精品解析：山东省聊城市高唐县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年第一学期期中检测 九年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，的直径与弦（不是直径）交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相离或相切 D. 相离或相切或相交 7. 如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 以上选项都不正确 8. 如图，是的弦，延长相交于点．已知的度数为，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到的位置，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的半径为1，动点从点处沿圆周以每秒圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点位于如图所示位置，第2秒点位于点的位置……则第2023秒点所在的位置为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如果两个相似多边形面积的比为1：4，则它们的相似比为_____． 12. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______． 13. 如图，在等边三角形中，为上一点，为上一点，且，，，则的值为______． 14. 已知是的外接圆，且的半径为，则的度数为______． 15. 如图，的面积是，它被一平行于的矩形所截，被截成等份，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里．（结果保留根号） 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心点的位置并直接写出点的坐标为______，与的相似比为______． （2）的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 19. 如图，是的斜边上的高，若，求的长． 20. 已知：如图，的弦的延长线相交于点，且．求证：点在的平分线上． 21. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 22. 如图，在矩形中，以的中点为圆心，以为半径作半圆，连接交半圆于点，在上取点，使，连接． （1）求证：与半圆相切； （2）如果，求的长． 23. 阅读下列材料：如图1，在中，的对边分别为．求证：． 证明：过点作于点． 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在中，的对边分别为．求证： （2）为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中检测 九年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 2. 如图，的直径与弦（不是直径）交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，结合的直径与弦（不是直径）交于点，且为的中点，则，，，即可作答． 【详解】解：∵的直径与弦（不是直径）交于点，且为的中点， ∴，，， ∴ ∴， 则不一定相等， 故选：B． 3. 如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可依次排除选项． 【详解】解：∵， ∴A、由可判定，故不符合题意； B、由可判定，故不符合题意； C、由不能判定，故符合题意； D、由可判定，故不符合题意； 故选C． 4. 如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出，再证明，进行解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．先找出的特征，再根据相似三角形的判定方法，即可判断答案． 【详解】在中，，，， ， ，且， A、图形不是直角三角形，不合题意； B、虽然图形是直角三角形，但两直角边之比不是，不合题意； C、图形不是直角三角形，不合题意； D、图形是直角三角形，且两直角边之比是，符合题意． 故选：D． 6. 已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相离或相切 D. 相离或相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．设点O到直线l的距离为，因为垂线段最短，所以，然后分三种情况分析即可． 【详解】解：设点O到直线l的距离为， ∵点P在直线l上，， ∴， ∵的半径为， ∴当时，直线l与相交， 当时，直线l与相切， 当时，直线l与相离， 故选：D． 7. 如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 以上选项都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 8. 如图，是的弦，延长相交于点．已知的度数为，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半是解题的关键．连，根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可得解． 【详解】证明：如图，连接， ∵的度数为，的度数为， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到的位置，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据正切函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，，， ∴在和中， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键． 10. 如图，的半径为1，动点从点处沿圆周以每秒圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点位于如图所示位置，第2秒点位于点的位置……则第2023秒点所在的位置为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，能根据题意得出点P所在位置以8秒为一个周期依次循环是解此题的关键．首先判断点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，再求出第2023秒点的位置，再过作轴于M，解直角三角形求出、，即可得出答案． 【详解】解：∵动点P从点A处沿圆周以每秒圆心角的速度逆时针匀速运动，， ∴点P所在位置以8秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第2023秒点P所在位置与第7秒所在的位置相同， 如图，点即第2023秒点P所在位置， 过作轴于M，则， ∵， ∴，即此时P点的坐标是． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如果两个相似多边形面积的比为1：4，则它们的相似比为_____． 【答案】1：2 【解析】 【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为1：4， ∴它们的相似比为1：2． 故答案为：1：2． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键． 12. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为． 方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 13. 如图，在等边三角形中，为上一点，为上一点，且，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由等边三角形的性质可得，证明，得出，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知是的外接圆，且的半径为，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确理解题意分类讨论是解题的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，当点和圆心在直线的同侧时可得，当点与圆心在直线的异侧时，在取一点，点与圆心在直线的同侧，连接，得到，可得到． 【详解】解：连接， 的半径为， ， ， ， 为等腰直角三角形，； 如图1，点和圆心在直线的同侧，在取一点，点与圆心在直线的同侧，连接， ； 如图2，点与圆心在直线的异侧， ， ， 综上，的度数为或， 故答案为：或 ． 15. 如图，的面积是，它被一平行于的矩形所截，被截成等份，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先由两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出，，然后根据图中阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：∵被截成等份， ∵ ∵被一平行于的矩形所截， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为18． 16. 如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过作于点，根据锐角三角函数定义求出的长，再由锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：如图，过作于点， ， 由题可知，（海里）， ， ， ， ， （海里） （海里） 灯塔与码头的距离是海里， 故答案为： ． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算． （1）（2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心点的位置并直接写出点的坐标为______，与的相似比为______． （2）的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）作直线，，，三线交于点P，根据题意，设直线的解析式为，代入确定解析式为；直线为，联立得，于是得到位似中心；根据题意，，故可以求得与的相似比为，解答即可． （2）设，根据位似比为，得到即点为线段的中点，利用中点坐标公式解答即可． 本题考查了位似中心的确定，位似点坐标的确定，熟练掌握位似的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，作直线，，，三线交于点P，根据题意，设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴解析式为； 直线为， 当时， ， 故位似中心； ∵，， ∴， ∴与的相似比为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设，根据位似比为，得到即点为线段的中点， ∵， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 19. 如图，是的斜边上的高，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，列比例式解答即可． 本题考查了直角三角形中的三角形相似的证明，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：是的斜边上的高， 即， 20. 已知：如图，的弦的延长线相交于点，且．求证：点在的平分线上． 【答案】 证明：如图，连接，分别过点作，，垂足分别为， ，， 又， ， ， ， ， 点在的平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合题，垂径定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，构造辅助线是解题的关键．连接，分别过点作，，垂足分别为， 根据垂径定理得，再证明，得出，再根据角平分线的判定定理即可证得结论． 【详解】略 21. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 22. 如图，在矩形中，以的中点为圆心，以为半径作半圆，连接交半圆于点，在上取点，使，连接． （1）求证：与半圆相切； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 为的半径， 与半圆相切． （2） 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由矩形的性质的由得，由得，根据证明，得到，即可证明与半圆相切； （2）连接交于点，则垂直平分，因为是圆的直径，所以，得到求得，可证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点． ， ， ， 是半圆的直径， ， ， 由勾股定理得，， 即， 23. 阅读下列材料：如图1，在中，的对边分别为．求证：． 证明：过点作于点． 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在中，的对边分别为．求证： （2）为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点． （2）这片区域的面积约为平方米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据“正弦定理”求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点， 解直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 米． 如图，过点作于点， （米）， （平方米）． 答：这片区域的面积约为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $