精品解析：河南省周口市鹿邑县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期第二次学情分析 八年级数学（人数版） 注意事项：本试卷不准拍照转发，不准发至小红书、抖音等各大网络平台，给其他学校造成跑题，后果自负！ 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 下列是真命题的是（ ） A. 过三角形的顶点和它对边中点的直线，是三角形的中线 B. 三角形的角平分线其实就是角的平分线 C. 三角形的高就是顶点到对边的垂线 D. 三角形的三条中线的交点叫做重心，重心一定在三角形内部 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判定，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据三角形的中线、角平分线、高、重心的定义判断即可． 【详解】解：A、连接三角形的顶点和它对边中点的线段，是三角形的中线，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，角的平分线的射线，三角形的角平分线是顶点与角的平分线与对边交点之间的线段，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、三角形的高就是顶点到对边的垂线段，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、三角形的三条中线的交点叫做重心，重心一定在三角形内部，故本选项命题是真命题，符合题意； 故选：D． 3. 如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B 和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA= 120°，∠ECA=125° ，则∠A的度数是（　　） A. 65° B. 80° C. 85° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求得△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数；然后利用△ABC的内角和是180°，求∠A的度数即可． 【详解】解：∵∠DBA=120°，∠ECA=125°， ∴∠ABC=180°-∠DBA=60°，∠ACB=180°-∠ECA=55°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-55°=65°，即∠A=65°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解答该题时，先利用了邻补角的性质求得△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数，然后由三角形内角和定理求得的∠A的度数．当然了，也可以利用三角形外角的性质来求∠A的度数． 4. 下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 三个角的度数之比是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴不是等腰三角形， 故选项A错误； B．∵，， ∴，，， ∴不是等腰三角形， 故选项B错误； C．∵，， ∴， ∴， 而无法判断与的大小， ∴不是等腰三角形， 故选项C错误； D．∵三个角的度数之比是， ∴三个角的度数分别是，，， ∴是等腰三角形， 故选项D正确； 故选：D． 5. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ， ， ， 故选：C 6. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据“”判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7. 小明在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取：（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线，小明这种画法的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 角及夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 C. 一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】A．此选项所说是角平分线的性质，本题是要求证OP为∠AOB的平分线，此选项错误． B．由题意可知，OP＝OP，，不是“边角边”判定，且不能证明全等，此选项错误． C．此选项所说为角平分线的判定，本题由题意不能直接使用角平分线的判定，可间接证后可使用角平分线的判定，不符合题意． D．题意可知，，，可用判定，可证得，此选项正确．利用斜边直角边判定两直角三角形全等． 【详解】解：在和中 平分． 故选D 【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8. 如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据边三角形纸片ABC的周长为6可求BC=2，根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：∵等边三角形纸片ABC的周长为6， ∴ ∵E，F是边BC上的三等分点， ∴EF=， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， 又∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴剪下的△DEF的周长是×3=2． 故选：B． 【点睛】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形． 9. 如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．连接，利用轴对称的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵D点分别以、为对称轴，对称点E、F， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图——与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先求出，再根据三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 【答案】720°##720度 【解析】 【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】这个正多边形的边数为=6， 所以这个正多边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°， 故答案为：720°． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度． 13. 如图，已知中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，以及等腰三角形判定，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关性质、定义．利用平行线性质得到，，利用角平分线定义得到，，再结合等量代换和等腰三角形性质，推出求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ，， 中，，的平分线相交于点， ，， ，， ，， ， ． 故答案为：． 14. 甲乙两位同学进行一种数学游戏，游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】①∵如果甲添加， 又∵，， ∴， ∴乙获胜， 故结论①正确； ②∵如果甲添加，又， 反证法，假设，那么在上存在另一点D，使得∠， 则在中角的对边为斜边的一半，即是， 又因为一点到直线的垂直线段长度最短，且交点唯一，那么A与D应重合， ， ∴是直角三角形，且， ∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等， ∴这两个三角形全等，故甲会输， 故结论②错误， ③如果第二轮条件修改为，则第轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 15. 如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故答案为：或． 三、解答题．（共75分） 16. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 【答案】∠ADB＝80°，∠ADE＝50° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是△ABC角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝80°， ∵DE是△ADC的高线， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝50°． 【点睛】考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于x轴成轴对称，作出； （2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______； （3）计算的面积． 【答案】（1） 即为所求； （2） 点P即为所求： P点的坐标为． （3）5 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小 （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 18. 如图，已知等腰顶角． （1）在上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）． （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 如图，点为所作， （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于； （2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再利用得到，所以，从而可判断是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键． 19. 如图，，，，点F是的中点．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．连接，证明，得到，再利用三线合一即可得证．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 20. 如图，ΔABC，ΔADE均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连按CD，CE；且CD⊥BE． （1）求证：BD=CE； （2）若线段DE=3，求线段BD的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE； （2）由全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB=120°，可求∠DEC=60°，由含30度角的直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 证明：∵△ABC、△ADE是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； 【小问2详解】 解：∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE=∠AED=60°， ∵点B，D，E三点共线 ∴∠ADB=120°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠AEC=∠ADB=120°， ∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°， ∵CD⊥BE， ∴∠CDE=90°， ∴∠DCE=30°， ∴BD=CE=2DE=6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 21. 如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”． （1）先求出，再利用三角形外角定理即可求解； （2）先证明，，再通过角平分线，利用三角形外角定理进行角的转换即可证明． 【小问1详解】 解：∵， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 略 22. 问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）小圣证明的判定定理是______； （2）的取值范围是______； 方法运用： （3）如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 【答案】（1）边角边 （2） （3）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的判定方法即可求解； （2）运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，可证，可得，再根据可证，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是的中线， ∴， ∵延长到，使，， ∴， ∴运用的是“边角边”判定定理证明， 故答案为：边角边． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 证明：如图所示，延长至点，使得， ∵是中点，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 23. 探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E． （1）求证：； （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标； （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，试判断在第一象限内是否存在一点R，使为等腰直角三角形，若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ， ∵，， ， 又∵， ， ； （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等等： （1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，，进而得出，，即可求出，即可得出结论； （3）分三种情况：以为直角顶点，以为直角顶点，以为直角顶点，运用全等三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于， 由已知得，且， 同（1）得， ∴，， ∵， ，， ，， ， ， 点的坐标为， 【小问3详解】 解：∵， ，， 分三种情况： 当点为直角顶点时，如图3， 过点作轴于点， 同（1）可得， ，， ， ， 同理可得． 当点为直角顶点时，如图， 过点作轴于点， 同（1）可得， ，， ， ， 同理可得． 当点为直角顶点时，如图， 过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线，交于点， 同（1）可得， ，， 设，则， ， ， ， 同理可得． 又∵点R在第一象限， ∴点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期第二次学情分析 八年级数学（人数版） 注意事项：本试卷不准拍照转发，不准发至小红书、抖音等各大网络平台，给其他学校造成跑题，后果自负！ 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是真命题的是（ ） A. 过三角形的顶点和它对边中点的直线，是三角形的中线 B. 三角形的角平分线其实就是角的平分线 C. 三角形的高就是顶点到对边的垂线 D. 三角形的三条中线的交点叫做重心，重心一定在三角形内部 3. 如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B 和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA= 120°，∠ECA=125° ，则∠A的度数是（　　） A. 65° B. 80° C. 85° D. 90° 4. 下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 三个角的度数之比是 5. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 小明在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取：（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线，小明这种画法的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 角及夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 C. 一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等 8. 如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，如果，那么______． 12. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 13. 如图，已知中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为______． 14. 甲乙两位同学进行一种数学游戏，游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是______（填写所有正确结论的序号）． 15. 如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为______． 三、解答题．（共75分） 16. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于x轴成轴对称，作出； （2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______； （3）计算的面积． 18. 如图，已知等腰顶角． （1）在上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）． （2）求证：是等腰三角形． 19. 如图，，，，点F是的中点．求证： 20. 如图，ΔABC，ΔADE均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连按CD，CE；且CD⊥BE． （1）求证：BD=CE； （2）若线段DE=3，求线段BD的长． 21. 如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 22. 问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）小圣证明的判定定理是______； （2）的取值范围是______； 方法运用： （3）如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 23. 探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E． （1）求证：； （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标； （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，试判断在第一象限内是否存在一点R，使为等腰直角三角形，若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $