精品解析：湖南省衡阳市耒阳市正源学校2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

正源学校高一年级期末考试试卷 数学试卷A 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 的零点个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离为1.若，，，，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 不等式的解集为 C. 在区间上单调递减 D. 为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 10. 如图，在正四面体中，已知为棱的中点.现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ） A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B. 四点共面 C. 点到的最近距离为 D. 异面直线与所成角的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______. 12. 将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______. 13. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度（单位：cm），所得数据统计如图. （1）求a的值，并估计这批植株高度的平均数和众数； （2）若从高度在和的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在内的概率. 15. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 16. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并写出的对称轴方程； （2）在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围． 18. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 正源学校高一年级期末考试试卷 数学试卷A 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的定义求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 2. 已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可. 【详解】因为是实数， 所以， 故选：A 3. 设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或相交，故B错误； 对于C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C正确； 对于D，若，，，当，不一定垂直于， 故D错误. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 5. 的零点个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，在同一坐标系下，作出函数的图象，即得解. 【详解】令， 在同一坐标系下，作出函数的图象，如图所示， 由于的图象有两个交点， 所以的零点个数为2, 故选：B 【点睛】本题主要考查零点个数的判定，考查指数对数函数图象的作法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 6. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求出，再利用投影向量的计算公式，可得答案. 【详解】由，则， ，则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B 7. 在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离为1.若，，，，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将五面体补成正三棱柱，求出三棱柱的体积即可得到结果. 【详解】 如图，延长至点，延长至点，延长至点，使得， ∵棱AD，BE，CF互相平行，∴，故五面体为三棱柱，且体积为原五面体体积的2倍， ∵AD，BE，CF两两之间距离为1，， ∴三棱柱为正三棱柱，底面是边长为1的等边三角形，高为4， ∴三棱柱的体积为， ∴该五面体的体积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 不等式的解集为 C. 在区间上单调递减 D. 为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图象性质及函数变换逐项判断. 【详解】函数， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，则， 解得，B正确； 对于C，当时，， 而正弦函数在上不单调， 因此在上不单调，C错误； 对于D，平移后的解析式为，D错误. 故选：AB 10. 如图，在正四面体中，已知为棱的中点.现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ） A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B. 四点共面 C. 点到的最近距离为 D. 异面直线与所成角的范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，求出组合体的体积即可； 对于B，由线面垂直，线线垂直，又有公共点即可判断； 对于C，设为的中点，令为的中点，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，结合图形可知当，，三点共线时，可求最小值； 对于D，结合B、C选项可判断. 【详解】对于A，因为，所以等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1； 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为，故A不正确； 对于B，在正四面体中，各个侧面都是等边三角形，又因为为棱的中点， 所以，，又，相交于点，又都在平面内， 所以平面，又，与平面有一个公共点， 所以在平面内，所以四点共面，故B正确； 对于C，在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 由图可知当，，三点共线，且当运动到的位置时，到的距离最小， 在直角中，，所以，故C不正确； 对于D，由B、C可知，在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，， 由线面角的概念可知，与圆锥底面中的直线所成最小角就是，最大角一定为，由此可知异面直线与所成角的范围为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______. 【答案】50 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第75百分位数的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以所求的第75百分位数是. 故答案为：50 12. 将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出正四棱锥内切球半径即可求得球的表面积. 【详解】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 13. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得参数值，令，，根据已知得并应用向量数量积的运算律求最值. 【详解】由题设，则， 所以， ， 令，，则 ， 所以 ， 当时，的最小值为. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度（单位：cm），所得数据统计如图. （1）求a的值，并估计这批植株高度的平均数和众数； （2）若从高度在和的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在内的概率. 【答案】（1），20.7，22； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估计平均数及众数. （2）求出两个区间内抽取的人数并编号，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得； 高度的平均数； 高度在区间的频率最大，所以高度的众数为22. 【小问2详解】 高度在和的频率分别为0.1和0.2， 因此抽取6株样本，高度在有2株，记为，在有4株，记为， 从6株样本中任取2株的样本空间，共15个， 抽取的2株植株高度均在内的事件,共6个， 所以抽取的2株植株高度均在内的概率. 15. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 16. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并写出的对称轴方程； （2）在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数，再根据周期求出的值,利用整体法即可求解对称轴. （2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得，故，故，根据正弦函数的定义域和值域求出的取值范围． 【小问1详解】 ． ，． 故 令，解得， 故对称轴方程为： 【小问2详解】 由得， ． ，，,． ，， ， 18. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 【答案】（1）②；①；③ （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案. （2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围. （3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值. 【小问1详解】 由于，所以. 对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性； 当在上单调递增时，， 所以在上具有性质是在上单调递增的必要而不充分条件. 对于性质，当时，，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，的符号无法判断， 所以在上具有性质是在上单调递增的充分而不必要条件. 对于性质，若，则，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，， 所以在上具有性质是在上单调递增的充要条件. 【小问2详解】 对于任意的，且， 有， 由于在满足性质，即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 由于任意的，且，所以， 所以， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 实数的最小值为1. 理由如下： 因为在上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个， 所以对任意且，若满足性质A，， 若满足性质，则，若满足性质C、D，则， 性质B、C、D同时满足，所以仅满足性质A，此时， 有恒成立. 因为的定义域为，所以. 当时，， 所以，从而，不合题意； 当时，， 所以，从而， 要使恒成立，只需使，即恒成立， 若，则，使，这与矛盾， 当时，，恒成立， 所以的最小值为1. 【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $