精品解析：四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）模拟练习数学试题

四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）模拟练习数学试题（自编供学生使用） （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图像大致是 A. B. C. D. 3. 存在函数满足：对于任意的，都有（ ） A. B. C. D. 4. 已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ） A 5或 B. 1或3 C. 1 D. 5 8. 函数是R上的严格增函数，、为实数，则是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 已知，且，则（     ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，，则 11. 已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为2，则下列说法正确的是（ ） A. 2是的一个周期 B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知点是角的终边上的两点，若，则的值为________． 13. 已知，表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数，若存在满足，且，当取最小值时，最小值为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B. （1）若，求集合A； （2）若，求正数a的取值范围. 16. 已知，，函数的最小值为. （1）求的值； （2）求证：. 17. 已知() （1）证明：； （2）若成立，求的取值范围. 18. 已知函数，且不等式的解集为. （1）求实数的值； （2）若对一切实数恒成立，求实数取值范围. 19. 已知奇函数（实数、为常数），且满足. （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）当时，函数恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）模拟练习数学试题（自编供学生使用） （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的交运算求. 【详解】. 故选：A 2. 函数图像大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用为奇函数可排除B,D，再利用且时，可排除A，问题得解． 【详解】因为为奇函数，所以排除B,D 当且时，，排除A 故选C 【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，可从奇偶性，单调性，函数值，对称性等方面逐一排除即可，考查转化能力及观察能力，属于中档题． 3. 存在函数满足：对于任意的，都有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法结合函数的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，取，则，；取，则，. A选项不满足条件； 对于B选项，取，则，；取，则，. B选项不满足条件； 对于C选项，，满足函数定义，C选项满足要求； 对于D选项，取，则，；取，则，. D选项不满足条件. 故选：C. 4. 已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及函数性质，作出的大致图象，利用图象即可求出结果. 【详解】依题意作出的大致图象，如图所示， 令，得， 当时，， 又时，，易知在区间上单调递增， 又，所以时，，又为奇函数， 所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点， 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性定义，验证与的关系，并在时，根据复合函数单调性判断的单调性. 【详解】， 故函数为偶函数； 时，， 易知单减，单减， 则单减， 故选：D 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质把自变量变成大于的数，再利用中间值法比较自变量的大小即可得出答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 又因为在上单调递增，且，，， 所以，所以. 故选：D 7. 点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ） A. 5或 B. 1或3 C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】在曲线的点作切线，使得此切线与直线平行，得，进而根据题意得点到直线的距离为时满足条件，根据点到直线的距离公式得或，再结合图形分析即可得答案. 【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行， 因为，于是，所以，∴， 于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个， ∴ ，解得或， 又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足； 当时，函数的图象与直线相交，满足条件. 故选：D． 8. 函数是R上的严格增函数，、为实数，则是的（ ）条件． A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】讨论的大小关系，结合函数的单调性及不等式的性质判断的大小. 【详解】，即，则，即； ，即，则，即； ，即，则，即； 其它情况，不妨假设 i若，即时，则，故，所以； ii若时，则，故，， ，即时，则，故，所以； ，即时，则，故，所以 ，即时，则，故，则； iii若，即时，则，故，所以； 综上，时有，反之也成立； 时有，反之也成立； 时有，反之也成立 所以是的充要条件. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 已知，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：若 ，显然成立，但是，本选项不成立； B：因为， 所以， 即，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确； C：因为，且， 所以，即， 当且仅当时取等号，显然成立，故本选项正确； D：因为，且， 所以， 当且仅当时取等号，因此本选项正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数函数的单调性和基本不等式. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC，举例判断即可，对于B，给已知等式两边取自然对数化简判断，对于D，先表示出，然后化简，再利用基本不等式分析判断. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：BD 11. 已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为2，则下列说法正确的是（ ） A. 2是的一个周期 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据周期定义可推得周期为4，又因为，结合奇偶性可推得，，，根据以上各式即可判断各选项. 【详解】的最小正周期为2， 则，即， 所以的最小正周期为4，故A错误； 是定义域为的奇函数，所以. 又4是的一个周期，所以，，故B项正确； 因为4是的一个周期，，故C项正确； 因为4是的一个周期， ， 又是定义域为的奇函数，所以有， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知点是角的终边上的两点，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】列方程组解得参数后，即可求得角的正弦值和余弦值，代入即可解决. 【详解】由点是角的终边上的两点， 可得，解之得， 则有，故， 则 故答案为： 13. 已知，表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，令，作出的图象，利用数形结合即可得到的取值范围． 【详解】解：由，得， ①若，设， 则当，，此时， 当，，此时，此时， 当，，此时，此时， 当，，此时，此时， 当，，此时，此时， 作出函数的图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点， 由图象可知； ②若，设， 则当，，此时，此时， 当，，此时，此时， 当，，此时，此时， 当，，此时，此时， 当，，此时，此时， 作出函数的图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点， 由图象可知. 综上，或， 故答案为：． 14. 已知函数，若存在满足，且，当取最小值时，的最小值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意，都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值． 【详解】对任意， 要使取得最小值，尽可能多让取得最值点， 考虑， 则按下图取值即可满足条件，∴的最小值为8，的最小值为6. 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图像和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意，都有是解答该题的关键，属于难题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B. （1）若，求集合A； （2）若，求正数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求解一元二次不等式即得. （2）求出集合，再利用并集的结果，借助集合的包含关系求解即得. 【小问1详解】 当时，不等式，解得， 所以. 【小问2详解】 由，解不等式，得，即， 解不等式，得，即，则， 由，得，因此， 所以正数a的取值范围是. 16. 已知，，函数的最小值为. （1）求的值； （2）求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求得的值； （2）利用基本不等式得出，利用对数函数的单调性可证得原不等式成立. 【小问1详解】 解：因为，，由绝对值三角不等式可得， 因此，. 【小问2详解】 证明：，且， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故， 由已知可得，故. 17. 已知() （1）证明：； （2）若成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式及基本不等式计算可得； （2）依题意，即，再对分类讨论，分别计算，最后取并集即可； 【详解】解：（1）由得， 当且仅当，即时取等号，∴； （2）由得， 由得，即， 当时，，恒不成立， 当时，，有，即，解得， 综上，的取值范围是. 18. 已知函数，且不等式的解集为. （1）求实数值； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，求出不等式的解集，从而得到方程组，解得即可； （2）将对一切实数恒成立转化为即可. 【小问1详解】 由得，解得. 又不等式的解集为， 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 设，则， 当且仅当时等号成立. 对一切实数恒成立，等价于. 实数的取值范围为. 19. 已知奇函数（实数、为常数），且满足. （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）当时，函数恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）减函数，证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用奇函数的定义和求出函数解析式，再利用函数单调性的定义证明即可， （2）由（1）可求出函数的最小值，将问题转化为，从而可求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 因为为奇函数， 所以，即， 解得， 所以， 因为，所以，得， 所以， 函数在区间上单调递减，理由如下： 任取，且，则 ， 因为，且， 所以，，， 所以， 所以，即， 所以在区间上单调递减， 【小问2详解】 由（1）可知在区间上单调递减， 所以， 因为当时，函数恒成立， 所以即，解得， 所以实数m的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $