精品解析：广东省湛江市遂溪县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中调研考试 九年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，绕点顺时针方向转动得，点恰好在边上，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 7. 为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是121元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 的最小值是 C. 当时，随的增大而增大 D. 和是方程的两个根 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的解是______． 12. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 13. 抛物线的顶点坐标是_________． 14. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是______． 15. 如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号) 三、解答题：本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）若a的值为3时，请解这个方程． 17. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上． （1）若，，求旋转的角度的大小； （2）若，，求的长度． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 20. 2021年国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，而对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹．如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为9米，此时水平飞行距离为8米，手㨨弹离手点离地面高度为米． （1）求此抛物线的解析式； （2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远． 21. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用） 22. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于A，两点，其中A点的坐标为． （1）求该二次函数解析式； （2）已知点C为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，请求出点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值及点D的坐标． 23. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点． （1）数学思考：四边形的形状是________． （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，交于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中调研考试 九年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A．中未知数的指数不是2，故不是一元二次方程，不符合题意； B．中含有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C．，该方程是分式方程，故本选项不合题意； D、，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解. 【详解】解：∵关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数， ∴关于原点对称的点的坐标是   故选：D ． 4. 在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：∵把抛物线向下平移1个单位， ∴所得抛物线的函数表达式是：． 故选：． 5. 如图，绕点顺时针方向转动得，点恰好在边上，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解题的关键． 由绕点顺时针方向转动得，可得，，继而求得的度数． 【详解】解：∵绕点顺时针方向转动得， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4或x=2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 7. 为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是121元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得 ． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出方程． 8. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 的最小值是 C. 当时，随的增大而增大 D. 和是方程的两个根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可判断；由二次函数的性质可判断；由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线， ∴图象关于直线对称，该选项说法正确，不合题意； 、由函数图象可知，抛物线的最低点为， ∴的最小值是，该选项说法正确，不合题意； 、∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，该选项说法错误，符合题意； 、∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴方程的两个根为和，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质，先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2024次旋转结束时，完成了506次循环，又回到了原来的位置， 的坐标为． 故选：C． 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵次函数的图象经过一、三、四象限， ∴，， 对于二次函数的图象， ∵，开口向上，排除A、B选项； ∵，， ∴对称轴， ∴D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴, 即，， 故答案为：，． 12. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 【答案】a = 2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】由是一元二次方程，得 =2，且a+2≠0， 解得a=2， 故答案为 2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 13. 抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案． 【详解】∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2） 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点． 14. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由二次函数图象的对称性求出抛物线与x轴右侧交点的横坐标，利用数形结合思想即可求解． 【详解】解：由图可知，抛物线与x轴左侧交点的横坐标为，对称轴为直线， 抛物线与x轴右侧交点的横坐标为：， 当时，抛物线在x轴下方， 若，则的取值范围是， 故答案为：． 15. 如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号) 【答案】①②③ 【解析】 【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据题意得：∠EPM=∠FPN，再根据角平分线的性质定理可得PE=PF，从而得到Rt△POE≌Rt△POF，进而得到OE=OF，可得到△PEM≌△PFN，从而得到∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，可得S△PEM=S△PFN，OM+ON= 2OE，从而得到①②③正确，再由M，N的位置变化，可得MN的长度是变化的，再证得△PMN是等边三角形，可得故④错误，即可求解． 【详解】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF， 在Rt△POE和Rt△POF中， ∵OP=OP，PE=PF， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①正确； ∴S△PEM=S△PFN， ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③正确； ∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确； ∵M，N的位置变化， ∴MN的长度是变化的， ∵PM=PN，∠MPN=60°， ∴△PMN是等边三角形， ∴△PMN的周长是变化的，故④错误， ∴说法正确的有①②③． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）若a的值为3时，请解这个方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将x=1代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值； （2）把a=3代入原方程得到x2+3x+1=0，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 将x=1代入原方程，得：1+a+a-2=0， 解得：a=． 【小问2详解】 把a=3代入原方程得，x2+3x+1=0， ∴Δ=32-4×1×1=5， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及利用公式法解一元二次方程，都是基础知识，需熟练掌握． 17. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上． （1）若，，求旋转的角度的大小； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质求出，再由三角形的内角和即可得出答案； （2）由旋转的性质得出，，再根据线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 将绕点C顺时针旋转得到， 旋转的角度的大小为； 【小问2详解】 将绕点C顺时针旋转得到， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质及三角形内角和，灵活运用旋转的性质是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 【答案】 （1）如图，和为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握旋转的性质和平移的性质是解此题的关键． （1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）连接、、，交点即为所求． 【详解】解：（1）略 （2）如图，绕点旋转得到．旋转中心的坐标为． 故答案为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 20. 2021年国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，而对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹．如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为9米，此时水平飞行距离为8米，手㨨弹离手点离地面高度为米． （1）求此抛物线的解析式； （2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远． 【答案】（1） （2）17米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，设该抛物线的解析式为，把代入得：，再把代入求出a的值即可得出解析式； （2）求出该抛物线与x轴正半轴的交点坐标即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得：米，米，米， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴，则， ∴志愿军同志的手榴弹扔了17米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意得到，掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． 21. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用） 【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元 【解析】 【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程． 【详解】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， ∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20． 故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20； （2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000， 整理，得 x2﹣420x+32000=0， 解得x1=320，x2=100． 当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）． 当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）． 所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 22. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于A，两点，其中A点的坐标为． （1）求该二次函数解析式； （2）已知点C为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，请求出点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值及点D的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②的最大值， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴求出点的坐标为，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）求出．①求出．设点的坐标为，则点到的距离为．根据得到，解得，即可得到点的坐标．②求出直线的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为．得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为，A点的坐标为， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入抛物线的解析式得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 将代入得， 点的坐标为． ． ①点的坐标为， ． 设点的坐标为，则点到的距离为． ， ，即， 解得． 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 点的坐标为或． ②如图所示： 设的解析式为， 将点A的坐标代入得：，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为． ， 当时，有最大值，的最大值， 此时， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数最值等知识，数形结合是解题的关键． 23. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点． （1）数学思考：四边形的形状是________． （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）正方形； （2） ①，证明如下： ∵， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 由旋转的性质可得，， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，根据平行线的判定和性质，得到，即可得到答案； （2）①证明，得到．由旋转的性质可得，得到。即可得到结论； ②由旋转的性质可得，，进而得出，由勾股定理得，，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 解：①略 ②由旋转的性质可得，， ∴，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 由勾股定理得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $