精品解析：湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024年下学期期中学科质量监测 八年级数学 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列两种说法：甲：是分式；乙：是分式，其中正确的是 （ ） A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式． 【详解】解：甲：分母没有字母，不是分式； 乙：是分式， 则乙对， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义，本题属于基础题型． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件．根据分母不等于零分式有意义，可得答案． 【详解】解：分式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以-1即可得答案． 【详解】==， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以（或除以）一个不为0的数或式子，分式的值不变；熟记性质是解题关键． 4. 若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ） A. 1 B. x C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意； B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意； C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意； D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 5. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 6. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点确定一点直线 B. 两点之间线段最短 C. 同角的余角相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：用木条固定长方形门框，使其不变形这样做的数学根据是三角形具有稳定性， 故选：D． 7. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等腰三角形的三线合一 C. 垂线段最短 D. 是的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵ ∴， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 8. 如图，已知太阳光线和是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出，进而得，据此即可判定和全等，从而得出答案． 【详解】解：如图， ， 依题意得：， ， 在和中， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解答此题的关键是理解题意，找出，进而找出判定三角形全等的判定条件． 9. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 10. 已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键．分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， …， ∴数列是3个一循环的数列， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：1． 12. 若分式的值为0，则的值是______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】若分式的值为0,则x2−2x=0且x−2≠0. 开方得x1=2,x2=0. 当x=2时，分母为0，不合题意，舍去， 故x的值为0. 故答案为0. 【点睛】此题考查分式的值为零的条件，解题关键在于掌握其定义. 13. 人体中枢神经系统中约含有千亿个神经元，某种神经元的直径约为微米，微米为米．将这个数用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义：把一个数表示成与的次幂相乘的形式记数法即可解答． 【详解】解：∵， 故答案为． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义：把一个数表示成与的次幂相乘的形式记数法，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 14. 已知 ，，则的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂和乘方，利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：12． 15. 写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式________________________． 【答案】如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了命题的相关知识点，找到题设和结论是解题关键． 【详解】解：逆命题为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 故答案为：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 16. 关于x的分式方程：有增根，则k的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 分式方程有增根， 令，解得， ， 解得， 故答案为：2． 17. 如图，且，且．请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 由，，，可得到，而，，由此可得，所以，；同理证得，所以，．则，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】解：，，， ． ， ． ， ． ，， ． ，． ，，． ， ． ， ． ，， ． ，． 则． ，， 梯形的面积为：． 阴影部分面积为∶ 梯形的面积 ， 故答案为∶． 18. 给定下面一列分式：，，，，…（其中），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式_____． 【答案】 【解析】 【分析】第个：，第个：，第个：， 第个：，据此找出第个分式即可求解． 【详解】解：由题意可知 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键． 三、解答题：（共66分） 19. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，计算即可； （2）利用积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂、分式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中是不大于3的正整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值问题．注意，取合适的值即可求解； 【详解】解：原式 ∵， ∴且且， ∵是不大于3的正整数． ∴， ∴原式 21. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意：解分式方程一定要验根． 先去分母，把分式方程化为整式方程得到，再解方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘得： 解得： 检验：当时， ∴是原方程的增根， ∴此方程无解． 22. 我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）． 选择下面一种情况，完成证明． 情况一 情况二 情况三 已知：如图，在中，平分，D是BC的中点， 已知：如图，在中，，于D 已知：如图，在中，于，AD平分 选择情况：_____________． 证明： 【答案】 解：选择情况一，证明如下： 延长到E，使，连接，如图所示： ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 选择情况二，证明如下： ∵于D， ∴为线段的垂直平分线， ∴； 选择情况三，证明如下： ∴于D， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质， 选择情况一时，延长到，使，连接，全等，得，再证即可得出结论；选择情况二时，由已知可得为线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得出结论；选择情况三时，可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】略． 23. 张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 （1）新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】（1） （2）燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式等知识点，明确题意、列出相应的分式方程是解题的关键． （1）根据表中的信息，列出新能源车的每千米行驶费用的代数式即可； （2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：新能源车的每千米行驶费用为：元． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元， ∴，解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴元，元． 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元． 24. 我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个根分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如： 可化为 ∴ 再如： 可化为 ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 【答案】（1）－2，－4；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）按照“十字方程”的解法解方程即可； （2）根据“十字方程”的解法求出，，代入求值即可； （3）把方程转化为，求出方程的解，代入计算即可． 【详解】（1）可化为， ∴－2，－4； 故答案为：－2，－4； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （3）解：∵为关于x的“十字方程” ∴ ∴ ∴或 ∵ ∴或 ∴ 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法，解题关键是理解题意，按照题目中的方法进行求解． 25. 数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出： ． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1）9； （2）， 证明：如图，在上截取，连接，   平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证． 【详解】解：（1）如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期中学科质量监测 八年级数学 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列两种说法：甲：是分式；乙：是分式，其中正确的是 （ ） A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ） A. 1 B. x C. D. 4 5. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点确定一点直线 B. 两点之间线段最短 C. 同角的余角相等 D. 三角形具有稳定性 7. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等腰三角形的三线合一 C. 垂线段最短 D. 是的垂直平分线 8. 如图，已知太阳光线和是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是( ) A. B. C. D. 9. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算：______． 12. 若分式的值为0，则的值是______. 13. 人体中枢神经系统中约含有千亿个神经元，某种神经元的直径约为微米，微米为米．将这个数用科学记数法表示为_____． 14. 已知 ，，则的值为_____． 15. 写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式________________________． 16. 关于x的分式方程：有增根，则k的值是__________． 17. 如图，且，且．请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积为_______． 18. 给定下面一列分式：，，，，…（其中），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式_____． 三、解答题：（共66分） 19. 计算： （1）． （2） 20. 先化简，再求值：，其中是不大于3的正整数． 21. 解方程：． 22. 我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）． 选择下面一种情况，完成证明． 情况一 情况二 情况三 已知：如图，在中，平分，D是BC的中点， 已知：如图，在中，，于D 已知：如图，在中，于，AD平分 选择情况：_____________． 证明： 23. 张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 （1）新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 24. 我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个根分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如： 可化为 ∴ 再如： 可化为 ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 25. 数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出： ． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $