精品解析：贵州省黔东南州2024-2025学年高三上学期期末统测数学试卷

黔东南州2024—2025学年度第一学期高三期末统测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】根据题意,即,则复数在复平面内对应的点为位于第四象限， 故选：D 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合选项分析得在为减函数，根据，可得函数零点所在的区间. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵函数，在均为减函数， ∴在为减函数， ∵，， ∴函数的零点所在区间为. 故选：A. 4. 已知某圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得. 【详解】依题意，该圆台的体积为. 故选：C 5. 已知单位向量的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求出，再利用数量积的定义求出最大值. 【详解】单位向量的夹角为，则， 所以，当且仅当同向共线时取等号， 所以的最大值为. 故选：A 6. 已知是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质列式计算即得. 【详解】在等比数列中，，由，得， 又，则，于是，而，所以. 故选：B 7. 已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 8. 从20张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花4个花色，每个花色均有数字从2~6的5张牌）中抽取4张牌，若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同，则不同的抽取方法有（ ） A. 960种 B. 1440种 C. 1920种 D. 2880种 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算得解. 【详解】先从5个数字中任选1个数字，有种选法，再从4种花色中选取2种有种； 从余下4个数字中选取2个数字，每个数字选取1种花色有， 所以不同的抽取方法有（种）. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为 C. 是图象的一条对称轴 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得， 的单调递增区间为，B正确； 对于C，，不是图象的对称轴，C错误； 对于D，当时，，，D正确. 故选：ABD 10. 在棱长为2的正方体中，是棱的中点，动点在正方形内（包括边界），若平面，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定性质、面面平行的判定推理确定点的轨迹，再逐项判断即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，取的中点， 连接，，点平面， ，平面，平面，则平面， ，则四边形是平行四边形，， 平面，平面，则平面，而， 平面，因此平面平面，而平面， 则平面，又点在正方形内（包括边界），于是点， 即点的轨迹为线段，其长度为，A正确； 点到的距离为，则点到的距离为，即的最小值为，B错误； ，平面，平面，则，而， 平面，于是平面，若，则平面， 点，而线段与无公共点，因此与不垂直，C错误； 平面，与平面所成的角，， 又，因此，D正确. 故选：AD 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】令，则若，则常数， 设则，不存在常数，对于任意的实数，使得上式成立，显然不符合，故，A正确； 由且，得， 令，得，因为，所以， 令，则，令，则，B错误； 由，可得代入，所以， 令，可得，所以是偶函数，C正确； 取，满足，此时为的极大值点，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为锐角，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式计算得解. 【详解】依题意，， 由为锐角，得，所以. 故答案为： 13. 若直线是曲线和曲线的一条公切线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得直线与曲线相切于点,再根据直线与曲线相切,即可求出的值. 【详解】由可得,令可得, 将代入,可得, 故直线与曲线相切于点, 故直线的方程为. 因为直线与曲线相切, 故联立可得, 则,解得. 故答案为: 14. 已知圆过椭圆的左、右焦点，曲线与曲线在第一象限的交点为，若的面积为，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，借助三角形面积及圆的方程求出点的坐标，进而求出即可求出离心率. 【详解】圆中，令，得，解得，即， 设，，， 点在椭圆上，则，又，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且 （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边转化为角，再根据三角函数的性质即可求解; （2）根据余弦定理，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 整理得，即. 因为，所以， 所以，即， 【小问2详解】 在中，,由余弦定理得, 所以, 当且仅当时等号成立， 所以, 即面积的最大值为. 16. 某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者被公司录取．甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响．已知甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试． （1）在甲、乙、丙三人中，谁被录取的可能性最大？ （2）设甲、乙、丙三人中被录取的人数为，求的分布列和期望． 【答案】（1）甲被录取的可能性最大 （2） 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率的乘法公式分别求出三人被录取的概率，比较即可解答； （2）由已知确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望. 【小问1详解】 甲被录取的概率为；乙被录取的概率为； 丙被录取的概率为；因为，所以甲被录取的可能性最大； 【小问2详解】 由题意随机变量的所有可能取值有0，1，2，3， ，， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 于是期望. 17. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，是棱的中点，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1）在四棱锥中，连接，由正方形，得， 由平面，平面，得，而， 平面，因此平面，而平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角为. 18. 已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是 （1）求的方程． （2）已知是右支上两点，且． （ⅰ）若，求直线的斜率． （ⅱ）若为等边三角形，求的高． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）设出双曲线方程，由已知求出参数即可. （2）（ⅰ）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合向量关系求出斜率；（ⅱ）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、弦长公式及点到直线距离公式，结合正三角形条件列式求解. 【小问1详解】 依题意，设的方程为，由的一个焦点是，得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，由，得，即， 显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得，， 则，，而， 联立消去，得，解得， 由是右支上两点，得，则，， 所以直线的斜率为. （ⅱ）直线的斜率存在，设其方程为，， 由消去得，， 则，， ，则线段的中点， 由，得，整理得， 点到直线的距离，由等边，得， 即，解得，满足，， 所以的高为 19. 定义：如果函数在定义域内存在两个零点；且存在实数，使成立，那么称函数为函数． （1）已知函数为函数，求的取值范围． （2）已知函数恰有两个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：函数为函数． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理求出的两根和与积，再利用函数为函数的定义列式求出范围. （2）（ⅰ）利用导数求出函数的最小值，再分类讨论求出的范围；（ⅱ）利用导数证明不等式恒成立，再借助的零点与及的零点关系推理证得结论. 【小问1详解】 依题意，是方程的两个根，则，， 于是，， 由是函数，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，而， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，， 当时，，， ，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， ，于是， 因此函数在和上各有一个零点， 当时，，则函数在上至多一个零点，不符合题意， 所以的取值范围是. （ⅱ）设， ， 则，当时，， 而，即， 由，得，由，得，函数在上单调递减， 在上单调递增，，即， 设的零点为，则， 设，易得，， 设， 设，则， 由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立， 因此，设的零点为， 易知，则，即． 所以，即函数为函数． 【点睛】关键点点睛：利用导数证明不等式恒成立，将的零点问题转化为的零点、的零点处理是求解为函数的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔东南州2024—2025学年度第一学期高三期末统测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 6. 已知是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 从20张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花4个花色，每个花色均有数字从2~6的5张牌）中抽取4张牌，若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同，则不同的抽取方法有（ ） A. 960种 B. 1440种 C. 1920种 D. 2880种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为 C. 是图象的一条对称轴 D. 在上的值域为 10. 在棱长为2的正方体中，是棱的中点，动点在正方形内（包括边界），若平面，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 与平面所成角的正切值的最大值为 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为锐角，，则______． 13. 若直线是曲线和曲线的一条公切线，则______． 14. 已知圆过椭圆的左、右焦点，曲线与曲线在第一象限的交点为，若的面积为，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且 （1）求； （2）若，求面积的最大值． 16. 某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者被公司录取．甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响．已知甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试． （1）在甲、乙、丙三人中，谁被录取的可能性最大？ （2）设甲、乙、丙三人中被录取的人数为，求的分布列和期望． 17. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，是棱的中点，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 18. 已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是 （1）求的方程． （2）已知是右支上两点，且． （ⅰ）若，求直线的斜率． （ⅱ）若为等边三角形，求的高． 19. 定义：如果函数在定义域内存在两个零点；且存在实数，使成立，那么称函数为函数． （1）已知函数为函数，求的取值范围． （2）已知函数恰有两个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：函数为函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $