北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三下学期寒假自主复习检测数学试题

人大附中2025届高三数学寒假自主复习检测练习 2025年2月10日 制卷人：高三数学组 审卷人：杨良庆吴文庆 说明：本卷共三道大题，21道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 1.已知复数z=1+i,则=（) A.2 B.√5 C.1 2.下列说法错误的是() A.2∈{2,1,0 B.∈{2,1,0 c.{0s{21,0y D.0c{2,1,0 3.已知(x+)”的展开式中常数项为6，则n=() A.4 B.6 C.8 D.10 4.已知等差数列{a,}的前n项和为S,若a,+a。+a,=15,则S=（) A.30 B.55 C.80 D.110 5.已知定义在(0，+o)上的函数()满足：%，x∈(0，+∞)，当为≠3时，有 :)-伍，0，则称函数闭具有性质R.下列函数中具有性质R的是(） 高一 A.网=-1B.f= C.f)=x-1 D.f)=x-1 62025年这个赛假，深度求索的国产A似助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴. DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数。假设某模型的对数似然函数 为L(似=之n(x+),其中w是模型参数，名是输入特征，为了最大化L(网，我 们需要求解以下哪个方程() A.1 -=0 B.1 =n 台wx+ w%+1 c.”20 分” =n 后w%,+1 D. x,+1 第1页，共6页 7、已知向量a=(m+2,1),b=(（包，-3)，若2a+=2a-,则m=() A,2 B.I C.-1 D.-3 8.p:存在aeR且a≠0，对于任意的xeR,使得f(x+a)<f()+∫(a): 9:f(x)在R上单调递减，且(x)>0恒成立 92:f(x)在R上单调递增，且存往，<0使得∫八（名）=0，下列说法成立的是() A.只有g是P的充分条件 B.只有92是P的充分条件 C.9、都是P的充分条件 D.马、9都不是P的充分条件 9 设函数)=s血@x+o>0)在区间0，利恰有三个最值点和两个零点.则®的取值 范围是 A [ 别 D.(割 10.若定义域均为D的函数(x),g()满足：3，为∈D,且为-名∈(-m,m),使得 f()=g()=0,则称(x)与g)互为“m亲近函数”.已知f()=心-。+x州与 g()=-cos2x-asi血x+3互为π亲近函数”，则a的取值范围是（） A.(-o,-3jU3,+o) B.【-3,3] c.(（-0,-22lU[25,+o D.（-0,-22U25,+o) 二、填空题（本大题典5小题，每小题5分，共25分.） 11.2434= 12.已抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M,N在C上，若|MF+F=8,则线段MW的 中点的横坐标为 I3,在平面直角坐标系xO中，角a以0x为始边，终边经过点P m2-哥引-别 当1=0时，则ama=_:当由0变化到二时，线段OP扫过的图形面积是 第2页，共6页 14.如图。，B分别为双曲线号-卡=1a>0,b>0的左，右焦点， A在左支上，B在右支上，且AFIBF AF:AF:BF=1:2:3, 则该双曲线的渐近线方程为 15.在数列{a,}中，a=f(a,),给出下列四个结论： ①若f(x)=-2x,则{a,}一定是递减数列 ②若f(x)=e,则{a}一定是递增数列； ③若f(x)=x+1,a1∈(-l,0),则对任意c>0,都存在neN,使得an>c: ④若因=公2+1依>0)，4=1，且对任意neN,都有a,<2,则k的最大值是号 其中所有正确结论的序号是」 、不北6而 三、解容题（本大题共6小题，共85分，除了题目要求“写出”外，应有必要的解题步骤） 16.(本小题13分) 已知扇形A0B中，半径0A=1,A0B=于，C为弧AB上的动点，过C作扇形的 内接矩形CDEF,使得矩形有一边平行于OA,设∠AOC=日. (I)当日=严时，求矩形CDEF的周长. (2)将矩形CDEF的面积表示为日的函数，并求内接矩形的最大面积。 B 17.(本小题14分) 刍甍(chu meng)是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有 表有广，而上有表无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条 棱”如图，在刍甕ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF. (1)求证：AB/EF: (2)若AB=4,EF=2,ED=FC,AF=35,再从条件①，条件②中选择一个作 为已知，使得符合条件的刍甍ABCDEF存在，并求平面ADE和平面BAE夹角的余 弦值 条件①：BF⊥FC,AF⊥FC: 条件②：平面CDE⊥平面ABCD: 第4页，共6页 18.(本小题13分) 已知脐橙分类标准：果径80mm~85mm为一级果，果径75mm~80mm为二级果，果 径70mm~75mm或85mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐 橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm),得到如图所示的频率分布 直方图. ◆频率/组距 0.060 0.045 0.030 0.018 0.013 0.004 6573758869095100果径mm 在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70~85mm中抽出9个脐橙，为进一步测 量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个 (1)求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量： (2)求最后抽取的三个脐橙中抽到的一级果个数X的数学期望； (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100 个，其中一级果的个数为了，记一级果的个数为k的概率为P(?-),直接写出当 k为何值时P(仅=k)最大？ 19.(本小题15分) 已知椭圆号+上=1的左、右焦点分别为尽、5，过 84 坐标原点的直线y=交椭圆于A,B两点，点 A(x0,y)在第一象限. (1)直接写出该椭圆的焦点坐标与离心率： (2)求MF+3AF的取值范围： (3)若AE⊥x轴，垂足为E,连结BB并延长交椭圆于点C,求△ABC面积的最大值 (注意：第3问写在答题卡单独一面，本次答题卡19题有两面，切记别写错位置1) 第5页，共6页 20.(本小题15分) 给定函数y=∫(x),若点P是曲线y=∫(，)两条互相垂直的切线的交点，则称点P为 函数y=(x)的“正交点”，记函数y=f()的所有“正交点”组成的集合为M. (1)若f(x)=nx,求证：M=⑦， (2)若f(x)=x2,则函数y=f(x)的所有“正交点”在一条定直线上，写出出该直线的 方程： (3)设aeR,f(x)=x-ax2,记函数y=f(x)的图象上所有点组成的集合为N 若M∩N=⑦，求a的取值范围. 21.(本小题15分) 对不可约分数卫（即P,g的最大公约数为1），如果数列T:4,4,,a(m≥2)满足： 0 41且对12-1，都南多，宾中6,5均为正整数。则袋数别T为 “卫-弱等比数列，.对正整数N,如果存在卫-弱等比数列T,使得其各项之和化为 9 q 不可约分数后，分子恰为N,则称正整数N为“卫-可表示的. q ()若数列T:l4,为号弱等比数列，相应地。N为号可表示的，请直接写出 3 (a2,W)的所有可能情况： (2)设正整数P,9>1,证明：若正整数N是2-可表示的，则N也是9-可表示的： (3)在1,2，，2025中，有多少个正整数是2-可表示的2 第6页，共6页