精品解析：重庆市第八中学校2025届高三上学期综合能力测试数学试题

重庆八中2024-2025学年度（上）高三综合能力测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在校拔河比赛上某班荣获一枚奖牌，如图所示为边长为的正方形，为正六边形，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知公比不为的等比数列的前项和为，若、、成等差数列，且、、也成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 四本大小相同的语文、数学、英语、物理练习册随机堆叠成一座四层小“书山”，记事件为“语文练习册不在最底层”，事件为“数学练习册在语文练习册上层（可以不相邻）”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，四边形是椭圆的内接矩形，当且仅当的斜率为时，矩形的面积最大，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程存在实数解，其中，则所有的实根之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 据1971-2000年资料显示，某市的基本天气情况如下表所示： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 平均温度（） 5.3 6.9 10.9 17.3 22.3 25.7 29.2 20.0 24.6 19.4 10.0 7.0 平均最高温度（） 8.6 10.4 14.4 21.1 26.3 29.4 33.4 33.0 28.7 23.7 17.6 12.0 极端最高温度（） 25.3 27.9 32.5 32.6 35.1 37.7 40.1 39.3 38.0 35.4 31.2 24.8 平均最低温度（） 2.6 4.4 8.1 14.3 19.2 22.7 25.8 25.6 21.6 16.3 10.1 4.7 极端最低温度（） 3.8 10.4 14.8 19.0 19.5 14.2 3.5 平均降水量 74.0 100.7 175.6 223.8 243.8 306.7 144.0 128.9 68.7 59.7 56.8 41.5 降水天数（日） 13.0 13.2 18.0 17.7 16.6 15.5 10.8 10.3 7.7 8.8 7.9 7.8 已知一年内日均温不小于持续期间日平均气温总和叫做积温，积温不同，所对应的热带气候也不同.北亚热带、中亚热带、南亚热带的积温分别为：.若忽略3~11月中日均温低于的日子，以每月均温代替当月日均温，1，3，5，7，8，10，12月有31天．下列说法正确的是（ ） A. 该市1971—2000年有纪录的极大温度差为 B. 该市从1月到12月日均温先增后减 C. 日均降水量最大的为6月 D. 该市处于中亚热带 11. 已知正实数x，y，z满足，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中有理项的个数为__________. 13. 若函数满足，试写出一个的解析式：__________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则__________，的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共71分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）若，求的面积； （2）已知，求的值． 16. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E在棱PD上，且，点F是棱PC上的动点． （1）若F为棱PC的中点，证明：平面AEF； （2）若直线PA与平面AEF所成角的正弦值为，求． 17. 设函数． （1）证明：当 时，恒成立； （2）若对任意恒成立，求a的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线，轴上有一点轴交于点（在轴上方），直线与相交于、两点，且平分． （1）求的斜率； （2）若点为的内心，求的方程． 19. 定义：设数列为无穷整数数列，若对于任意，都满足，其中，则称为“r-可表数列”． （1）若为“1-可表数列”， ，求的所有可能值； （2）若为“2，3-可表数列”，证明：为等差数列； （3）若为“k，-可表数列”，且仅能为等差数列，求k的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024-2025学年度（上）高三综合能力测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】由题意知，， 得， 所以. 故选：B 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 若，取，满足，而， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 在校拔河比赛上某班荣获一枚奖牌，如图所示为边长为的正方形，为正六边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】由题意可知，正六边形的边长为，且， 因为，则，所以，， 又因为，所以，、、三点共线， 根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，则，， 因此，. 故选：C. 4. 已知公比不为的等比数列的前项和为，若、、成等差数列，且、、也成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可求得的值，再根据等比数列求和公式结合等比数列的定义可求得的值. 【详解】不妨设等比数列的公比为，则且， 因为、、成等差数列，则，则， 整理可得，解得，所以，， 因为、、成等差数列，则， 即， 整理可得，故. 故选：C. 5. 四本大小相同的语文、数学、英语、物理练习册随机堆叠成一座四层小“书山”，记事件为“语文练习册不在最底层”，事件为“数学练习册在语文练习册上层（可以不相邻）”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据排列组合问题求出事件、事件的概率，结合条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意知，总的基本事件数为， 事件的基本事件数为，故； 事件：若数学在最顶层，共有种；若数学在次顶层，共有种， 所以事件的基本事件数为，故， 所以. 