精品解析：广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末质量监测 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 3. 若直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 中，，，则的面积（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ） A. 甲24000元，乙24000元 B. 甲32000元，乙16000元 C. 甲40000元，乙8000元 D. 甲36000元，乙12000元 6. 若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ） A. B. C. D. 8. 过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（ ） A. 曲线C不可能表示一个圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 10. 已知随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与事件相互独立 B. 若，则事件与事件互为对立 C. 若事件两两独立，则 D. 若事件两两互斥，则 11. 如图，曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于对称 B. 的最大值为 C. 该椭圆的离心率为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的实轴长为，则正数___________. 13. 已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是___________. 14. “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 16. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于或小于时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在时记为区间. 组号 分组 频数 （1）求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； （2）从区间的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于内的概率. 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知圆关于直线对称. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求； （3）在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 19. 如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点. （1）求抛物线的方程； （2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末质量监测 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，，所以，故. 故选：D. 2. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 3. 若直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行可构造方程组求得的值，利用平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】，，解得：， ，，即， 与之间的距离. 故选：D. 4. 中，，，则的面积（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】求直线的方程和，以及点到直线的距离，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 可知直线，即， 可得点到直线的距离， 所以的面积. 故选：C. 5. 今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ） A. 甲24000元，乙24000元 B. 甲32000元，乙16000元 C. 甲40000元，乙8000元 D. 甲36000元，乙12000元 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配. 【详解】乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为， 所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理， 所以甲元，乙元， 故选：D. 6. 若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆的圆心，再结合题意即可得解. 【详解】圆化为标准方程为， 则圆心为，半径， 由题意得，解得. 故选：C. 7. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的特征，将向量数量积转化为投影向量，即可判断结果. 【详解】因为平面，平面，平面均与直线垂直， 所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同， 且互不相等，故共有个不同的值． 故选：A 8. 过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件结合三角形与内切圆的位置关系得出点在的角平分线上， 利用线线垂直证出四边形进而证出为正方形，由焦点到渐近线的距离结合双曲线、 、三者的几何意义，利用直线的斜率与倾斜角的关系式得出的值，结合双曲线的离心率与 的关系式得出双曲线的离心率. 【详解】如图， 设的内切圆的圆心为，则在的平分线上， 过点分别作于，于， 由得出四边形为正方形， 设，直线的方程为，则. 又因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（ ） A. 曲线C不可能表示一个圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由、、、是否有解，判断各项正误. 【详解】A：若，无解，故曲线C不能表示一个圆，对； B：若，无解，故曲线C不能表示焦点在x轴上的椭圆，错； C：若，可得，满足曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，对； D：若，可得，满足曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，对. 故选：ACD 10. 已知随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与事件相互独立 B. 若，则事件与事件互为对立 C. 若事件两两独立，则 D. 若事件两两互斥，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据反例可判断BC的正误，根据独立事件的定义可判断A的正误，根据互斥事件的概率性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据事件独立性的定义可得独立，故A正确； 对于B，记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数， 事件：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足， 但不是对立事件，故B错误；. 对于C：考虑从1，2，3，4中随机选出一个数字， 记事件“取出的数字为1或2”，“取出的数字为1或3”，“取出的数字为1或4”， 则“取出的数字为1”， 显然， ， 满足，，， 所以事件A，B，C两两独立，但是，故C错误. 对于D，若两两互斥， 根据互斥事件的概率性质可得， 故选：AD 11. 如图，曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于对称 B. 的最大值为 C. 该椭圆的离心率为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据曲线对称性的定义，可判断A的真假，并求出椭圆的长轴长和短轴长，根据离心率的概念，可求椭圆的离心率，判断C的真假；利用基本（均值）不等式可以判断B的真假；把方程看成关于的不等式，利用可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】在曲线上任取一点，点关于直线的对称点为， 则，即点也在曲线上，故曲线关于直线对称，A正确； 由题意知，，，， ，B正确： 联立方程，解得顶点坐标为和， 所以椭圆长轴长为；同理可得另外两个顶点坐标为和， 所以椭圆的短轴长为，所以， 所以该椭圆的离心率为：，C错误； 看作关于的一元二次方程，， 解得，D正确， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：在曲线方程中，若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，代替，方程不变，则曲线关于原点对称；若用代替，同时用代替，方程不变，则曲线关于直线对称. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的实轴长为，则正数___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的实轴可求得正实数的值. 【详解】由题意可知，双曲线的实轴在轴上，且， 又因为，解得. 故答案为：. 13. 已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知、两点在直线的异侧或在直线上，列出不等式，求出解集即可 【详解】由题意：、两点在直线的异侧或在直线上， 所以. 故答案为： 14. “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的光学性质，结合等腰三角形三线合一的推论与中位线定理分析得点的轨迹为圆，再利用点到圆上点的距离的最值求法即可得解. 【详解】因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用椭圆的性质分析得点的轨迹是圆，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. 【小问1详解】 联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 16. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于或小于时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在时记为区间. 组号 分组 频数 （1）求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； （2）从区间的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于内的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用样本在上的频数除以可得所求频率； （2）设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、， 列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； 【小问1详解】 由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快. 而样本在上的频数为，所以所求频率为； 【小问2详解】 设事件为“从区间的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于内”， 设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、， 因此，从区间的数据中任取两个数据， 包含、、、、、、、、、，共个样本点， 而事件包含、、、、、，共个样本点，所以. 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，由面面垂直的性质可得出平面，可得出，由等腰三角形的几何性质可得出，再线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为为等边三角形，为的中点，所以. 因为，，，则，所以，. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，、平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知，因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，令，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知圆关于直线对称. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求； （3）在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，分析可知，直线过圆心，求出的值，即可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得弦的长； （3）求出点到直线的距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 圆的方程可化为，圆心为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，得. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得圆心为，半径， 又直线的方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. 【小问3详解】 圆的圆心为，半径长为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 19. 如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点. （1）求抛物线的方程； （2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2）证明如下： 由题知，设， ，代入抛物线可得， ， 又， 同理. （3）证明如下： 因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）先求直线再联立抛物线得出韦达定理应用中点坐标得出,进而得出抛物线； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【小问1详解】 当时，， 联立消去， 可得， 设， 拋物线C方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解题定点的关键是先点斜式设出直线方程结合抛物线方程得出直线,同理得出的直线方程进而得出定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $