精品解析：四川省泸州市2024-2025学年高二上学期期末统一考试数学试题

泸州市高2023级高二上学期末统一考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则甲、乙至少有一人中靶的概率为（ ） A. 0.02 B. 0.26 C. 0.72 D. 0.98 5. 已知圆锥的母线所在直线与底面所成角为，若该圆锥的母线长为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列说法一定错误的是（ ） A. 这组数据可能是对称的 B. 数据中可能有异常值 C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同 7. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线与的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 10. 如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，是空间任意一点，则（ ） A. 四边形EFGH是平行四边形 B. 直线与是异面直线 C. 直线与垂直 D. 11. 已知点，点是曲线上任意一点，直线与直线的斜率之和为常数，则（ ） A. 曲线经过点 B. 曲线关于原点对称 C. 直线与曲线无交点 D. 点到原点距离有最小值 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知双曲线的焦距为，则的值为______． 13. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为______． 14. 已知正三棱锥侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据新高考改革方案，再选学科以等级赋分计入高考成绩．按照方案，将考生原始成绩从高到低划分为、、、、五个等级，各等级人数所占比例分别为、、、、．为让学生适应新高考的赋分模式，某市在高二的调研考试中对学生的再选学科成绩进行赋分．已知该市本次高二调研考试化学学科考试满分为分，现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取名学生的原始成绩进行分析，其频率分布表如下表所示． 成绩分组 频数 频率 （1）求出频率分布表中、、的值，并用样本估计总体的方法估计该市本次化学原始成绩等级中的最低分； （2）为充分发挥调研考试的作用，更有效地指导教师的教和学生的学，若采用按比例分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取人进行个案分析，求这人中至少有人原始成绩在内的概率． 16. 如图，在正方体中，分别是，各棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知曲线上的点到直线的距离比到点的距离多． （1）求曲线的方程； （2）设点在曲线上，过点直线与曲线相切，且与椭圆相交于、两点，求（其中为坐标原点）的面积． 18. 已知直线过定点，圆的方程为． （1）求坐标，并判断与圆的位置关系； （2）已知，圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． （3）已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．若为线段，求点集所表示的图形面积． 19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且． （1）求点A的坐标； （2）设点在上． （ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值； （ⅱ）若，过直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市高2023级高二上学期末统一考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，故. 故选：D. 3. 已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量在坐标平面上的投影的概念确定． 【详解】向量在坐标平面Oxy上投影向量是． 故选：A． 4. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则甲、乙至少有一人中靶的概率为（ ） A. 0.02 B. 0.26 C. 0.72 D. 0.98 【答案】D 【解析】 【分析】先求出甲乙两名运动员都没有中靶的概率，进而可得至少有一人中靶的概率． 【详解】甲乙两名运动员都没有中靶的概率为：， 则至少有一人中靶的概率为：， 故选：D． 5. 已知圆锥的母线所在直线与底面所成角为，若该圆锥的母线长为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面角计算出该圆锥的高和底面半径长，结合锥体体积公式可求得结果. 详解】如下图所示： 设圆锥的母线长、高、底面半径分别为、、，则， 因为圆锥的母线所在直线与底面所成角为，则，可得， 所以，， 因此，该圆锥的体积为. 故选：A. 6. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列说法一定错误的是（ ） A. 这组数据可能是对称的 B. 数据中可能有异常值 C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、众数的定义逐一分析判断即可． 【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平， 如果一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据分布极不均匀，所以这组数据不对称，A错； 这一组数据的中位数比平均数小很多，说明其中有异常数据，且异常数据偏大，即有极端大的值，BC正确； 众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，D正确． 故选：A． 7. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线与的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，证明，，可得四边形为菱形，利用面积法求出菱形的高即可求出直线与的距离. 