精品解析：山东省聊城市东昌府区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 八年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.据此解答即可． 【详解】由轴对称图形的定义可知，A、C、D都是轴对称图形，B不是轴对称图形． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解： 、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 3. 若和两点关于轴对称，则的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】关于y轴对称的点的纵坐标是相等的，横坐标是相反数，根据这两点建立方程求解即可． 【详解】解：∵点A和点B关于y轴对称， ∴ 解得a=3；b=-1， ∴a-b=4， 故选：D． 【点睛】本题考查关于坐标轴对称的点坐标数字中的参数的求解，掌握关于对称轴对称的点的坐标特点是本题解解题关键． 4. 对于分式，下列说法不正确的是（　　） A. 当时分式的值为0 B. 当时分式有意义 C. 当时分式的值为0 D. 当时分式的值为1 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式无意义以及分式的值为零的条件，正确掌握①分子等于零，分母不为零，分式的值等于零；②分式的分母等于零，分式无意义是解题关键． 【详解】解：A．当且时，分式的值为零， 解得：，故选项A说法正确，不符合题意； B．当时分式有意义，故B正确，不符合题意； C．当时，，此时分式无意义，故选项C说法错误，符合题意； D．当时，，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 5. 下列式子从左到右变形一定正确的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D．，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 6. 如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹是（ ） A. 以点B为圆心，OD为半径的弧 B. 以点C为圆心，DC为半径的弧 C. 以点E为圆心，OD为半径的弧 D. 以点E为圆心，DC为半径的弧 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据题意，所作出的是∠OBF=∠AOB，， 根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DC为半径的弧． 故选D． 7. 如图，在 中，，，分别以 ， 为圆心，大于的长为半径画弧分别交于点 和 ，连接并延长交 于点 ，则下列说法中不正确的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点 在 的垂直平分线上 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中垂线到线段两端点距离相等，特殊直角三角形性质对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A项：因为DF为AB中垂线，所以∠DAB=∠DBA=30°，又∠A=60°，所以∠CAD=∠BAD=30°，所以AD是∠BAC平分线，故A正确，不符题意； B项：△ACD与△ADB高相等，都是AC，而底边BD=AD=2CD，故，故B错误，符合题意； C项：由于EF为线段AB中垂线，且D点为BC与EF公共点，故D点在AB的垂直平分线上，故C正确，不符题意； D项：∠ADC=∠DAB+∠B=30°+30°=60°，故D正确，不符题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中垂线的性质应用和特殊直角三角形性质，掌握这些是本题解题关键． 8. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答． 【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MNBC， ∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN． ∵BM+CN=9 ∴MN=9， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键． 9. 如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是（ ） A. ∠1＝∠2，∠3＝∠4 B. BC＝DC，∠3＝∠4 C. ∠B＝∠D，∠1＝∠2 D. AB＝AD，∠B＝∠D 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】A、∠2=∠1，∠3=∠4，再加上公共边AC=AC可利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； B、BC=DC，∠3=∠4，再加上公共边AC=AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； C、∠2=∠1，∠B=∠D，再加上公共边AC=AC可利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； D、AB=AD，∠B=∠D，再加上公共边AC=AC不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定方法，掌握ASA、SAS、AAS这三种全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 10. 如图， 是 的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连接BF、CE，下列说法： ①和面积相等； ②； ③； ④ ； ⑤． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】是 的中线， ， ∴和面积相等，故①正确； 在和中， ，故③正确； ，故④正确； 由条件不能得出，故②⑤错误， 正确的结论为：①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形中线的性质以及全等三角形得到判定与性质，熟练掌握SAS定理判定三角形全等是本题的解题关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分；共18分．） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的减法运算，先通分，再分母不变，把分子相减即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．题目给出等腰三角形有两边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，此时周长为； ②为底，为腰， ∵， ∴两边之和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 综上所述：它的周长是． 故答案为：． 13. 如图，在 中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交 于点D，若，，则的面积是______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了作图 基本作图，角平分线的性质，作于 ，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于 ， ∵， ∴， 由作图步骤可得 为的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：5． 14. 如图所示，要测量池塘 AB 宽度，在池塘外选取一点 P，连接 AP、BP 并分别延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接 CD. 测得 CD 长为 9 m，则池塘宽 AB 为_____m. 【答案】9 【解析】 【分析】这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB=CD． 【详解】解：在△APB和△DPC中 ， ∴△APB≌△DPC（SAS）； ∴AB=CD=9米（全等三角形的对应边相等）． 故池塘宽AB为9m， 故答案为9． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 15. 如图，，于点 ，于点 ，且，点 从点 向点 运动，每分钟走，点从点 向点 运动，每分钟走，若 、两点同时开始出发，运动_____分钟后． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，求出和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】解：若时，则， ∴， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 故答案为：4． 16. 观察下面一列分式：，，，，，根据规律，它的第 项是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出前几项，找到规律进而写出第n项即可 【详解】∵第1项， 第2项， 第3项， 第4项， … ∴第n项， 故答案为. 【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意分别观察各部分的符号规律． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）将分式除法变形为分式乘法，再约分化简； （2）先通过提取公因式、完全平方公式进行因式分解，再约分化简． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 18. （1）化简求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；；（2）；1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键． （1）先化简分式，然后代入x求值． （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把代入计算即可． 【详解】解：（1） ； 当时，原式 （2） ； ∵， ∴， ∴原式 19. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， ， 均在正方形网格的格点上；每小格长度为1． （1）画出 关于轴的对称图形； （2）直接写出各个顶点的坐标； （3）计算 的面积． 【答案】（1）见解析 （2）；； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得； （2）根据图中坐标解答即可． （3）运用分割法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：的各个顶点的坐标分别为：；；； 【小问3详解】 解： 的面积 20. 如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】由平行线的性质得出∠B＝∠D，再由垂直的定义得到∠DCE＝90°＝∠A，即可根据ASA证明△ABC≌△CDE，最后根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠D， ∵EC⊥BD，∠A＝90°， ∴∠DCE＝90°＝∠A， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）， ∴AC＝CE． 【点睛】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明△ABC≌△CDE是解题的关键． 21. 如图，在 中，为 的角平分线．以点 圆心， 长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ 为 的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， 为 的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵， 为 的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 已知：如图， 中，，． 求证：． 方法一 证明：延长 至点 ，使，连接 ． 方法二 证明：在 上截取． 你选择方法是______ 证明： 【答案】方法一或方法二，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：若选择方法一： 如图：延长 至点D，使，连接 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 若选择方法二： 如图，在 上截取，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：方法一或方法二． 23. 观察以下等式： 第1个等式；第2个等式； 第3个等式；第4个等式；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）； （2） 解：猜想：； 证明如下： 等式左边， 等式右边， ∴等式左边 等式右边， ∴猜想成立． 【解析】 【分析】（1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大1，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边分子为1，分母为两个加数分母的乘积，据此写出第5个等式即可； （2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可． 【小问1详解】 解：由题意得，第5个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键． 24. 模型的发现： 如图 （1）如图1，在 中，， ， 直线经过点 ，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 【答案】（1） （2），见详解 （3）结论成立，见详解 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质． （1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论； （2）通过证明得到，进一步得到即可求解； （3）通过证明得到，进一步得到． 【小问1详解】 解： 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 【小问2详解】 解： 证明如下：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 【小问3详解】 （1）的结论成立， 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 八年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若和两点关于轴对称，则的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. 4 4. 对于分式，下列说法不正确的是（　　） A. 当时分式的值为0 B. 当时分式有意义 C. 当时分式的值为0 D. 当时分式的值为1 5. 下列式子从左到右变形一定正确的是（　　 ） A. B. C. D. 6. 如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹是（ ） A. 以点B为圆心，OD为半径的弧 B. 以点C为圆心，DC为半径的弧 C. 以点E为圆心，OD为半径的弧 D. 以点E为圆心，DC为半径的弧 7. 如图，在 中，，，分别以 ， 为圆心，大于的长为半径画弧分别交于点 和 ，连接并延长交 于点 ，则下列说法中不正确的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点 在 的垂直平分线上 D. 8. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是（ ） A. ∠1＝∠2，∠3＝∠4 B. BC＝DC，∠3＝∠4 C. ∠B＝∠D，∠1＝∠2 D. AB＝AD，∠B＝∠D 10. 如图， 是 的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连接BF、CE，下列说法： ①和面积相等； ②； ③； ④ ； ⑤． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分；共18分．） 11. 计算：_______． 12. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是___________． 13. 如图，在 中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交 于点D，若 ，，则的面积是______． 14. 如图所示，要测量池塘 AB 宽度，在池塘外选取一点 P，连接 AP、BP 并分别延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接 CD. 测得 CD 长为 9 m，则池塘宽 AB 为_____m. 15. 如图，，于点 ，于点 ，且，点 从点 向点 运动，每分钟走，点 从点 向点 运动，每分钟走，若 、 两点同时开始出发，运动_____分钟后． 16. 观察下面一列分式：，，，，，根据规律，它的第项是________． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. （1）化简求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中满足． 19. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， ， 均在正方形网格的格点上；每小格长度为1． （1）画出 关于轴的对称图形； （2）直接写出各个顶点的坐标； （3）计算 的面积． 20. 如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE． 21. 如图，在 中，为 的角平分线．以点 圆心， 长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 已知：如图， 中，，． 求证：． 方法一 证明：延长 至点 ，使，连接 ． 方法二 证明：在 上截取． 你选择方法是______ 证明： 23. 观察以下等式： 第1个等式；第2个等式； 第3个等式；第4个等式；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 24. 模型的发现： 如图 （1）如图1，在 中， ， ， 直线 经过点 ，且 两点在直线 的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和 的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若 两点在直线 的异侧， 请说明和 的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和 的关系 ，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $