精品解析：福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

福建师大附中2024－2025学年上学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：曾豪 审核：周裕燕 试卷说明： （1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷. （2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知在等比数列中，，，则（ ） A. 9或 B. 9 C. 27或 D. 27 2. 若方程需表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A 或 B. C. D. 3. 设实数x，y满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 5. 如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中应，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 10. 已知有穷数列共有4项，前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若这个数列是等差数列，则 B. 若，则这个数列是等差数列 C. 若这个数列是等差数列，则， D. 若，，则这个数列是等差数列 11. 已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则（ ） A. 关于轴对称 B. C. D. “”充要条件是“” Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为______. 13. 已知在数列中，，则__________． 14. 已知双曲线：（，），两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点.若的面积为，则的面积为______. 四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点 （1）求抛物线的准线方程； （2）求的面积（为坐标原点）. 16. 记等差数列的前n项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，若，求m的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，分别在棱，上，是的中点. （1）若是的中点，求直线与平面所成的角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，椭圆：过点，且的离心率为.直线：与交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点. （1）求的方程； （2）求最大值； （3）证明：为定值. 19. 已知数列的前项和为，且，数列满足. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建师大附中2024－2025学年上学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：曾豪 审核：周裕燕 试卷说明： （1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷. （2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知在等比数列中，，，则（ ） A. 9或 B. 9 C. 27或 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可求. 【详解】因为为等比数列，设公比为， 则，解得，又，所以. 故选：B. 2. 若方程需表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由即可得解. 【详解】若方程需表示双曲线， 则，解得或. 故选：A. 3. 设实数x，y满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，则表示经过原点的直线，求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值． 【详解】解：设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率． 所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值． 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切， 此时的斜率就是其倾斜角的正切值． 易得，，可由勾股定理求得， 于是可得到，即为的最大值． 故选：． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键． 4. 与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可以得到，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意设圆：的圆心、半径分别为， 设圆：的圆心、半径分别为， 不妨设满足题意的动圆圆心、半径分别为， 则由题意有， 故满足题意的动圆圆心轨迹是以为焦点，长轴长为的双曲线的一支（左支）. 故选：C. 5. 如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中应，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建系再用向量法求点到面的距离即可. 【详解】易知两两垂直，则以为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系. 由题意，得 所以. 设为平面的法向量， 则，令，得， 又， 设点到平面的距离为，所以. 故选：B 6. 某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产收入均为万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该设备第年的营运费为万元，利用为等差数列可求年平均盈利额，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】设该设备第年的营运费为万元， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则， 则该设备使用年的营运费用总和为， 设第n年的盈利总额为，则， 故年平均盈利额为， 因为，当且仅当时，等号成立， 故当时，年平均盈利额取得最大值4. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列在实际问题中的应用，注意根据题设条件概括出数列的类型，另外用基本不等式求最值时注意检验等号成立的条件. 7. 已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设是椭圆左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A． 考点：椭圆的几何性质． 【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义． 8. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线向量的定义判断A，结合单位向量和共线向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断C，根据向量垂直的坐标关系判断D. 【详解】已知空间中三个向量，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，在方向上的投影向量是， 所以在方向上的投影向量是，C对； 对于D选项，因为， 则、不垂直，D错. 故选：BC. 10. 已知有穷数列共有4项，前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若这个数列是等差数列，则 B. 若，则这个数列是等差数列 C. 若这个数列是等差数列，则， D. 若，，则这个数列是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合等差数列性质易判断A，C正确，对B，采用列举法可判断错误，对D，则需结合和等差数列的判断方法验证的合理性. 【详解】对于选项A，由于数列为等差数列，所以根据等差数列的性质，，故A正确； 对于选项B，当，，，时，满足，但这个数列不是等差数列，所以B错误； 对于选项C，因为这个数列是等差数列，则，，故C正确； 对于选项D，由于数列只有四项，所以当时，，整理得，即，当时，，整理得，即，所以，时显然成立，根据等差数列的定义可知，这个数列是等差数列，所以D正确. 故选：ACD 11. 已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则（ ） A. 关于轴对称 B. C. D. “”的充要条件是“” 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出曲线的图象，利用点对称可判断A；结合图象可判断B；直线恒过点，求出上半圆与直线相切时的值，结合图象可判断C；直线恒过定点，求出曲线与直线相切时的值，结合图象可判断D. 【详解】当时，曲线方程为，表示为圆心在原点、半径为1的上半圆； 当时，曲线的方程为，表示为焦点在轴、对称中心在原点的双曲 线的轴下方的部分，其渐近线方程为； 对于A，设点在曲线上，点关于轴对称的点为， 因为，所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，时，直线恒过定点，如图， 当，或时，曲线与直线只有1个交点， 当，曲线与直线有2个交点，所以，故B正确； 对于C，当时，直线恒过定点点， 当曲线与直线相切时， 圆心到直线的距离为，解得， 当，或，或时，曲线与直线只有1个交点， 当时，曲线与直线没有交点； 当时，曲线与直线有2个交点； 所以，故C错误； 对于D， 时，直线恒过定点点， 当曲线与直线相切时， 圆心到直线的距离为，解得， 当直线过时，得， 当直线过时，得， 若曲线与直线有2个交点时， 则，或， 若曲线与直线有1个交点时， 则，或 ，或， 当时，曲线与直线没有交点； 当直线与曲线相切时，联立方程 得， 可得，解得， 当，或时， 直线与曲线有2个交点， 当，或时， 直线与曲线有1个交点， 当时，曲线与直线没有交点； 所以当直线与曲线与有2个交点、与 有1个交点时，，或； 当直线与曲线有1个交点、与 有2个交点时，，或， 综上所述，时，曲线：与直线交点个数为3个， 故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是结合图象解题. Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得可得答案. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以， 设，由抛物线的性质得：，故到的距离为2. 故答案为：2． 13. 已知在数列中，，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的周期，进而求出. 【详解】由得 ， 因此数列的周期为3，而，所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线：（，），两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点.若的面积为，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案. 【详解】由于和都符合， 所以曲线的图象关于原点对称，由此画出曲线的大致图象如下图所示， 两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称， 根据对称性，不妨设位置如图， 可知，， 所以，所以， 而和等底等高，面积相同，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点 （1）求抛物线的准线方程； （2）求的面积（为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程，即可得出答案； （2）由已知求出直线的方程，代入抛物线得出，解法一：求解得出的值，然后根据弦长公式求出，然后根据点到直线的距离，结合面积公式即可得出答案；解法二：根据抛物线的定义求出，然后根据点到直线的距离，结合面积公式即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，，焦点在轴上， 所以，抛物线的准线方程为. 【小问2详解】 ∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为. 又∵倾斜角为的直线，所以斜率为， ∴直线AB的方程为：. 代入抛物线方程消去y并化简得. 解法一：解得， 所以． 又点到直线的距离为， 所以. 解法二：，设，则， 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示． ． 点到直线的距离为， 所以. 16. 记等差数列的前n项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式； （2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可． 【小问1详解】 设的公差为d，因为， 所以，解得， 又，所以． 所以． 【小问2详解】 因为， 所以 ， 由，解得， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，分别在棱，上，是的中点. （1）若是的中点，求直线与平面所成的角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系；利用空间向量法求线面角； （2）利用空间向量法求两平面夹角. 【小问1详解】 以为原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则，，，. 由题意，是的中点，则； 故，，； 设平面的法向量为， 则；令，得； 记与平面所成角为，则， 故；故与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 ，，故，故； 又，，平面， 平面，故平面； 故平面的法向量；平面的法向量； 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 如图，椭圆：过点，且的离心率为.直线：与交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点. （1）求的方程； （2）求的最大值； （3）证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上列方程计算求解得出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆得出韦达定理，应用弦长公式计算求解； （3）根据韦达定理计算数量积可得定值即可证明. 【小问1详解】 根据题意得，，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，，， 由，整理得， 所以，，，解得， 设的中点，则，， 所以的中垂线方程为：，即直线的方程为， 由，整理得，所以，， 所以 ， 又因，所以当时，； 【小问3详解】 由（2）可知，，，， 所以 . 19. 已知数列的前项和为，且，数列满足. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用变形推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. （3）求出，分离参数并构造新数列，探讨数列单调性求出最小值即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，则， 即，因此是以为首项，公差为1等差数列， 则，. 【小问2详解】 由（1）得， ， 则， 则， 所以； 【小问3详解】 ，不等式， 即对任意正整数都成立， 令，则， 则，数列是递增数列， 因此，即，所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，分离参数，构造新数列，再探讨单调性是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$