精品解析：上海市杨浦高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

杨浦高级中学2024学年第一学期高一年级数学期末 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每题4分，7-12题每题5分 1. 已知集合，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 【详解】由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. 故答案：. 2. 函数过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】由，令即可得解. 【详解】由题意得，函数，令，即时，解得，即函数的图象过定点. 故答案为：. 3. 已知方程的两根为，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由即可求值. 【详解】由题设知：， ∴，， ∴. 故答案为：. 4. 半径为，圆心为的圆弧的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将扇形圆心角化为弧度数，然后利用扇形的弧长公式即可计算出答案. 【详解】弧度，半径为，圆心为的圆弧的长. 故答案为：. 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，解题时要注意扇形的圆心角应化为弧度，考查计算能力，属于基础题. 5. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式解法求解， 【详解】恒成立，原不等式可化为，即， 解得， 故答案为： 6. 已知是第二象限角，那么 为第_______________象限角 【答案】一或三 【解析】 【分析】根据题意推得，再对是偶数或奇数分类讨论即可得解. 【详解】因为是第二象限，所以，得， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角. 故答案为：一或三 7. 记，那么______. 【答案】1. 【解析】 【分析】根据对数运算法则，化简原式，求值. 【详解】 . 故答案为：1 【点睛】本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型. 8. 关于x的方程的解集为________． 【答案】； 【解析】 【分析】分，，和，讨论求解. 【详解】解：当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式为，恒成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 所以原不等式的解集为， 故答案为： 9. 已知满足，，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，都有， 所以在上为增函数， 当时，，易知函数在上为增函数； 当时，则，解得， 综上，，则a的取值范围为， 故答案为：． 10. 已知，若实数且，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式常数代换技巧求解的最小值. 【详解】函数，定义域为R， ，则为奇函数， 若实数且，函数单调递增， 则有，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 11. 设函数定义域为R,对于下列命题: ①若存在常数M,使得对任意的,都有成立,则M是函数的最大值; ②若函数的图像是一条连续不断的曲线,且对区间,有,则函数在区间上不存在零点; ③若函数满足对任意的，都有或都有成立，则函数是偶函数或奇函数; ④若函数满足对任意的，任意的,都有成立,则函数在R上严格递增; 其中，所有假命题的序号为__________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用函数最大值的定义判断命题①；结合零点存在定理的理解，判断命题②；利用函数奇偶性的定义判断命题③；利用增函数的定义判断④. 【详解】若存在常数，使得对任意的，都有成立，若是的最大值，还需要，，命题①错误； 若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有， 则函数在区间上可能存在零点， 如函数，满足，函数区间上有零点0，命题②错误； 若函数满足对任意的，都有，则函数是偶函数， 若函数满足对任意的，都有， 则函数是奇函数，故命题③错误； 若函数满足对任意的，任意的,都有成立,则函数在R上严格递增,命题④正确. 故答案为：①②③ 12. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】画出的图象如下： 因为最多两个零点， 即当，或时，有两个不等零点， 要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点， 则且， 即的两个不等零点， 则要满足，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ） A. 都能被5整除 B. 至多有一个能被5整除 C. 或不能被5整除 D. 都不能被5整除 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 14. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 15. 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（ ） A. B. 2，3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二分法的定义和题设条件，得出方程组，即可求解. 【详解】由函数， 根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数， 所以函数在至多有一个零点， 又由依次确定了零点所在区间为， 可得，即，解得. 故选：A. 16. 定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（ ） A. 存在唯一的常值函数是“m相依函数” B. 是“m相依函数” C. “2025相依函数”至少有一个零点 D. “相依函数”至少有一个零点 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据题中条件进行验证即可；对于B，根据定义得到关于的方程组，解出即可判断；对于C，利用赋值法结合零点存在性定理即可判断；对于D，代入分析即可. 【详解】对于A，设，则， 当，满足，则是“相依函数”，不唯一，故A错误； 对于B，当时，对任意都成立， 化为， 则有，无解，则不是“相依函数”，故B错误； 对于C，若， 令，则， 当时，有实根， 当时，， 根据零点存在性定理知，在区间上必有实根， 所以“2025相依函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，则， 不能判定方程在内有根， 根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故D错误， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“相依函数”的定义，通过验证、列方程组、零点存在性定理以及赋值法即可判断. 三、解答题（满分76分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知，设集合，集合. （1）分别求集合A和B； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得到，结合，求出或； （2）根据交集的结果得到包含关系，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【小问1详解】 , 解得，故， 因为，所以，故， 故或； 【小问2详解】 因为，所以， 故或， 结合，解得或， 故a的取值范围是. 18. 已知函数为幂函数，且为奇函数. （1）求的值； （2）求函数在的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）首先根据幂函数的定义得到，从而得到或，再根据为奇函数，即可得到答案. （2）首先根据题意得到，再利用换元法求值域即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 即或 又因为函数为奇函数，所以，. （2）， 设，因为，所以，. 所以， 当时，，当时，，故值域为. 19. 诺贝尔奖的发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学或医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元,假设基金平均年利率为. （1）请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）? （2）设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为）,试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达151万美元”是否与计算结果相符,并说明理由. 【答案】（1）万美元；万美元 （2）相符，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意先求得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额和每项奖金发放额即可； （2）由题意先求得，和，结合指数式的特点，由此归纳出的表达式，再计算出2011年诺贝尔奖发放后基金总额及2012年诺贝尔奖各项奖金发放金额，从而判断出新闻的真实性． 【小问1详解】 由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元； 每项奖金发放额为万美元； 【小问2详解】 由题意知：， ， ， 所以，． 则2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为， 即2012年度诺贝尔奖各项奖金额为万美元， 计算结果与新闻相符． 20. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （2）解不等式； （3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）严格单调递增；证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义及指数函数的性质即得； （2）利用函数单调性即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分，讨论，利用二次函数的性质可得. 【小问1详解】 根据题意，在R上单调递增； 证明：任取，且， 则， ∵，∴，∴．即， 故函数在R上单调递增； 【小问2详解】 根据题意，函数．则，， ∵，∴， 又函数在上单调递增，则有， 故不等式的解集为． 【小问3详解】 根据题意，若关于的方程只有一个实根， 即方程有且只有一个实数解． 令，则，问题转化为：方程有且只有一个正数根， ①当时，，不合题意， ②当时，若，则或，若，则，符合题意； 若，则，不合题意， 若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 21. 已知函数与定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【答案】（1）函数是函数在上的“L函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可； （2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可； （3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可. 【小问1详解】 对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； 【小问2详解】 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； 【小问3详解】 对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦高级中学2024学年第一学期高一年级数学期末 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每题4分，7-12题每题5分 1. 已知集合，且，则______． 2 函数过定点________. 3. 已知方程的两根为，，则______. 4. 半径为，圆心为的圆弧的长为___________. 5. 不等式的解集为____________. 6. 已知是第二象限角，那么 为第_______________象限角 7. 记，那么______. 8. 关于x的方程的解集为________． 9. 已知满足，，都有，则实数的取值范围为______． 10. 已知，若实数且，则最小值是______． 11. 设函数定义域为R,对于下列命题: ①若存在常数M,使得对任意的,都有成立,则M是函数的最大值; ②若函数的图像是一条连续不断的曲线,且对区间,有,则函数在区间上不存在零点; ③若函数满足对任意的，都有或都有成立，则函数是偶函数或奇函数; ④若函数满足对任意的，任意的,都有成立,则函数在R上严格递增; 其中，所有假命题的序号为__________. 12. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ） A. 都能被5整除 B. 至多有一个能被5整除 C 或不能被5整除 D. 都不能被5整除 14. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 15. 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（ ） A. B. 2，3 C. D. 16. 定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（ ） A. 存在唯一的常值函数是“m相依函数” B. 是“m相依函数” C “2025相依函数”至少有一个零点 D. “相依函数”至少有一个零点 三、解答题（满分76分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知，设集合，集合. （1）分别求集合A和B； （2）若，求a的取值范围. 18. 已知函数为幂函数，且为奇函数. （1）求的值； （2）求函数在的值域. 19. 诺贝尔奖的发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学或医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元,假设基金平均年利率为. （1）请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）? （2）设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后基金总额（1998年记为）,试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达151万美元”是否与计算结果相符,并说明理由. 20. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （2）解不等式； （3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 21. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $