精品解析：辽宁省大连市金普新区2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试卷

金普新区2024－2025学年度第一学期期末质量检测试卷 九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝．下列剪纸图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故此选项符号题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键．根据余弦的定义计算即可． 【分析】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 3. 一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下事件中，发生的可能性最大的是(　　) A. 摸出的是白球 B. 摸出的是黑球 C. 摸出的是红球 D. 摸出的是绿球 【答案】A 【解析】 【分析】个数最多的就是可能性最大的． 【详解】解：因为白球最多， 所以被摸到的可能性最大． 故选A． 【点睛】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 4. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 首先得到，进而得到，即可选择正确选项． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 故选：D． 5. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为， 故选：B． 6. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 7. 函数的图象中，在每个象限内随的增大而增大，则可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵函数的图象中，在每个象限内随的增大而增大， ∴， 解得：， 观察选项，只有0符合题意． 故选：C． 8. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有个班，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设七年级共有个班，根据题意得： 故选：B． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为，则该反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数解析式的几何意义，根据反比例函数解析式的几何意义求解，理解的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，的面积为， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴该反比例函数的解析式为， 故选：． 10. 荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故选：B 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 做“任意抛掷一个纸杯”的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.10 0.15 0.20 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一个纸杯的杯口朝上的概率为________． 【答案】0.22 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可． 【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.22左右， 故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.22， 故答案为：0.22． 12. 如图，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，若，则______°． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质∶旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了角的和差． 根据旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状没有改变即可解答． 【详解】解∶以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到， 旋转前后，角的大小没有变化， 即，， ， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 设抛物线的对称轴交于点，可求，则，而，由勾股定理得，求出，再代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：设抛物线的对称轴交于点， 当，则， 解得：或， ∴， 对称轴：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解方程和计算： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）方程整理后，利用配方法求出解即可； （2）原式代入特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ， （2）解： 17. 某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． （1）求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【答案】（1）； （2）提前8天完成此项工程． 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）把与分别代入，再进一步计算即可； 【小问1详解】 解：设反比例函数关系式为． 把代入得，， ． 【小问2详解】 解：把代入得，， 把代入得，， ． 答：提前8天完成此项工程． 18. 某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格为81元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 【答案】（1）2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； （2）预计2025年该药剂的价格为72.9元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的实际应用． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【小问1详解】 解：设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为． ， （舍），， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； 【小问2详解】 解：（元） 答：预计2025年该药剂的价格为72.9元． 19. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 20. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，表的长为米．求圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长约为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．根据和的正切值，求出和，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， 在中，，， ， 米， 在中，，， ， 米， （米） 答：圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长约为米． 21. 如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ， 是直径， ， ， 又， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，由内错角相等证得，进而证得，即可证得结论； （2）设，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证得，，进而求得，，根据含30度直角三角形的性质求出，根据弧长公式即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 由（1）得，是的切线， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 的长． 22. 在中，，，为直线上任意一点（不与，重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段，与的数量关系并说明理由； （3）若，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴ ∴ ∴； （2） 解：，理由如下： 如图所示，过点E作于点F，连接 同（1）可得， 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，即 ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等求解即可； （2）如图所示，过点E作于点F，连接，证明出，得到，，然后得到是等腰直角三角形，求出，然后求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）设，则，根据题意两种情况讨论：点D在点A左边和点D在点A右边，然后证明出，分别表示出，，然后根据勾股定理表示出，然后根据余弦的概念求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则 如图所示，当点D在点A左边时，过点E作于点F， 同（2）可证， ∴， ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点D在点A右边时，过点E作于点F， 同（2）可证， ∴， ∴ ∴ ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，求角的余弦值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． （1）若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标； （2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围； （3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，角平分线的性质，抛物线与直线的交点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键. （1）把点代入解析式即可求出抛物线为，由轴即可求出点； 过点D作，垂足为H，由角平分线性质得，求出点。进而求得直线解析式为，联立抛物线和直线解析式即可求出点的坐标； （2）由点，求得，进而求出； （3）分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在上方时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点； ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即，解得：，； ∴点 过点D作，垂足为H， ∵轴， ∴轴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，即直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得： ， 解得：，（不合题意舍去）， ∴点 【小问2详解】 ∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：，解得：； 【小问3详解】 ∵抛物线 ， ∴抛物线对称轴为，顶点为 ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， I.当抛物线的顶点在线段上时， 即：，解得：， II. 当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴ 解得：， 综上，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金普新区2024－2025学年度第一学期期末质量检测试卷 九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝．下列剪纸图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下事件中，发生的可能性最大的是(　　) A. 摸出的是白球 B. 摸出的是黑球 C. 摸出的是红球 D. 摸出的是绿球 4. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 7. 函数的图象中，在每个象限内随的增大而增大，则可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 8. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有个班，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为，则该反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 做“任意抛掷一个纸杯”的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.10 0.15 0.20 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一个纸杯的杯口朝上的概率为________． 12. 如图，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，若，则______°． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解方程和计算： （1）； （2）． 17. 某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． （1）求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 18. 某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格为81元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 19. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 20. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，表的长为米．求圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，） 21. 如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 22. 在中，，，为直线上任意一点（不与，重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段，与的数量关系并说明理由； （3）若，请直接写出的值． 23. 已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． （1）若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标； （2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围； （3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $