精品解析：河南省郑州市郊六县市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024—2025学年上学期期末测评试卷 高一 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数且的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. （ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，需（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 将函数图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变） C. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度 D. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度 5. 设，不等式恒成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C D. 6. 已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或三个以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. B C. D. 若且，则 10. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A. 在末，点的坐标为 B. 在末，点在单位圆上第一次重合 C. 在末，扇形的弧长为 D. 面积的最大值为 11. 已知是上不恒为零的函数，且都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的最大值为__________. 13. 在中，已知，则角__________. 14. 设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 16. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 17. 已知，函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）当时，判断函数的单调性，并用定义给出证明. 18. 已知函数. （1）求在上的单调递增区间； （2）若，，求的值； （3）请在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线和的交点个数. 19. 已知函数. （1）对任意实数否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期末测评试卷 高一 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】， 故， 故选：B 2. 已知函数且的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，从而可求幂函数，故可求. 【详解】因，故， 设，故，故，故， 故选：D. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：A. 4. 要得到函数的图象，需（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变） C. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度 D. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故A错误； 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故B 错误； 将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象， 故C错误； D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确. 故选：D. 5. 设，不等式恒成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，从而可求恒成立的充分条件. 【详解】若，则恒成立， 若，则，故， 故，所以不等式恒成立的充要条件为， 若求充分条件，则充分条件对应的集合真包含于， 对比各选择，只有A符合， 故选：A. 6. 已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增， 因为 所以，即. 故选：C. 7. 声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或三个以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出另外两个单音对应的三角函数后可求和弦的一个周期， 【详解】设题设中左图对应的解析式为，则， 而，其中，故，故， 故，其最小正周期为. 右图对应的解析式为， 则且，故，故，其最小正周期为， 而的最小正周期为， 故该和弦的一个最小正周期为，故周期为， 故选：C 8. 已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据、共有3个不同的实数根据可求实数的取值范围，后者可就、、分类讨论即可. 【详解】由可得或， 当时，， 当时，令，解得， 故有两个不同的解且异于， 而在上为减函数，且， 故在上至多有一个实数根， 若在上有一个实数根，则， 即，考虑此时解的个数， 此方程可化为， 因，故只有一个实数解， 若该解与相同，则即，与矛盾， 故符合题设要求； 若在上无实数根，则或， 即或，考虑解的个数， 若，则，有一个实数根， 故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾； 若，则，故， 当且仅当，时等号成立， 故此时至多有一个实数根， 故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾； 综上，， 故选：C. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点个数问题，一般先考虑外方程的解的情况，再考虑内方程解的情况，两者综合才可求参数的取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 若且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数幂的运算可判断AB的正误，根据对数的运算性质可判断C的正误，根据指对数的转化可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，，故，故D正确； 故选：ABD. 10. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A. 在末，点的坐标为 B. 在末，点在单位圆上第一次重合 C. 在末，扇形的弧长为 D. 面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【详解】由题设，秒末的坐标为， 的坐标为， 对于A，在末，的坐标为，故A错误； 对于B，若重合，则，故， 故，故在末，点在单位圆上第一次重合，故B正确； 对于C，在末，在的终边上，在的终边上， 故扇形的弧长为，故C错误； 对于D，的面积为， 当且仅当即时等号成立， 故D正确； 故选：BD. 11. 已知是上不恒为零的函数，且都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D. 【详解】因为， 令，得，所以，故A错误； 令，得， 所以，令，得，又， 所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确； 令，得， 又，所以，故C正确； 当时，由， 可得，又， ，在上任取，不妨设， ， ，故， 故在单调递减，故D正确. 故选： BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值. 【详解】由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 13. 在中，已知，则角__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由两角和的正切公式可得，即可得，求出结果. 【详解】由，得， 即，又， 所以，则， 故答案为： 14. 设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标. 【详解】 设直线的方程为，由，得，所以点， 由，得，所以点，从而， 如图，取的中点，连接， 因为等边三角形，则，所以，， 则点，故， 解得，所以点的纵坐标为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】(1); (2); (3). 【解析】 【分析】利用诱导公式，同角公式求值即可. 【详解】（1）; （2）因为，所以； （3）因为，所以， 又因为，所以， 则， ， 16. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 【答案】（1）2和 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解． 【小问1详解】 令，则或， 故的不动点为2和． 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8． 【小问3详解】 由题知：，所以， 由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得， 所以的取值范围是． 17. 已知，函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）当时，判断函数的单调性，并用定义给出证明. 【答案】（1） （2）为上的减函数，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据定义域的对称性可求； （2）根据单调性的定义可证明为上的减函数. 【小问1详解】 函数的定义域即为的解集，而奇函数的定义域关于原点对称， 故的根为，故. 当时，，定义域为， 定义域关于原点对称，而， 故为奇函数，故. 【小问2详解】 函数为上的减函数， 设，则， ， 因，故， 故，故， 故即即函数为上的减函数. 18. 已知函数. （1）求在上的单调递增区间； （2）若，，求的值； （3）请在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线和的交点个数. 【答案】（1）， （2） （3）作图见解析，交点个数为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间； （2）由已知条件求出的值，由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正弦公式可求得的值； （3）作出两个函数在区间上的图象，可得出两个函数图象的交点个数. 【小问1详解】 因为， 当时，， 由可得，由可得， 所以，函数在上的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为，可得， 因为，则， 所以，， 因此， . 【小问3详解】 当时，， 在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象如下图所示： 由图可知，曲线和在上的交点个数为. 19. 已知函数. （1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）当时，求的最大值. 【答案】（1）是，定值1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解析式代入求解为定值； （2）根据函数单调性解不等式即可； （3）令，则，开口向下，对称轴为，分，，三种情况讨论函数单调性求出最值即可. 【小问1详解】 由， 可得 ； 【小问2详解】 因为，所以为奇函数， 所以不等式为， 又因为是单调增函数，所以，所以， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 令，知在上单调递增，所以，又因为， 则，，开口向下，对称轴为， 当时，是单调增区间，所以时取最大值； 当时，是单调减区间，所以时取最大值； 当时，是单调增区间，是单调减区间， 所以时取最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $