精品解析：上海市宝山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模）

2025年上海市宝山区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（ ） A. 11米 B. 110米 C. 22米 D. 220米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由知道∠A=30°，即可得到∠B的度数即可求得答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴​． 故选A． 【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确识记30°角的正弦值和60度角的余弦值． 3. 下列图形，相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 5. 如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面向量的线性运算、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，注意向量的方向是解答的关键．如图，过点A作交于点H．证明，求出，再根据求解． 【详解】解：如图，过点A作交于点H． 在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，已知，延长至点D，使，连接交于点G．某同学得到以下两个结论： ①G是线段的黄金分割点；②． 关于结论①和②，下列说法正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都错误 D. ①和②都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、黄金分割的定义等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． ①设，则，进而得， ，证明和相似得 ，然后根据黄金分割的定义可对结论①进行判断；②根据， 得， ，再分别求出、、、，由此得，据此可对结论②进行判断，综上所述即可解答． 【详解】解：①∵在， ∴设，则，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴G是线段EF的黄金分割点，故结论①正确； ②∵， ∴设，， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ， ∴， ∴．故结论②正确， 综上所述：结论①和②都正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，那么的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 8. 计算：＝ _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据向量的线性计算，即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 9. 计算：_____． 【答案】0 【解析】 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记三角函数值是解题的关键 【详解】解： ， 故答案为：0． 10. 如果二次函数的图象开口向下，那么的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数，当，函数图象开口向上；当时，函数图象开口向下，进行解答，即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，是四边形内一点，点分别在线段上，，，，，，，那么的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，推导出进而证明是解题的关键． 由，证明，得，由，证明，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论． 本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 14. 如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，求正切；根据三角形中位线定理得出的长，再结合的面积得出的长，进而得出的长，最后将转化为即可解决问题． 【详解】解：、分别是边，的中点， 是的中位线， ，． 又，， ，， 垂直平分， ， ． 的面积是， ， 则， ． 在中， ， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形的重心，先求出的长，进而得出的面积，再分别连接并延长，根据重心的性质得出它们与的交点为同一点，最后得出及的面积分别为和面积的即可解决问题． 【详解】解：在中，． ∴， ∴， ∴． 连接并延长，分别交于点，N， ∵E，F分别为和的重心， ∴点M为中点，点N为中点， ∴M，N重合． ∵点E为的重心， ∴， ∴，， ∴． 同理可得，， ∴， 即四边形的面积为8． 故答案为：8． 16. 在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了正方形的性质． 设正方形的边长为，则，证明，则利用相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可得到答案．灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∴，即， 解得x， 即正方形的边长为． 故答案为：． 17. 一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值，这个函数的图象总经过点和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是_____________．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 【答案】，答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“零点”的定义可知二次函数的图象经过一个点，据此写出一个函数的解析式即可． 【详解】解：∵一个二次函数有且只有一个“零点”， ∴这个二次函数的解析式可以是，答案不唯一． 故答案为：，答案不唯一． 18. 如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ___________________． 【答案】或2 【解析】 【分析】由三线合一可得，进而求出各边长，然后根据是直角三角形分类讨论，当时或时，画出图形，利用特殊角求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是中点， ∴，即， ∵， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴， ∴，，， ①当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形的计算，掌握等腰三角形的性质，解直角三角形的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． （1）用含的代数式直接表示： ． （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟知三角函数的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）先用表示出的长，再进一步表示出长即可； （2）过点作的垂线，垂足为，用分别表示出及的长，再结合的长及正切的定义即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中，，则， ∴， 在中，，则， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作的垂线，垂足为，如图所示： ∵，且是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，． 20. 为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． （1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； （2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】（1）改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米 （2）改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【小问1详解】 解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； 【小问2详解】 解：∵平方米， ∴立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 21. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． （1） ； （2）如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式． （1）结合抛物线的对称性可得． （2）根据题意合抛物线的对称性可得，，由已知条件可得，，，进而根据四边形的面积是25得到，求得，即，，再利用待定系数法求二次函数解析式即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为， 且抛物线上的点，关于对称轴对称， ∴． 故答案为：2． 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∵该抛物线与x轴交于点C、D， ∴点C，D关于直线对称， ∵， ∴，． ∵，， ∴，，． ∵ ∴， 解得， ∴，． ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的表达式为． 22. 如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． （1）当 时，，先补全条件； （2）如果，求的长． 【答案】（1）；理由见解答过程； （2）． 【解析】 【分析】（1）补充的条件是，先证明，进而依据“”判定和全等即可得出； （2）连接，证明和相似得，，则，再根据得和相似，则，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后求出，，证明和相似得，则，由此可得的长． 【小问1详解】 解：当时，,理由如下： ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，,， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接GF，如图所示： ∵，, ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 23. 学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明：连接，如图所示： ∵四边形 与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 运用： 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】略 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． （1）连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； （2）如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【答案】（1）a （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由，即可求解； （2）①证明，得到，，即可求解； ②证明为等腰直角三角形，且与相似，则为等腰直角三角形，进而求解． 【小问1详解】 解：设点A、B的坐标分别为：，， 由抛物线的表达式知，点， 则； 【小问2详解】 解：①，且，则为等腰直角三角形，设点， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 即且， 整理得：，则， 故抛物线的表达式为：； ②由点A、B的坐标得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 由得：，即点； ∵，且， 则为等腰直角三角形， ∵与相似，则为等腰直角三角形， 过点A作轴于点M，则点， 则， 故当点E和点M重合时，即点，符合题意； 如图，取，则为等腰直角三角形， 即点符合题意， 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，解直角三角形，求抛物线解析式等知识点，数据处理是解题的关键． 25. 如图，已知中，，，，点E、F分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点D． （1）当时，求的长； （2）当时，求值； （3）连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）过F作，垂足为点H，利用等角的三角函数值相等可得，，设，则，可得，所以，求出x值，再利用勾股定理求出即可； （2）同（1）思路，证，即可得解； （3）分两种情况讨论，为直角或为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：过F作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ， 设，则， ， , ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过F作，垂足为点H， 由（1）知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图， 此时， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ； ②当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 同理，得， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴ ； 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上海市宝山区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（ ） A. 11米 B. 110米 C. 22米 D. 220米 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形，相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 4. 在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，延长至点D，使，连接交于点G．某同学得到以下两个结论： ①G是线段的黄金分割点；②． 关于结论①和②，下列说法正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都错误 D. ①和②都正确 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，那么的值是 _____． 8. 计算：＝ _________． 9. 计算：_____． 10. 如果二次函数的图象开口向下，那么的取值范围是 ________． 11. 如图，是四边形内一点，点分别在线段上，，，，，，，那么的长是__________． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 _________． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是_______． 14. 如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是________． 15. 如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 _____． 16. 在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 _________． 17. 一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值，这个函数的图象总经过点和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是_____________．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 18. 如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ___________________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． （1）用含的代数式直接表示： ． （2）求的正切值． 20. 为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． （1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； （2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 21. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． （1） ； （2）如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 22. 如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． （1）当 时，，先补全条件； （2）如果，求的长． 23. 学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． （1）连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； （2）如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 25. 如图，已知中，，，，点E、F分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点D． （1）当时，求的长； （2）当时，求值； （3）连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $