精品解析：上海市位育中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

位育中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 用数学符号表示“直线在平面上”为________． 2. “抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________． 3. 若圆锥的母线为，高为1，则圆锥的侧面积为________. 4. 已知向量，若，则实数的值为__________. 5. 半径为3的球的体积等于________. 6. 若样本数据的方差为16，则数据，，的标准差为________． 7. 设A，B是一次随机试验中两个相互独立事件，且，则_________． 8. 有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有________种排法． 9. 在直三棱柱中，，则点到平面的距离为__________. 10. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为________． 11. 在平行六面体中，，，，则___________. 12. 正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为____________. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行 C. 如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 D. 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 14. 在四棱锥中，若，则实数组可能（ ） A B. C. D. 15. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ） A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个 16. M，N分别为菱形ABCD边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①为假命题，②为假命题； 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 17. 如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 18. 某工厂选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； （2）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，…，第六组，得到如图2所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求与的值． 19. 甲、乙两人都是围棋爱好者，某天两人要进行一场比赛，甲每局比赛获胜的概率是0.7（每局比赛仅有胜利或者失败两种可能），最终胜者将赢得100元的奖金.比赛开始后不久，就因为有其他要事而中止了比赛. （1）若是三局两胜比赛（谁先胜两局比赛立即结束），且甲已经获胜一局后中止了比赛，则甲最终获胜的概率为多少？ （2）若是五局三胜的比赛（谁先胜三局比赛立即结束），在已知甲、乙各胜1局的情况下中止了比赛，如何分配奖金比较公平？ 20. 如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α． （1）求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)； （2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值． 21. 如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． （1）求证：； （2）求二面角的大小； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 位育中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 用数学符号表示“直线在平面上”为________． 【答案】 【解析】 【分析】由线面关系的符号表示即可得解. 【详解】“直线在平面上”的符号表示为. 故答案为： 2. “抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________． 【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【解析】 【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 3. 若圆锥的母线为，高为1，则圆锥的侧面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出圆锥的底面半径，代入圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】由题意知,, 所以圆锥的底面半径, 由圆锥的侧面积公式可得, , 故答案为 【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式;其中根据圆锥的轴截面三角形求出底面半径是求解本题的关键;属于基础题. 4. 已知向量，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解. 【详解】因，所以， 所以. 故答案为： 5. 半径为3的球的体积等于________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式代入运算即可. 【详解】解：因为球的半径为3，则球的体积为， 故答案为. 【点睛】本题考查了球的体积公式，属基础题. 6. 若样本数据的方差为16，则数据，，的标准差为________． 【答案】 【解析】 【分析】设样本数据的方差为，则数据，，的方差为，即可得到标准差. 【详解】设样本数据的方差为，则，可知数据，，的方差为，所以标准差为. 故答案为： 7. 设A，B是一次随机试验中的两个相互独立事件，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由对立事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式计算. 【详解】由已知得， 因为A，B相互独立，所以． 故答案为：. 8. 有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有________种排法． 【答案】 【解析】 分析】根据相邻问题捆绑法即可求解. 【详解】甲乙丙相邻，则共有, 故答案为： 9. 在直三棱柱中，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】证明平面，再利用等体积法求解 【详解】因为，所以，又三棱柱为直棱柱，所以平面，又平面， 所以平面平面，又平面平面 平面，所以平面， 易得, 在△中由余弦定理：得，故， 于是， 由棱柱性质得，平面，平面，所以平面，点到平面的距离即点到平面的距离，设为d 因为，所以,解得 故答案为： 10. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】恰好抽取三次就停止的事件有：221，132，112，241，142，共有5种情况， 故恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为： 11. 在平行六面体中，，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先用向量线性表示出，然后求出即可. 【详解】设,，，则， ， 又因为， 所以，则. 故答案为：. 12. 正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹为均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离最大值即可. 【详解】已知正三棱锥，则，且， 由化简得， 由化简得. 设，代入，， 分别化简得，且， 故点在以为直径的球面上，半径； 点在以为直径的球面上，半径 分别取线段、的中点、， 则， 故. 故答案为：4 【点睛】将向量的代数关系转化为动态的几何表达，借助几何意义求解动点间的距离最值是解决本类题型的关键所在. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行 C. 如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 D. 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可. 【详解】解：对于A：如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行或相交，故A错误； 对于B：如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行或相交，故B错误； 对于C：如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行或该直线在此平面内，故C错误； 对于D：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，此为面面垂直的性质定理，故D正确； 故选：D 14. 在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 15. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ） A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个 【答案】B 【解析】 【分析】因为重复摸球次数足够多，所以将频率视为概率，应用古典概型概率的计算公式计算即可. 【详解】设红球个数为， 由题意可得：，解得：. 故选：B 16. M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①假命题，②为真命题； D. ①为假命题，②为假命题； 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可知①为真命题，利用线面垂直可得②为真命题. 【详解】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以， 因为平面ABD，平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确； 如图，取中点，则（菱形对角线垂直）， 又，且两直线在平面内，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，所以②正确； 故选：． 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 17. 如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】证明：如图所示，连接交于点M， ∵四边形是平行四边形，∴M是的中点．连接MD． ∵D为BC的中点，∴． ∵平面，平面，∴平面． 又由三棱柱的性质知，，∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． 又∵，平面，平面， ∴平面平面． 18. 某工厂选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； （2）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，…，第六组，得到如图2所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求与的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解. 【小问1详解】 40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，因为， 所以第75百分数为； 【小问2详解】 依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 19. 甲、乙两人都是围棋爱好者，某天两人要进行一场比赛，甲每局比赛获胜的概率是0.7（每局比赛仅有胜利或者失败两种可能），最终胜者将赢得100元的奖金.比赛开始后不久，就因为有其他要事而中止了比赛. （1）若是三局两胜的比赛（谁先胜两局比赛立即结束），且甲已经获胜一局后中止了比赛，则甲最终获胜的概率为多少？ （2）若是五局三胜的比赛（谁先胜三局比赛立即结束），在已知甲、乙各胜1局的情况下中止了比赛，如何分配奖金比较公平？ 【答案】（1）0.91 （2）甲应该分得奖金78.4元，乙应该分得奖金21.6元 【解析】 【分析】（1）由三局两胜比赛规则，分别计算出甲获胜的概率，相加即可； （2）甲获胜有甲在第3和4局胜利、第3局胜利第4局失败第5局胜利、第3局失败第4，5局胜利这3种情况，分别计算再相加即可得甲获胜的概率，再由甲乙的胜负概率来分配奖金比较合理. 【小问1详解】 甲获胜方法有：第2局胜利或者第2局失败第3局胜利， 则甲获胜的概率为. 【小问2详解】 甲获胜方法有：第3和4局胜利、第3局胜利第4局失败第5局胜利、第3局失败第4，5局胜利，则甲获胜的概率为. 因此，甲应该分得奖金元，则乙应该分得奖金21.6元. 20. 如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α． （1）求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)； （2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值． 【答案】（1）； （2）45°﹒ 【解析】 【分析】(1)根据几何关系可知圆柱的母线与液面所在平面所成的角与α互余； (2)根据题意画出图形，结合图形，求出倾斜时容器内装的最大溶液体积，现有溶液体积小于或等于该体积即可求出α的最大值． 【小问1详解】 如图， EF为液面，EF∥水平线，∴∠BEF＝β， ∵AD∥BC，∴∠DFE＝∠BEF＝β， ∵∠ABC＝，∴α＋β＝， 图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为． 【小问2详解】 如图，过F作FQ∥CD交BC于Q， 在中，，，则， ． 此时容器内能容纳的溶液量为： ， 容器中原有溶液量为， 令，解得，， 即最大角为45°时，溶液不会溢出． 21. 如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． （1）求证：； （2）求二面角的大小； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）根据二面角的定义可得就是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【小问1详解】 取的中点为，连接, 由于，故, 由于是正三角形，故, 平面， 故平面，平面, 故 【小问2详解】 作于，作交于， 则就是二面角的平面角， 因为， ∵是的中点，则，，， 由余弦定理可求得， ∴二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$