故选：D 6. 已知，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的正弦公式，结合同角公式化简得解. 【详解】由，得， 整理得，而，即， 所以. 故选：C 7. 如图所示，四边形是椭圆的内接矩形，当且仅当的斜率为时，矩形的面积最大，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，其中，利用二倍角的正弦公式可求得矩形面积的最大值及其对应的的值，可得出点的坐标，根据直线的斜率可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，其中， 则矩形的面积为， 因为，则，故当时，即当时，取最大值， 此时点，则，所以，， 则，故该椭圆的离心率为. 故选：C. 8. 若关于x的方程存在实数解，其中，则所有的实根之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为函数和图象的交点问题，数形结合，结合正弦函数的对称性和直线恒过定点计算即可求解. 【详解】由题意知，方程有解， 即函数和图象有交点， 由，得，即函数的对称中心为， 直线恒过定点，而图象的一个对称点亦为. 作出函数和（其中）的图象，如图， 由图可知，当时，函数和有9个交点，如图， 设交点的横坐标分别为， 则和，和，和，和分别关于点对称， 所以，， 得，即所有的实根之和为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用数形结合的思想，确定两个函数图象的交点情况，结合三角函数的对称性和直线恒过定点问题即可解决. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判断A；利用空间位置关系的向量证明推理判断BD；举例说明判断C. 【详解】对于A，由，得，而，则或，A错误； 对于B，令直线的方向向量分别为，由， 得分别是平面的法向量， 由，得，因此，B正确； 对于C，当时，，是异面直线，且，满足条件， 因此可能推出，C错误； 对于D，令直线的方向向量分别为，由，得是平面的法向量， 由，得，则，，因此，D正确. 故选：BD 10. 据1971-2000年资料显示，某市的基本天气情况如下表所示： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 平均温度（） 5.3 6.9 10.9 17.3 22.3 25.7 29.2 20.0 24.6 19.4 10.0 7.0 平均最高温度（） 8.6 10.4 14.4 21.1 26.3 29.4 33.4 33.0 28.7 23.7 17.6 12.0 极端最高温度（） 25.3 27.9 32.5 32.6 35.1 37.7 40.1 39.3 38.0 35.4 31.2 24.8 平均最低温度（） 2.6 4.4 8.1 14.3 19.2 22.7 25.8 25.6 21.6 16.3 10.1 4.7 极端最低温度（） 3.8 10.4 14.8 19.0 19.5 14.2 3.5 平均降水量 74.0 100.7 175.6 223.8 243.8 306.7 144.0 128.9 68.7 59.7 56.8 41.5 降水天数（日） 13.0 13.2 18.0 17.7 16.6 15.5 10.8 10.3 7.7 8.8 7.9 7.8 已知一年内日均温不小于持续期间日平均气温总和叫做积温，积温不同，所对应的热带气候也不同.北亚热带、中亚热带、南亚热带的积温分别为：.若忽略3~11月中日均温低于的日子，以每月均温代替当月日均温，1，3，5，7，8，10，12月有31天．下列说法正确的是（ ） A. 该市1971—2000年有纪录的极大温度差为 B. 该市从1月到12月日均温先增后减 C. 日均降水量最大的为6月 D. 该市处于中亚热带 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意给的表格分析数据的特征，依次计算即可判断. 【详解】A：由图知极㙐最高温度最大为，极竤最低温度最小为，则最大温度差为，故A正确； B：12个月的日均温变化情况为：1到7月上升，7到8月下降， 8到9月上升，9到12月下降，故B错误； C：由图知 6 月日均降水量最大为 306.7 ，故C正确； D：该市的积温为 ， 所以该市处于中亚热带，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正实数x，y，z满足，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】可利用基本不等式来判断A，B选项，对于C，D选项，则需要利用余弦定理来构造几何图形，利用数形结合思想来判断即可. 【详解】对于A，由正实数，结合基本不等式可得：， 又由，可得 ， 则有，解得， 假设，根据，可得， 代入得：，此时这个等式不成立，即， 所以，故A正确； 对于B，由可得：， 又由基本不等式可得：， 所以有， 解得， 同样假设，代入可得：， 代入，可解得， 再代入得：， 所以，即，故B正确； 对于C，由可得：， 构造成余弦定理得：， 由，也构造成余弦定理得：， 由，构造成勾股定理得：， 令， 如图则有：， ，， 根据图形可知：，所以，故C错误； 对于D，由上可知：，则， 则，又由， 而， 所以有，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：对于由等式判断不等式，需要利用基本不等式来求解，但对于复杂的二元二次等式，可利用余弦定理构造几何图形来加以判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中有理项的个数为__________. 【答案】34 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由的幂指数是整数求得答案. 【详解】二项式展开式通项为， 当是整数，即是3的整数倍时，是有理项， 因此可以取，共34个， 所以展开式中有理项的个数为34. 故答案为：34 13. 若函数满足，试写出一个的解析式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】取，验证该函数满足不等式即可. 【详解】不妨取， 当时，， ， 所以，函数满足， 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则__________，的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，根据对称性转化为同一焦点弦的两条焦半径之间的关系，利用焦半径公式即可求得定值； 第二空，通过相似比求出为定值，即点的轨迹为椭圆的一部分，从而求得的最小值. 【详解】延长交双曲线于点，由可知，点与点关于原点对称，即，设直线的倾斜角为，由焦半径公式可知： ， 所以. 又因为，所以，设， 则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为椭圆的一部分，椭圆方程为， 所以， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共71分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）若，求的面积； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数恒等变换的化简计算可得，则，由题意得，结合三角形的面积公式计算即可求解； （2）易知为钝角，则均为锐角.由同角的三角函数关系可得，进而，结合诱导公式计算即可求解. 【小问1详解】 由，得， 由，得，即， 得，所以， 得，又，所以. 又，所以，则，得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则为钝角，所以均为锐角. 由，得， 则，所以， 得，由，解得， 所以，， 所以. 16. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E在棱PD上，且，点F是棱PC上的动点． （1）若F为棱PC的中点，证明：平面AEF； （2）若直线PA与平面AEF所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直，即证结论. （2）令，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法，结合已知正弦值求出即可. 【小问1详解】 由四棱锥底面为正方形，底面，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 不妨令，点在棱上，且， 则， 由是棱的中点，得，， 设平面的法向量，则，令，得， 而，则，即，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 设与平面所成的角为，由（1）知，， 设，则， 设平面的法向量，则， 令，得，而， 因此， 解得，即，所以. 17. 设函数． （1）证明：当 时，恒成立； （2）若对任意恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）证明：当 时，，令，求导得， 当时，，当 时，， 函数 在上递减，在 上递增， 因此，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数求出 的最小值即可. （2）变形给定的不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任意， 令，求导得， 令， 求导得，函数在 上单调递减，而， 当 时，，当 时，， 则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 因此，则， 所以a的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线，轴上有一点轴交于点（在轴上方），直线与相交于、两点，且平分． （1）求的斜率； （2）若点为的内心，求的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意计算可得，设、，由平分，则，再借助斜率公式计算即可得，即可得解； （2）由题意可得点到直线与到直线距离相等，借助点到直线的距离公式计算即可得. 【小问1详解】 由题意：，即， 设、，由题意可得， 则， 由平分，可得， 又，同理， 即有， 即，即， 故； 【小问2详解】 由点为的内心，则点也在的角平分线上， 即点到直线与到直线距离相等， 设，， 即，， 则有， 整理得， 令，则， 即有，即， 整理得， 即或，则或， 故的方程为或， 而当的方程为时，点在该直线上，不合题意，故舍去， 故的方程为. 【点睛】关键点点睛：最后一问中，运用内心的性质得到点到直线与到直线距离相等是关键. 19. 定义：设数列为无穷整数数列，若对于任意，都满足，其中，则称为“r-可表数列”． （1）若为“1-可表数列”， ，求的所有可能值； （2）若为“2，3-可表数列”，证明：为等差数列； （3）若为“k，-可表数列”，且仅能为等差数列，求k的取值集合． 【答案】（1）的所有可能值为或或或 （2）证明见详解 （3）的取值集合为全体正奇数 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据求出的所有可能值； （2）证明，分和并结合数学归纳法即可证明； （3）利用两个绝对值等式去逼迫数列每一项的取值，当为奇数时，由于和互素，这种逼迫可以延伸到所有项，而为偶数时，偶数项和奇数项相互独立，各自内部制约，所以不能逼迫出等差数列. 【小问1详解】 由题意得，所以， 所以或，因为， 所以或或，因为， 所以或或或； 【小问2详解】 由题意得，， 所以，， 所以，若， 则，， 所以，，， 因为，， 所以，同理， 所以， 若，则， 假设时，当时， ，， 所以，所以归纳证明， 若，同理可证明； 【小问3详解】 当为偶数时，若为“k，-可表数列”，且仅能为等差数列， 则仍是“k，-可表数列”，其中任取， 但时数列不是等差数列， 故不符合题意，当为奇数时，类似（2）， 因为与互素，所以， 当时，对和成立， 引理：若对和成立，则对和成立（证明略，在（2）中已使用）， 下面证明对均成立， 利用上述引理来递归地扩大范围， 该图示意了从小到大方向的一轮递推，图中所有数字都作为满足， 只看已证的奇数，包含了和的所有奇数， 对于，可用逼迫出， 所以的所有奇数都作为满足， 偶数同理，所以可以证明对均成立， 再利用引理归纳证明，， 所以必为等差数列，所以取值于全体正奇数. 【点睛】关键点点睛：本题（2）（3）关键在于正确使用数学归纳法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $