精品解析：山东省德州市陵城区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年义务教育学业质量素养监测 九年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 2. 如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 、不能保证，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 故选：． 3. 对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．根据题目中的二次函数的解析式以及二次函数的性质逐项判断各个选项中的说法是否正确，即可解题． 【详解】解： A、， 开口向上，选项错误，不符合题意； B、， 称轴为直线，选项正确，符合题意； C、当时，， 顶点坐标为，选项错误，不符合题意； D、对称轴为直线，二次函数开口向上， 当时，y随x增大而增大，选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的最小度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】①根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答，②当绕点旋转圈数时，，即可得到答案． 【详解】解：①如图， ∵， ∴， ∵绕点旋转到得到， ∴， ∴， ∴． ②当绕点旋转圈数时，， 故最小旋转度数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=k，则当x＞k时，y的值随x值的增大而减小，由于x＞2时，y的值随x值的增大而减小，于是得到k≤2，再解不等式即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=k， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＞k时，y的值随x值的增大而减小， 而x＞2时，y的值随x值的增大而减小， ∴k≤2． 故选择B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是，对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 6. 如图，在的内接四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接， ， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴．． 故选：C． 7. 如图，等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，，则的周长是（ ） A. 9 B. 5 C. 7 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定；找出旋转角推出是等边三角形是解题关键． 根据旋转的性质得是等边三角形；得，即可求的周长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为： ， 故选：A． 8. 若一次函数的图像如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， 所以二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有B， 故选：B． 9. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用二次函数增减性比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，得到关于对称的对称点为，再由二次函数，开口向下确定，当时，随的增大而减小，即可得到答案， 【详解】解：二次函数（为常数，且）的对称轴为， 点的对称点为． ， 抛物线开口向下． 当时，随的增大而减小． ， ． 故选：B． 10. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，把整理得，由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解． 【详解】解：依题意， 因为 所以 因为抛物线与直线交于，两点， 结合图象性质： 所以的解集为 即不等式的解集为， 故选：C 11. 往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 26cm D. 20cm 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，交于点，延长交于点，连接，根据垂径定理进行求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，延长交于点，连接， 则：， 由题意，得：，， ∴， 设的半径为，则：，， 在中，，即：， 解得：； 即的半径为； 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 12. 在中，，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得，连接，下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转变换，勾股定理以及全等三角形的判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系． ①根据旋转的性质知，，，因为，，所以，可得，由此即可证明； ②根据旋转的性质知，，进而得到的面积等于四边形的面积； ③因为，，所以，又因为，所以，根据三角形一个外角等于不相邻两个内角的和得，进而得出； ④根据①及，， ，根据勾股定理判断即可． 【详解】解：①根据旋转的性质知，，， ∵，， ∴， ∴， ∵A， ∴，故①正确； ②根据旋转的性质知，， ∴的面积等于四边形的面积，故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④∵，，旋转至， ∴， 根据旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得， ∴ ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可得，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 15. 如图，已知A，B为抛物线上的两点，且轴．若是等边三角形，则边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，勾股定理，以及二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．设等边三角形边长为，进而得到点B的坐标，结合勾股定理和等边三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设等边三角形边长为， A，B为抛物线上的两点，且轴． ， ， ， 整理得，即（不合题意，舍去）或， 解得或（不合题意，舍去）， 即等边三角形边长为， 故答案为：． 16. 抛物线的对称轴为直线，当时，y的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的对称轴求出值，进而得到二次函数的顶点，再结合离对称轴越远函数值越大，进行求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， ，二次函数开口向上， 当时，为最小值， ，，， 当时，y在取得最大值为， 当时，y的取值范围是； 故答案为：． 17. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长． 【详解】连接AD， ∵∠ACB=90°， ∴AB是⊙O的直径． ∵∠ACB的角平分线交⊙O于D， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴AD=BD=5． ∵AB是⊙O的直径， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB==10． ∵AC=6， ∴BC==8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 18. 如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号） 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， ， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ，故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 ，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 三、解答题（7小题，共78分） 19. 已知：二次函数 （1）把这个二次函数表示成的形式； （2）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如的抛物线经过怎样的变换得到的； （3）试求出抛物线与x轴的交点坐标；并直接写出：当x为何值时，代数式的值是负数． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线，变换见解析； （3）与x轴的交点坐标为与；当时，的值是负数． 【解析】 【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式即可； （2）根据（1）中顶点式直接回答顶点坐标和对称轴即可，再结合二次函数的平移规律求解，即可解题； （3）令即可求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合二次函数性质，即可得出x的取值． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：结合（1）所化顶点式可知，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线是由形如抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位得到的． 【小问3详解】 解：当时，即， 整理得， 解得或， 抛物线与x轴的交点坐标为与， ，二次函数开口向上， 当时，代数式的值是负数． 【点睛】本题考查二次函数一般式化顶点式，二次函数的平移规律，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点情况，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）画出关于原点对称的（A，B，C的对应点分别为，，）； （2）画出绕原点顺时针旋转后得到的（A，B，C的对应点分别为，，）； （3）绕某点旋转得到，直接写出该点的坐标为___________； （4）P为y轴上一动点，的最小值为___________． 【答案】（1） 所作如图所示： （2） 所作如图所示： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （3）连接，，作，的中垂线，中垂线的交点即为旋转中心，根据图形找出旋转中心坐标，即可解题； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，结合轴对称性质，以及两点之间线段最短得到当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，作，的中垂线，中垂线的交点即为旋转中心， 由图知，绕点旋转得到． 故答案为：． 【小问4详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 由对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，有最小值，即有最小值， 最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了原点对称作图，旋转作图，根据图形找出旋转中心，两点之间线段最短，勾股定理，以及利用轴对称取线段和的最小值，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． 21. 如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点． （1）求证：． （2）当平分，，，求弦的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，即，再根据圆内接四边形的性质即可得证； （2）连接OG，BG，OD，根据等腰直角三角形的性质可得，利用垂径定理和解直角三角形可得，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）弦， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ； （2）连接OG，BG，OD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵AB是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等内容，作出辅助线是解题的关键． 22. 综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 【答案】任务一：；任务二：． 【解析】 【分析】任务一：由题意得抛物线的顶点为，然后利用待定系数法求解即可； 任务二：当时，即，解方程求出的值，求出的横坐标即可； 本题考查了二次函数的应用，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 任务二：当时，即， 解得：， ∴的横坐标分别为，， ∴， 答：两灯间的水平距离为． 23. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）； （2）该食品的售价为30元/千克 （3）售价为35元时，每天获利最大为1350元 【解析】 【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； 【小问3详解】 解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. （1）如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． （2）类比探究：如图2，点P是正方形内一点，，，．你能求出．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． （3）迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，，则_____．（接写出答案） 【答案】（1）6；150；（2）；过程见解析（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质及已知可得到是等边三角形，是直角三角形，即可求解； （2）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求，的长，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转可知：， ，， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：6；150； （2）如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）如图3，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ， ，，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 25. 如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求这个二次函数的解析式； （2）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）取抛物线的一部分（）记为W，将W沿y轴向下移动k个单位长得到，若与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）； （2）存在，最大值为，； （3）或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）在第一象限内作平行于y轴的直线，交抛物线于点D，交直线于点E．求出的解析式，设，则，则， 然后根据三角形的面积公式即可得出，然后利用二次函数的性质即可得出答案． （3）根据二次函数的平移分别求出当时和当时的k的值，再令，根据根的判别式可得出k的值，进而可得出k的取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在； 理由：如图，在第一象限内作平行于y轴的直线，交抛物线于点D，交直线于点E． 设直线的解析式为， 将将，代入， 得 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， 此时； 【小问3详解】 解：k的取值范围为或． 当时，，， 此时； 当时，，， 此时； 令， 整理，得， 若与直线只有一个交点， 则， 解得． ∴当与直线只有一个交点时，k的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数，二次函数平移,二次函数与一次函数的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年义务教育学业质量素养监测 九年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x增大而减小 4. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的最小度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 5. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在的内接四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，，则的周长是（ ） A. 9 B. 5 C. 7 D. 4 8. 若一次函数的图像如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 11. 往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 26cm D. 20cm 12. 在中，，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得，连接，下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①② 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 14. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______． 15. 如图，已知A，B为抛物线上的两点，且轴．若是等边三角形，则边长为___________． 16. 抛物线的对称轴为直线，当时，y的取值范围是___________． 17. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____． 18. 如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号） 三、解答题（7小题，共78分） 19. 已知：二次函数 （1）把这个二次函数表示成的形式； （2）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如的抛物线经过怎样的变换得到的； （3）试求出抛物线与x轴的交点坐标；并直接写出：当x为何值时，代数式的值是负数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）画出关于原点对称的（A，B，C的对应点分别为，，）； （2）画出绕原点顺时针旋转后得到的（A，B，C的对应点分别为，，）； （3）绕某点旋转得到，直接写出该点的坐标为___________； （4）P为y轴上一动点，的最小值为___________． 21. 如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点． （1）求证：． （2）当平分，，，求弦的长． 22. 综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 23. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 24. （1）如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． （2）类比探究：如图2，点P是正方形内一点，，，．你能求出．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． （3）迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，，则_____．（接写出答案） 25. 如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求这个二次函数的解析式； （2）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）取抛物线的一部分（）记为W，将W沿y轴向下移动k个单位长得到，若与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $