精品解析：河北省衡水市武强中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

武强中学2024–2025学年度上学期期末考试 高三数学试题 出题人：吉岩岩 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域的求法，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为的定义域为，由，得到， 所以值域为， 得到，，所以， 故选：A. 2. 已知复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 利用复数的除法运算求得复数，再利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】，，因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，考查逻辑推理和运算求解能力，属于基础题. 3. 已知等比数列中，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，将条件表示为的形式，计算出，再计算即可. 【详解】∵等比数列中，，， ∴ ，解得， ∴． 故选：A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再证明当时，，由此确定正确选项. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 因为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，，，故， 选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征， 故函数的部分图象大致为选项C的图象. 故选：C. 5. 已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可. 【详解】∵点在函数的图象上， ∴，， ∴点坐标为，，． 故选：D 6. 时，不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离参数，构造函数并求出最小值，再结合存在量词命题求出范围. 【详解】不等式，当时，，当且仅当时取等号， 由时，不等式成立，得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用向量平行得到，然后利用齐次化法将所求式子化成含有的式子即可运算求解. 【详解】由于， 故答案：C. 8. 已知，，为球的球面上的三点，圆为△的外接圆，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理求△的外接圆半径，再根据外接球球心与截面圆心距离与截面圆半径、球体半径间的几何关系求球的半径，进而求球的表面积. 【详解】由正弦定理得：△的外接圆半径满足，解得． 设球的半径为，由平面，得， ∴球的表面积为． 故选：． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，） 9. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，可得， 则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确； 当时，可得， 所以的图象关于直线对称，所以C正确； 由，得，所以在上单调递增，所以D正确． 故选：ACD. 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，下列选项正确的是（ ） A. B. 平面 C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正方体性质得线面垂直，线面平行，点到平面的距离，由体积公式确定三棱锥体积，从而判断各选项． 【详解】由正方体的性质平面,平面,则，又，，平面，所以平面，平面，则，A正确； 由正方体的性质知平面，即平面，B正确； 由正方体性质得A到直线的距离为，而到直线的距离为，两个三角形面积不相等，C错； ，而A到平面的距离即到平面的距离，为，因此为定值，D正确， 故选：ABD． 11. 设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 的面积为4 D. 点P在圆上 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，B，根据的三边长度可知其为直角三角形，从而可以判断C，D. 【详解】 由，得，，则，，，因为P是椭圆上一点，所以，因为，所以，，故A错误； 的周长为，故B正确； 因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确； 因为为直角三角形，所以，故点P在圆上，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，） 12. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先对求导，再将代入即可求解. 【详解】由题意可得， 令得， 即. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了导数的运算，属于基础题. 13. 已知数列中，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此可得，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 14. ，若2是与的等比中项，则的最小值是____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比中项可以得到，对“1”进行代换，再根据基本不等式即可求解. 【详解】因为2是与等比中项， 所以，则，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为3， 故答案为：3. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 15. 已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 （1）求角的大小； （2）若，，求边的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理求解； （2）利用余弦定理求解； （2）利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得： ，即， 因为，所以，则； 【小问2详解】 由（1）知，又，， 由余弦定理得：，即， 解得，则； 【小问3详解】 由得：， 则， 所以， . 16. 设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】（1）; （2）,. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的上顶点坐标求得由离心率及椭圆中的关系可求得，从而得椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义得及焦距长可得，由平方及余弦定理解焦点三角形，得，再结合三角形面积公式求得. 【小问1详解】 由题意知，解得，. ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，∴ 又∵P为椭圆上一点，∴， ∴焦点三角形的周长. 在△中，由余弦定理，得 即 ① 由平方，得 ② ②-①，整理得， 所以三角形的面积. 17. 已知四棱锥中，平面，，，， ，点为上靠近的三等分点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在线段上取点，使得，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 在线段上取点，使得，连接、，如下图所示： 因为，则且， 因为，，，则，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 设平面的法向量为，， 则，取，则， 所以，. 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数，在点处的切线方程是. （1）求的值； （2）设函数，若函数只有1个零点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究函数的单调性后计算即可得. 【小问1详解】 ，则， ，解方程组，可得， 即，； 【小问2详解】 由，，故，， ， 故当或时，，当时，， 即在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 若函数只有1个零点，则有或， 即或. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且 （1）求C的方程； （2）点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，由可得，进而得到，即可确定双曲线方程； （2）由（1）有，令、渐近线为，应用点线距离公式求距离，即可得结果. 【小问1详解】 由题意，即，又， 则，， 则，即， 则，即. 【小问2详解】 由（1）知：，将代入双曲线，得， 不妨令，又双曲线渐近线为，如下图示， 所以，，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武强中学2024–2025学年度上学期期末考试 高三数学试题 出题人：吉岩岩 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列中，，，则 A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 时，不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 8. 已知，，为球球面上的三点，圆为△的外接圆，若，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，） 9. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，下列选项正确的是（ ） A. B. 平面 C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥的体积为定值 11. 设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 的面积为4 D. 点P在圆上 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，） 12. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于__________. 13. 已知数列中，且，则__________. 14. ，若2是与的等比中项，则的最小值是____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 15. 已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 （1）求角的大小； （2）若，，求边的值； （3）若，求值. 16. 设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 17. 已知四棱锥中，平面，，，， ，点为上靠近的三等分点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数，在点处的切线方程是. （1）求的值； （2）设函数，若函数只有1个零点，求取值范围. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且 （1）求C的方程； （2）点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$