精品解析： 福建省晋江市安海片区2024-2025学年上学期期中教学质量监测初九年级数学科试卷

2024年秋季期中教学质量监测——初三年数学科试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了二次根式的定义，解此类题目的关键是理解被开方数是非负数． 根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意． B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意． C、由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意． D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵75=25×3， ∴是整数的正整数n的最小值是3． 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟知运算法则是解本题的关键． 4. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A．因为，所以，故A符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C不符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：A． 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再根据因式分解法，可得答案． 【详解】解：， 移项得， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 6. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）． A. B. C. 50 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】解：， ， 即， ， 的长是． 故选：D． 7. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用十字相乘法得到，则或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或 ∴或， 故选：C． 8. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0， ∴ = = =-2 故选A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，当时，原方程为，此时原方程有实数根；当时，原方程为一元二次方程，则，据此求解即可． 【详解】解：当时，原方程为，解得，原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程，则， ∴且； 综上所述，， 故选A． 10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 两个相似三角形的相似比为，周长之差为，则较大三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据周长比等于相似比，设较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为，因为周长之差为，所以列式，解出，即可作答． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴设较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为， 依题意，， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知，，则的值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意可得，再将所求式子进行因式分解，整体代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，将长方形沿直线翻折，使点落在点处，点的对应点恰好落在上，交于点．已知，，则四边形的面积是______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形中的折叠问题，证是关键．设，则，得出，证，得出，由折叠的性质和平行线的性质可推出得出，得出，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式即可解答． 【详解】解：， 设，则， ， ，， 由折叠得：，，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形的面积， 故答案为：70． 三、计算题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】原式． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 18. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特别是使用公式法求解．熟记求根公式是解题的关键．先确定的值，计算，以确定方程的根的性质．如果，则方程有两个不相等的实数根；如果，则方程有两个相等的实数根；如果，则方程无实数根．依据这个过程求解即可． 【详解】解：． ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 19. 如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1； （2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 【答案】（1）如图所示，△COD即为所求； （2）C（-6，-2），D（-4，2）. 【解析】 【分析】（1）根据位似变换的性质，即可画出位似△OCD；（2）根据位似变换的性质，即可求得A、B的对应点C、D的坐标. 【详解】（1）略 （2）C（-6，-2），D（-4，2）. 【点睛】本题考查了位似变换的性质，熟知位似变换的性质是解决问题的关键． 20. 已知关于的方程为常数）有两个实数根． （1）若，则的值是______，方程的解是______； （2）若，求的值； （3）请用含的代数式表示． 【答案】（1）36 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先把，代入，可得，再代入原方程，再利用因式分解法，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，再利用完全平方公式的变形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴方程为， ∴ ， 解得：； 【小问2详解】 ∵于的方程为常数）有两个实数根， ∵ 【小问3详解】 ∵于的方程为常数）有两个实数根， 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________； （2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式． ①当x为多少时？销售总利润达到10000元． ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【答案】（1）； （2）①，；②当时，销售总利润达到最大，最大总利润． 【解析】 【分析】（1）设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量,即可得出关于y的二次函数； ①令，解之取其正值即可； ②利用二次函数的最值求解即可. 【详解】解：（1）； （2）①由题意可得：， 令，即 ， 解得，. ∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元； ②， ∴当时，取得最大总利润， 此时 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键. 23. （换元法）解方程： 解：设则原方程可化为 解得： 当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 根据以上材料，请解方程： （1）． （2） 【答案】（1）原方程的根是； （2）原方程的根是． 【解析】 【分析】(1)设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根； (2)设，则原方程可化为，解得的值，检验后即可得到原方程的根． 【小问1详解】 设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是； 【小问2详解】 设，则原方程可化为 去分母，可得 解得 当时，，解得 当时，，方程无解 经检验∶都是原方程的解 原方程的根是． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 24. 综合与实践：利用相似三角形测量距离 （1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． （2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． （3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 【答案】（1） （2） （3）路灯的高度为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式； （2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数关系式为， 将时，代入得，， 解得，， ∴关于的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，，， 设，． ∵，， ∴． ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∴，即，解得， ∴路灯的高度为． 25. 如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ⊥AB？ (2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； (3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）y（3）当时，． 【解析】 【分析】（1）由△PQE∽△ABC可列式求解． （2）由△PME∽△ABC可求得，根据y=S梯形DCBE-S△PDE可求关系式． （3）假设存在，由已知S△PQE：S五边形PQBCD＝1∶29可得S△PQE=S梯形BCDE，即可求出，进一步由求出． 【详解】解：（1）如图， 在Rt△ABC中，AC=6，BC=8， ∴． ∵点D、E分别是AC、AB的中点， ∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4． ∵PQ⊥AB， ∴∠PQB=∠C=900． 又∵DE∥BC， ∴∠AED=∠B． ∴△PQE∽△ABC． ∴． 由题意，得PE=4－t，QE=2t－5， ∴，解得． ∴当时，PQ⊥AB． （2）过点P作PM⊥AB于点M． 由△PME∽△ABC，得， ∴，即． ∴， S梯形DCBE=． ∴y=S梯形DCBE-S△PDE． （3）假设存在时刻t使S△PQE：S五边形PQBCD＝1∶29，此时，S△PQE=S梯形BCDE， ∴，即． 解得（舍去）． 当时，PM=，ME=，EQ=5－2×2=1， MQ=ME＋EQ=，． ∵， ∴． 当时，PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD＝1∶29，此时点E到PQ的距离h． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的应用及解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期中教学质量监测——初三年数学科试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）． A. B. C. 50 D. 30 7. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4或 D. 或1 8. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 13. 两个相似三角形的相似比为，周长之差为，则较大三角形的周长为______． 14. 如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）． 15. 已知，，则的值为______． 16. 如图，将长方形沿直线翻折，使点落在点处，点的对应点恰好落在上，交于点．已知，，则四边形的面积是______． 三、计算题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解一元二次方程：． 19. 如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1； （2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 20. 已知关于的方程为常数）有两个实数根． （1）若，则的值是______，方程的解是______； （2）若，求的值； （3）请用含的代数式表示． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________； （2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式． ①当x为多少时？销售总利润达到10000元． ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 23. （换元法）解方程： 解：设则原方程可化为 解得： 当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 根据以上材料，请解方程： （1）． （2） 24. 综合与实践：利用相似三角形测量距离 （1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． （2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． （3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 25. 如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ⊥AB？ (2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； (3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $