛物线的对称性可得当时，点与关于直线对称，点与关于直线对称，即可得答案． 【小问1详解】 ①当时，， 又， 故答案为：3； ②当点由点运动到点时， ， 故答案为： ； 【小问2详解】 由图2可得： 当点运动到点处时，， 当点运动到点处时，， 抛物线的顶点坐标为， ， ， ， 设， 将代入， 得， 解得：， ， 中， 抛物线的解析式为： 【小问3详解】 由（1）（2）可得： 图象如图所示： ∵存在3个时刻对应的正方形的面积均相等， ， 点与关于直线对称， 点与关于直线对称， ∴， ， 故答案为：4； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，三角形面积等； 熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在边上时，用含t的代数式表示线段的长； （2）当点F落在的平分线上时，求t的值； （3）连结，当为钝角时，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）t的值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理求得，再证得，根据全等三角形的性质即可求得答案； （2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，分别求出t的值即可； （3）当点P在边上，时，可证得，，利用相似三角形性质求得t的值；当点P在边上，时，同理求得t的值，即可得出t的取值范围． 【小问1详解】 解：在中，， ∵，． ∴， 由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 解：当点P在边上时，如图1，连接，，，过点F作于点G，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：； 当点P在边上时，如图2，过点F作于点G，作于点H，连接，，， 由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分，，， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 当时，点P与点A重合，不符合题意； 综上所述，t的值为； 【小问3详解】 解：当点P在边上，时，如图3，连接， 则C、F、E在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当点P在边上，时，如图4， 同理可得：，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当为钝角时，t取值范围为或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，几何动态问题，矩形的判定与性质，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$