【详解】在棱长为1的正方体中，取中点，连接，    因为为线段的中点，则，四边形为平行四边形， 于是，又为线段的中点，则，四边形为平行四边形， 于是，从而，同理，四边形为平行四边形， 而，因此四边形为菱形，显然， 令直线到直线的距离为，由，得， 所以直线到直线的距离为. 故选：. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程，即可求出离心率. 【详解】 由，可得在同一条直线上， 设，则， 由椭圆的定义， 则 因为，则即，解得， 所以 在中，， 在中，， 则，化简得，即,解得：. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义逐项分析判断. 【详解】事件，事件，事件， 对于A，事件没有公共元素，不可能同时发生，与互斥，A正确； 对于B，事件可以同时不发生，如点数5，与不对立，B错误； 对于C，，，与相互独立，C正确； 对于D，由选项C知，，则，D错误. 故选：AC 10. 如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，是空间任意一点，则（ ） A. 四边形EFGH是平行四边形 B. 直线与是异面直线 C. 直线与垂直 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据中位线定理即平行的传递性可判断A；根据异面直线的判定判断B；由于平行四边形EFGH不一定是菱形，可判断C；由向量的加法性质化简即可判断D. 【详解】在中E，H分别是AB，AD的中点， 所以为的中位线， 所以，且，同理，且， 所以，，即四边形EFGH是平行四边形，A正确； 直线平面，平面， 所以直线与是异面直线，B正确； 平行四边形EFGH不一定是矩形，即与不一定垂直， 所以直线与不一定垂直，C错误； 四边形EFGH为平行四边形，所以为EG中点， 因为E，G分别是AB，CD的中点， 所以， D正确. 故选：ABD 11. 已知点，点是曲线上任意一点，直线与直线的斜率之和为常数，则（ ） A. 曲线经过点 B. 曲线关于原点对称 C. 直线与曲线无交点 D. 点到原点的距离有最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出轨迹方程代入点的坐标可判断A；设是曲线上的点，把代入轨迹方程可判断B；直线与曲线方程联立可判断C；求出点到原点的距离利用基本不等式判断D. 【详解】由题意可得，因为，所以，则可化简为，， 对于，把代入， 得 ，故曲线经过点， 故错误； 对于，设是曲线上的点，代入可得化为， 则也在曲线上，故曲线 关于原点对称，故 正确； 对于 ，联立 ，得 ，无解， 故直线 与曲线无交点，故 正确； 对于 ， ， 当时等号成立； 故 的最小值为 ，故 正确. 故选： . 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知双曲线的焦距为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距可求得的值. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，则，，， 所以，，解得. 故答案为：. 13. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，结合图形可知，当、、三点共线时，即当时，取最小值，即可得解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足点，如下图所示： 由抛物线的定义可得，则， 结合图形可知，当三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为，因此，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点在底面内的射影为点，连接、、，求出、的长，可知平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆，结合圆的周长公式可求得结果. 【详解】设点在底面内的射影为点，连接、、， 则为等边的中心， 因为正三棱锥的侧棱两两垂直，，则， 则是边长为的等边三角形， 由正弦定理可得，则， 因为平面，、平面，则，， 所以，，则， 所以，平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆， 所以，平面截点的轨迹所得曲线的周长为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据新高考改革方案，再选学科以等级赋分计入高考成绩．按照方案，将考生原始成绩从高到低划分为、、、、五个等级，各等级人数所占比例分别为、、、、．为让学生适应新高考的赋分模式，某市在高二的调研考试中对学生的再选学科成绩进行赋分．已知该市本次高二调研考试化学学科考试满分为分，现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取名学生的原始成绩进行分析，其频率分布表如下表所示． 成绩分组 频数 频率 （1）求出频率分布表中、、的值，并用样本估计总体的方法估计该市本次化学原始成绩等级中的最低分； （2）为充分发挥调研考试的作用，更有效地指导教师的教和学生的学，若采用按比例分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取人进行个案分析，求这人中至少有人原始成绩在内的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为，可求得的值，根据频数、频率和样本容量的关系可求得、的值；根据百分位数的定义可求得该市本次化学原始成绩等级中的最低分； （2）分析可知，从内抽取人，分别记为、，从内抽取人，分别记为、、、，列举出所有的基本事件以及所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 已知样本总数为，频率之和为，频率频数样本容量， 所以， 即，； 等级人数所占比例为，那么名学生中等级的人数为（人）， 由频率分布表可知，成绩在的人数为人， 成绩在人数为（人）， 所以等级的最低分在这个区间内， 设等级中的最低分为，区间的频率为， 则，解得：， 所以估计该市体次化学原始成绩等级中的最低分为分． 【小问2详解】 原始成绩在内的学生有人，在内的学生有人，共有（人）， 要抽取人，设从内抽取人，那么从内抽取人， 则，解得：， 所以从内抽取人，分别记为、， 从内抽取人，分别记为、、、， 设事件为“这人中至少有人原始成绩在内” 所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、 、、，共个， 事件所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共个， 由古典概型的概率公式可得. 16. 如图，在正方体中，分别是，各棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据向量数量积为零证明直线垂直，再利用线面垂直的判定定理可证明平面； （2）分别求出求平面的法向量与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦公式可求平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 设正方体的棱长为2，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系； ，， 进而得到向量； 因为， 所以，即； 因为， 所以，即， 因为，且平面， 所以平面． 【小问2详解】 已知， 则， 设平面的法向量为，则有，即， 令，可得：，所以； 由（1）可知，是平面的一个法向量； 设平面与平面的夹角为，两平面法向量的夹角为，则， 根据向量点积公式， 其中， ，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知曲线上的点到直线的距离比到点的距离多． （1）求曲线的方程； （2）设点在曲线上，过点的直线与曲线相切，且与椭圆相交于、两点，求（其中为坐标原点）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设曲线上的点，根据题意可得出关于、的等式，化简即可得出曲线的方程； （2）求出点的坐标，分析可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由求出的值，可得出直线的方程，再将直线与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 设曲线上的点，点到直线的距离为， 到点的距离为 已知点到直线的距离比到点的距离多，则， 当时，，移项得：， 两边平方得：， 展开得：，化简，得：； 当时，，即， 整理得，而，等式不成立， 所以曲线的方程为． 【小问2详解】 因为点在曲线上， 将代入曲线方程，得，解得：，所以， 由图可知，直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，即， 联立可得， 所以，，解得， 所以，直线的方程为，即； 设点、， 联立得，， 由韦达定理得：，， 根据弦长公式，这里， 所以， 点到直线（即）的距离， 即的面积． 18. 已知直线过定点，圆的方程为． （1）求的坐标，并判断与圆的位置关系； （2）已知，圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． （3）已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．若为线段，求点集所表示的图形面积． 【答案】（1）点的坐标为，直线与圆相交 （2）不存在 （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变形，可求出点的坐标，然后判断点与圆的位置关系，即可得出直线与圆的位置关系； （2）设点，根据求出点的轨迹方程，可知点在圆上，判断圆和圆的位置关系，即可得出结论； （3）确定点集所对应的平面区域，数形结合可求出点集对应的平面区域的面积. 【小问1详解】 将直线变形为， 令，解得：，所以点的坐标为， 将圆的方程转化为标准方程， 则圆心，半径，点到圆心的距离， 因为，即点到圆心的距离小于圆的半径， 所以点在圆内部，直线与圆相交． 【小问2详解】 设点，已知、， 由，可得：， 整理得，即，即， 所以，点在圆上，且圆心，半径为， 圆的方程为，， 所以，，所以，两圆外离， 所以，圆上不存在点，使得成立. 【小问3详解】 已知、，则线段的方程为， 点集所表示的图形是由两条平行于且与距离为的线段， 以及以、为圆心，半径为的两个半圆所围成的图形，两条平行线段的长度为， 两个半圆可拼成一个半径为的圆， 所以该图形的面积为． 19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且． （1）求点A的坐标； （2）设点在上． （ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值； （ⅱ）若，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线． 【答案】（1）点A的坐标为或或或 （2）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得双曲线方程，设，由可得 ，然后由点A在双曲线上可得答案； （2）（ⅰ）将直线PQ方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，据此可化简直线的斜率之和，由此可完成证明； （ⅱ）设直线MN方程为，，将直线MN方程与双曲线渐近线方程联立，可得，结合，可得，将直线PG方程代入双曲线方程可得：P的横坐标与Q的横坐标，据此可得，随后可完成证明. 【小问1详解】 求双曲线方程及点A的坐标： 已知双曲线右焦点，离心率， 因为在双曲线中（为半焦距），且，所以， 又因为，所以， 则双曲线的方程为； 设，则， 由，可得：，即， 又因为在双曲线上，所以，即， 将代入，得：， 整理，得，解得：， 当时，，即； 当时，，即， 所以点A的坐标为或或或； 【小问2详解】 （ⅰ）证明：直线的斜率之和为定值： 因为点A在第一象限，所以，设直线的方程为， 联立，消去得：， 化简得： 由韦达定理，得：， 直线的斜率，直线的斜率， 则， 因为，代入上式， 得：， 将上式的分子展开，得： ， 整理，得：， 代入， 可得， 即，所以直线斜率之和为定值； （ⅱ）证明三点共线：双曲线的渐近线方程为， 由题可得直线PQ，MN斜率存在且不为0 设直线MN方程为，设 如图，直线MN与交点为M，与交点为N. 联立，解得：，即， 联立，解得：，即， 则. 由，则 移项并利用平方差公式，可得： . 由题，直线PG斜率为，直线QG斜率为，又， 则， 则，又， 则. 直线PG方程为：， 代入中， 则， 据此可得P的横坐标即， 同理可得Q的横坐标即. 则，. 则. 由，代入，则. 则， 则点G满足直线MN方程，所以G，M，N三点共线. 【点睛】关键点点睛：证明三点共线，通常可利用向量，由向量共线证明三点共线， 也可利用斜率，由两条线段相交且斜率相等完成证明，或类似于本题，利用坐标法完成证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $