精品解析：上海市奉贤区2023-2024学年高二下学期期末练习数学试卷

2023学年第二学期奉贤区高二数学练习卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-11题每题5分，第12题前空2分，后空3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 抛物线的准线方程为______． 2. 直线倾斜角是__________ 3. 已知数列为等差数列，，，则公差________. 4. 的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 5. 在中，，，所对的边分别是，，，已知，则______________． 6. 某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为_______． 7. 若函数在处取得极值，则实数的值为_________． 8. 若一个圆锥的母线长为10，其高与底面圆半径之比为4：3，则此圆锥的体积为________.（结果中保留） 9. ①事件A和事件B互斥，则； ②数据2，3，6，7，8，10，13，15的第50百分位数为7； ③在线性回归模型中，拟合误差越小，表示回归的效果越好； ④随机变量X的方差，则. 其中正确命题的序号为_________. 10. 小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率______． 11. 已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________． 12. 已知，，，，则________；________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果. 13. “”是“直线与直线垂直”的（ ）. A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知直线l、m、n与平面，，则下列命题中正确的是（ ）. A 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 16. 设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质：①存在等差数列具有性质；②不存在等比数列具有性质；对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）需要写出相应的过程. 17. 如图，在长方体中，，. （1）求二面角的大小； （2）若点P是的中点，求证：直线平面. 18 已知函数，实数. （1）若，求此函数的最小正周期，对称轴和单调区间； （2）若此函数在上最大值为1，求的取值范围. 19. 某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 （1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ （2）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望. 附：，. 20. 如图，曲线上，下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上. （1）写出椭圆的长轴长，顶点坐标和对称性； （2）求线段MN的长； （3）若线段PQ的中点在轴上，且直线PQ的斜率为4，求P点坐标. 21. 对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. （1）判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； （2）若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； （3）试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期奉贤区高二数学练习卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-11题每题5分，第12题前空2分，后空3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 2. 直线的倾斜角是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程确定直线斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 记倾斜角为，则，又， 所以. 故答案为：. 3. 已知数列为等差数列，，，则公差________. 【答案】2 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式列方程组直接计算即可. 【详解】由数列为等差数列,则有，解得. 故答案为：. 4. 的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 【答案】10. 【解析】 【详解】解：因为由二项式定理的通项公式可知 5. 在中，，，所对的边分别是，，，已知，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由，变形后利用余弦定理表示出，即可确定出的度数. 【详解】， 即， ， 三角形内角， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查对基本定理掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 6. 某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，求出，即可求得结果. 【详解】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为， 又，所以数学分数属于闭区间的概率为， 所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人. 故答案为： 7. 若函数在处取得极值，则实数的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，依题意，即可求出，再代入检验即可； 【详解】解：因为，所以，则，解得，此时，所以，当或时，当时，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足条件； 故答案为： 8. 若一个圆锥的母线长为10，其高与底面圆半径之比为4：3，则此圆锥的体积为________.（结果中保留） 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的高为，底面半径为，由已知可得，可求得圆锥的体积. 【详解】因为圆锥的高与底面圆半径之比为4：3，所以设圆锥的高为，底面半径为， 所以母线长为，又圆锥的母线长为10，所以，解得， 所以圆锥的的体积为. 故答案为：. 9. ①事件A和事件B互斥，则； ②数据2，3，6，7，8，10，13，15的第50百分位数为7； ③在线性回归模型中，拟合误差越小，表示回归的效果越好； ④随机变量X的方差，则. 其中正确命题的序号为_________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由互斥的并事件的概率判断①，利用百分位数的定义计算可判断②，拟合误差越小，表示回归的效果越好可判断③，利用方差的性质计算可判断④. 【详解】对于①，事件A和事件B互斥，则，故①正确； 对于②，因为，所以数据2，3，6，7，8，10，13，15的第50百分位数为，故②不正确； 对于③，在线性回归模型中，拟合误差越小，表示回归的效果越好，故③正确； 对于④，随机变量X的方差，则，故④错误. 故答案为：①③. 10. 小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况， 事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故， 若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即. 所以. 故答案为： 11. 已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】如图所示， 由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b， ∵∠MAN=60°， ∴|AP|=b， ∴|OP|=． 设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=． 又tan θ=， ∴，解得a2=3b2， ∴e=． 答案： 点睛： 求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）． 12. 已知，，，，则________；________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，依次求导，探求出求导后的规律，再按周期性求值即可. 【详解】因为，， ， ， ， 所以， 所以， 所以， ； 所以， ， ， 所以. 【点睛】关键点睛：关键在于求导找到规律，利用规律计算即可 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果. 13. “”是“直线与直线垂直”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直求出值即可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 则“”是“直线与直线垂直”的充要条件. 故选：C. 14. 已知直线l、m、n与平面，，则下列命题中正确的是（ ）. A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间线线，线面，面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，，则或与异面，故A错误； 对于B，若，则在面内存在一条直线，使得，又，所以， 又，所以，故B正确； 对于C，若，，则或或或，故C错误； 对于D，若，，则或与异面或，故D正确． 故选：B. 15. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 16. 设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质：①存在等差数列具有性质；②不存在等比数列具有性质；对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】B 【解析】 【分析】直接构造和，说明存在等差数列具有性质，且存在等比数列具有性质，从而得到①真②假. 【详解】一方面，对，知是等差数列. 而，令就有， 所以具有性质，这表明存在等差数列具有性质； 另一方面，对，知等比数列. 当为奇数时，；为偶数时，. 故当为奇数时，；为偶数时，. 故当为奇数时，；为偶数时，. 这表明恒成立，再令就有， 所以具有性质，这表明存在等比数列具有性质. 综上，①正确，②错误，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：构造和作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）需要写出相应的过程. 17. 如图，在长方体中，，. （1）求二面角的大小； （2）若点P是的中点，求证：直线平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接，可得是二面角的平面角，进而计算可得二面角的大小； （2）连接，连接BD交AC于O，连接，四边形是平行四边形，可得，进而可证结论. 【小问1详解】 如图，连接BD交AC于O，连接， 易证且，则是二面角的平面角 在中，，，则， 所以二面角的大小是； 【小问2详解】 如图，连接，连接BD交AC于O，连接， 易证且， 所以是平行四边形，所以， 因为BP不在平面上，平面， 所以平面. 18. 已知函数，实数. （1）若，求此函数的最小正周期，对称轴和单调区间； （2）若此函数在上最大值为1，求的取值范围. 【答案】（1），，严格增区间：，严格单调减区间： （2） 【解析】 【分析】（1）分别利用和，即可求得单调递区间，同理可求得单调递减区间. （2）由，可求得的取值范围. 【小问1详解】 若，则函数， 所以最小正周期， 由，可得，所以对称轴， 由，可得， 所以函数严格增区间为：， 同理可得严格单调减区间为：. 【小问2详解】 设函数， 因为，所以， 因为，所以， 解得. 19. 某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 （1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ （2）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望. 附：，. 【答案】（1）有把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据计算的观测值，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，进而求出数学期望. 【小问1详解】 零假设：患慢性气管炎与吸烟无关， ， 由，而，从而否定原假设， 即有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. 【小问2详解】 按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人， 的可能值为0，1，2，3， ，，，， 所以. 20. 如图，曲线的上，下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上. （1）写出椭圆的长轴长，顶点坐标和对称性； （2）求线段MN的长； （3）若线段PQ的中点在轴上，且直线PQ的斜率为4，求P点坐标. 【答案】（1）长轴长是4，顶点坐标，，关于原点中心对称，关于轴，轴轴对称 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）由曲线方程可求得，可求长轴长与顶点坐标，进而可得对称性； （2）依题意可求，可求得，进而计算可求线段MN的长； （3）由题意可得，计算可得，由已知可得，进而可求P点坐标. 【小问1详解】 由曲线，曲线，所以， 长轴长是4，顶点坐标， 对称性：关于原点中心对称，关于轴，轴轴对称. 【小问2详解】 依题意得：，所以，由轴，得：， 代入椭圆方程得：， 所以线段MN的长为3. 【小问3详解】 显然，线段PQ的中点在轴上，则， 有，. 所以，， 或者， 或 21. 对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. （1）判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； （2）若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； （3）试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）存在，理由见解析 （2） （3）存在，答案见解析 【解析】 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【小问1详解】 因为对恒成立， 所以存在一条分界线. 【小问2详解】 对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 【小问3详解】 画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$