精品解析：河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期第四次月考（1月）数学试题

邢台一中2024—2025学年第一学期第四次月考 高二年级数学试题 考试范围：选择性必修第一册、数列 命题人：张伟 一审：吕军朝 二审：高原 说明： 1.本试卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分不必要条件 3. 已知椭圆离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ） A B. C. D. 4. 已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于 A. 1 B. C. D. 5. 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知单调递减的等比数列满足，，记为其前项的和，则（ ） A. B. C. D. 7 7. 已知数列的前n项和为，下列说法错误的是（ ） A. 若则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，且，则 8. 下列选项中，p是q的充要条件的是（ ） A. p：或，q：两条直线与平行 B. p：直线与曲线有两个不同交点， C. 圆外部， D. p：直线与圆相离， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线经过点，，则下列命题是真命题的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若平面的一个法向量是，则 C. 若平面的一个法向量是，且，则 D. 若为坐标原点，且，则，，，四点共面 10. 已知双曲线：的左右顶点分别为，，点（，）是双曲线上的点，直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. 双曲线的焦距为8 B. 当时， C. 的最小值为 D. 当取最小值时，的面积为 11. 已知数列的前项和为，（，）.若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列中的最小项为 C. D. 若，数列的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，，，则三棱锥的体积是_____. 13. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是_____. 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为等差数列，求. 16. 已知数列：1，，，…，，… （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前n项和，求； （3）设，，证明：. 17. 已知三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，平面与底面的交线为直线． （1）若，证明：； （2）若三棱锥的体积为为交线上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围． 18. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 19. 二进制是在数学和数字电路中以2为基数记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果十进制中的整数，则这个数在二进制下记为，即.记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为，即. （1）计算； （2）证明：； （3）求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邢台一中2024—2025学年第一学期第四次月考 高二年级数学试题 考试范围：选择性必修第一册、数列 命题人：张伟 一审：吕军朝 二审：高原 说明： 1.本试卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与直线的位置关系建立方程，结合三角函数的基本公式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 2. 已知为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当时， ， 当时，， 时，与不一定相等，不必要， 故选：A． 3. 已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点可知，且焦点在y轴上，再结合离心率求，即可得方程. 【详解】因为抛物线，即为，其焦点坐标为， 即椭圆的一个焦点为，可知，且焦点在y轴上， 又因为，即，可得， 所以椭圆方程为. 故选：D. 4. 已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于 A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质将化为同底的，再化简，将分子分母配凑成前n项和的形式，再利用题干条件，计算． 【详解】∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有， ∴． 故选B. 【点睛】本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题． 5. 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算得出计算即可求参. 【详解】 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点， 可得 ， 所以 则. 故选：B. 6. 已知单调递减的等比数列满足，，记为其前项的和，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】应用等比数列通项公式结合递减数列求出q，再应用求和即可. 【详解】已知，，所以，设等比数列公比为， 因为等比数列是单调递减，所以， 所以，所以， 所以，所以或（舍），所以， 所以. 故选：A. 7. 已知数列的前n项和为，下列说法错误的是（ ） A. 若则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】A项，根据数列的通项公式即可求出前项的和；B项，利用比例关系即可求出的值；C项，化简通项公式，利用裂项相消法即可求出；D项，求出数列的周期，即可求出. 【详解】由题意， 对于A，在中， ，A正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，当时，可得，同理当时，可得，依次可求得，依此类推，可知该数列的周期为3，，故D正确． 故选：C. 8. 下列选项中，p是q的充要条件的是（ ） A. p：或，q：两条直线与平行 B. p：直线与曲线有两个不同交点， C. 在圆外部， D. p：直线与圆相离， 【答案】B 【解析】 【分析】充要条件是指p可以推出q，q也可以推出p，需要根据每个选项中p和q的关系进行分析判断. 【详解】对于A，若两条直线与平行， 所以，解得或，但是当时，两直线重合， 所以，则p是q的必要不充分条件，故A错误； 对于B，，可得，， 所以， 表示圆心为，半径的圆的上半部分，如图所示： 直线恒过点，一般式为， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得， 当时，左边圆上的端点为，此时斜率为， 所以， 所以p是q的充要条件，故B正确； 对于C， 圆半径， 即，所以， 因为在圆外部， 所以，解得， 综上，所以p是q的充分不必要条件，故C错误； 对于D，圆化为标准式为：， 圆心为，半径为， 若直线与圆相离， 则圆心到直线的距离为， 两边平方化简得，综上， 所以p是q的充分不必要条件，故D错误； 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线经过点，，则下列命题是真命题的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若平面的一个法向量是，则 C. 若平面的一个法向量是，且，则 D. 若为坐标原点，且，则，，，四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用方向向量的性质判断A，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，仿照给定条件建立等式，判断共面即可. 【详解】对于A，因为直线经过点，， 所以，即是直线的一个方向向量，故A正确， 对于B，因为，所以， 则或，故B错误， 对于C，因为，所以， 故或，当时，因，所以， 当时，因为，所以， 综上，成立，故C正确， 对于D，因为，，所以，， 则，而， 故，即， 得到，即，，，四点共面，故D正确. 故选：ACD 10. 已知双曲线：的左右顶点分别为，，点（，）是双曲线上的点，直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. 双曲线的焦距为8 B. 当时， C. 的最小值为 D. 当取最小值时，的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据双曲线的标准方程即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，D，利用基本不等式的性质即可判断C，D. 【详解】对选项A，因为双曲线：，所以双曲线的，焦距为，故A正确. 对选项B，如图所示： 由，得. 因为，，所以， 所以当时，，，故B正确. 对选项C，D，由题意，， 所以， 当且仅当即，即，时等号成立， 所以的最小值为， 此时的面积为，故C错误，D正确. 故选：ABD 11. 已知数列的前项和为，（，）.若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列中的最小项为 C. D. 若，数列的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用与关系结合累乘法判断A，利用数列单调性的判定法则得到单调性，再求解最值判断B，利用放缩法结合裂项相消法判断C，先利用作差法判断数列单调性，再求最值判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 移项配凑得， 得到， 故， 化简得，即，，， 当时，，此时符合题意， 当时，， 故， 因为，所以，故， 而，且， 则数列是公差为的等差数列，故A正确， 对于B，， ， 令，而， ，故， 当时，， 故， ，令， 由对钩函数单调性得在上单调递增， 故，即， 故，即，则时，单调递增， 当时，取得最小值，此时， 而， 则数列中最小项为，故B错误， 对于C，因为， ， 所以， ，故C正确， 对于D，因为， ， 故数列单调递增，当时，取得最小值， 最小值为，而，，故， 故，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是对给定式子合理变形，然后利用累乘法得到通项公式，结合放缩法与裂项相消法得到所要求证明的不等关系即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，，，则三棱锥的体积是_____. 【答案】1 【解析】 【分析】应用空间向量法求点到平面距离结合三棱锥的体积公式计算求解. 【详解】已知点，，，， 则， 所以， 设平面法向量为， ， 所以，所以， 令，所以，， 所以点P到平面距离为， 则三棱锥的体积是. 故答案：1. 13. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是_____. 【答案】135 【解析】 【分析】根据“被3除余2且被5除余4的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列通项公式结合范围计算求解可得结果． 【详解】被3除余2且被5除余4的数构成首项为14， 公差为15的等差数列，记为， 则， 令 ，解得． ∴将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列，则该数列的项数是135． 故答案为：135． 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 【答案】 【解析】 【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中， 化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, ∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，① 在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②， 在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③， ， 由柯西不等式得（1+）（）≥（）2 故答案为 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）证明：数列等比数列； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）39 【解析】 【分析】（1）分析可得，结合等比数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，结合等差数列的性质列式求解. 【小问1详解】 因为，则， 且，可得， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得：，则， 由题意可得：，， 即，解得，所以的值为39. 16. 已知数列：1，，，…，，… （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前n项和，求； （3）设，，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数列前几项可得，由等差数列求和公式化简即可； （2）由（1）可得，利用“错位相减法”即可求得． （3）由（1）可得，裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由条件可知：. 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∴， ， 两式相减，得 ， ∴. 【小问3详解】 由（1）知， ∴， ∴ ， 故得证. 【点睛】关键点点睛：第三问关键在于得到后利用放缩法得到，进而利用裂项相消法求得，放缩法是证明不等式成立的一种重要方法. 17. 已知三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，平面与底面的交线为直线． （1）若，证明：； （2）若三棱锥的体积为为交线上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，结合不等式知识，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意：，∴分别为棱的中点，∴， ． 为等边三角形，为中点， ． 又平面，平面， 平而； 【小问2详解】 如图，在底面内过点作的平行线，即为平面与底面的交线， （因为，则，A为平面与底面的公共点，故为平面与底面的交线） 由题意，可得，即， 故底面的面积为， 设底面上的高为，则，于是， 注意到侧面是边长为2的正三角形，取中点， 连接，则，从而即为三棱锥的高，故平面， 取中点，连接，则， 于是，以点为坐标原点．所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系，则，， 于是，， 设平面的一个法向是为， 则，即， 解得，即， 由线面所成角的定义可知. 18. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证； （ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可. 【小问1详解】 设，显然，由题设， 所以，即为动点P的轨迹方程； 【小问2详解】 由题意，可设直线，则， （i）设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）由题意， 又，当且仅当时等号成立， 联立，得，显然， 所以，，则，， 所以， 综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立. 19. 二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果十进制中的整数，则这个数在二进制下记为，即.记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为，即. （1）计算； （2）证明：； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用二进制表示7，可求. （2）由即二进制的进位制度，探索与的关系. （3）先求数列的通项公式，再求和. 【小问1详解】 因为，所以 【小问2详解】 设， 即， 则， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， 因此数列的前n项和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$