专题17图形的平移，旋转与轴对称（3大模块知识梳理+8个考点+5个重难点+2个易错点）-【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单

专题17 图形的平移，旋转与轴对称 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理） 知识模块一：图形的平移 知识模块二：图形的旋转 知识模块三：图形的轴对称与中心对称 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（8大基础考点） 考点一：轴对称图形、中心对称图形，平移，旋转的识别 考点二：利用平移的性质求解 考点三：利用旋转的性质求解 考点四：利用轴对称的性质求解 考点五：利用中心对称的性质求解 考点六：用平移、轴对称、旋转、中心对称作图 考点七：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 考点八：与坐标系有关的对称、平移、旋转问题 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点） 重难点一：与三角形有关的折叠问题 重难点二：与特殊平行四边形有关的折叠问题 重难点三：与函数图象有关的折叠问题 重难点四：利用轴对称求最值 重难点五：旋转或轴对称综合题之线段、线段问题 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点） 易错点1：判断轴对称图形与中心对称图形时出错 易错点2：未对旋转方向进行分类讨论，导致漏解 知识模块一：图形的平移 知识点一：平移的定义 平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 知识点二：平移的性质 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 知识点三：平移作图的步骤 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 知识模块二：图形的旋转 知识点一：旋转的基础 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 知识点二：旋转的性质 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 知识点三：旋转作图的步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 知识模块三：图形的轴对称与中心对称 知识点一：轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 知识点二：轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 考点一： 轴对称图形、中心对称图形，平移，旋转的识别 1．（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（　　）    A．  B．   C．   D．   2．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所 C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心 考点二： 利用平移的性质求解 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 6．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点三： 利用旋转的性质求解 7．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 9．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 考点四： 利用轴对称的性质求解 10．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 11．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．    考点五： 利用中心对称的性质求解 13．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在正六边形中，，点在边上，且，若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 ． 14．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ． 15．（2024·陕西咸阳·三模）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ．    考点六： 用平移、轴对称、旋转、中心对称作图 16．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．      (1)求证：； (2)点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 17．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．    (1)求出对角线的长； (2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． (1)以点为中心将旋转，得到，画出； (2)将向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； (3)连接，利用网格作出线段的中点．（保留作图痕迹即可） 19．（2024·宁夏银川·模拟预测）按下列要求在如图的格点中作图： (1)作出关于原点成中心对称的（A，B，C的对应点分别为）； (2)以点C为位似中心，作出放大两倍的（A，B的对应点分别为）． 考点七： 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 20．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    21．（2022·四川广安·中考真题）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形） 22．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 23．（2024·四川广安·二模）如图，网格中每个小正方形的边长为1．请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题： (1)这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是______对称图形； (2)在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形； (3)请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）． 考点八： 与坐标系有关的对称、平移、旋转问题 24．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 25．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 26．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是 ． 重难点一： 与三角形有关的折叠问题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 3．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    重难点二： 与特殊平行四边形有关的折叠问题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 2．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F  若， 则 3．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 重难点三： 与函数图象有关的折叠问题 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 3．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】（1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 重难点四： 利用轴对称求最值 1．（2022·山东德州·中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D．   2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 重难点五： 旋转或轴对称综合题之线段、面积问题 1．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 2．（2023·吉林松原·二模）如图所示，在中，，，，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作，边交折线于点D，点A关于直线的对称点为E，连接，得到．设点P的运动时间为t（秒）． (1)直接写出线段的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)设与重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 3．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践 知识再现 如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______． 问题探究 如图，中，． （1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______． （2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：； （2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值． 易错点1： 判断轴对称图形与中心对称图形时出错 1．（2024·西藏·中考真题）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．B． C．D． 2．（2024·山东淄博·中考真题）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 易错点2： 未对旋转方向进行分类讨论，导致漏解 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 图形的平移，旋转与轴对称 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理） 知识模块一：图形的平移 知识模块二：图形的旋转 知识模块三：图形的轴对称与中心对称 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（8大基础考点） 考点一：轴对称图形、中心对称图形，平移，旋转的识别 考点二：利用平移的性质求解 考点三：利用旋转的性质求解 考点四：利用轴对称的性质求解 考点五：利用中心对称的性质求解 考点六：用平移、轴对称、旋转、中心对称作图 考点七：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 考点八：与坐标系有关的对称、平移、旋转问题 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点） 重难点一：与三角形有关的折叠问题 重难点二：与特殊平行四边形有关的折叠问题 重难点三：与函数图象有关的折叠问题 重难点四：利用轴对称求最值 重难点五：旋转或轴对称综合题之线段、线段问题 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点） 易错点1：判断轴对称图形与中心对称图形时出错 易错点2：未对旋转方向进行分类讨论，导致漏解 知识模块一：图形的平移 知识点一：平移的定义 平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 知识点二：平移的性质 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 知识点三：平移作图的步骤 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 知识模块二：图形的旋转 知识点一：旋转的基础 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 知识点二：旋转的性质 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 知识点三：旋转作图的步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 知识模块三：图形的轴对称与中心对称 知识点一：轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 知识点二：轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 考点一： 轴对称图形、中心对称图形，平移，旋转的识别 1．（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（　　）    A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断． 【详解】解：观察图形可知，B中图形能由图形通过平移得到，A，C，D均不能由图形通过平移得到； 故选B． 【点睛】本题考查平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所 C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 考点二： 利用平移的性质求解 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得,,再根据的周长为可得，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴,, ∵的周长为， ∴,即， ∴四边形的周长为． 故答案为：30． 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 考点三： 利用旋转的性质求解 7．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确； ②∵，∴；②说法正确； ③∵， ∴， ∴；③说法正确； ④∵，， ∴， ∴．④说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故选：A． 9．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】(1) (2)的大小不发生变化，，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【详解】（1）解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 考点四： 利用轴对称的性质求解 10．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 11．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A. ， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 12．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．    【答案】 【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明，进而证明，则，然后代值计算求出，则． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明是解题的关键． 考点五： 利用中心对称的性质求解 13．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在正六边形中，，点在边上，且，若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，等边三角形的性质和判定，正多边形的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键． 如图，连接，交于点，作直线交于，过作于，由正六边形是轴对称图形可得：，由正六边形是中心对称图形可得：，可得直线平分正六边形的面积，为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交于点，作直线交于，过作于， 由正六边形是轴对称图形可得：， 由正六边形是中心对称图形可得：， 直线平分正六边形的面积，为正六边形的中心． 由正六边形的性质可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 故答案为：． 14．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】 解：如图所示：∵菱形的两条对角线的长分别为8和15， ∴菱形的面积 ， ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ∴，四边形四边形，四边形四边形， ∴阴影部分的面积． 故答案为30． 15．（2024·陕西咸阳·三模）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ．    【答案】1 【分析】本题考查了中心对称的性质以及平行四边形的面积问题，先结合题意“以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，”得出整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，结合四边形的面积之间的关系，列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交于两点为，连接与相交于一点O，    ∵分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形， ∴整个图形是以点为对称中心的中心对称图形， ∴， 则的面积， 故答案为：1． 考点六： 用平移、轴对称、旋转、中心对称作图 16．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．      (1)求证：； (2)点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析     ② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键． （1）可证得，结合，即可证明结论． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 在和中 ∴． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．      ②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知． 故答案为：． 17．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．    (1)求出对角线的长； (2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，； （2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，过作于，如图所示：   在中，，， ， ， ， 在中，，，，则； （2）解：如图所示：    【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键． 18．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． (1)以点为中心将旋转，得到，画出； (2)将向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； (3)连接，利用网格作出线段的中点．（保留作图痕迹即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了旋转的作图、平移的作图等知识，熟练掌握作图方法和网格的特点是解题的关键． （1）找出以点为中心将旋转，得到B、C的对应点，顺次连接即可； （2）将向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的对应点，顺次连接即可； （3）利用网格的特点找到到点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图，点即为所求．（作图方法不唯一）： 19．（2024·宁夏银川·模拟预测）按下列要求在如图的格点中作图： (1)作出关于原点成中心对称的（A，B，C的对应点分别为）； (2)以点C为位似中心，作出放大两倍的（A，B的对应点分别为）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了位似变换以及中心对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于原点对称图形的性质得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求． 考点七： 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 20．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析 【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考； （2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形． 【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； 故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）如图：    【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 21．（2022·四川广安·中考真题）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形） 【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画出图形即可 【详解】解：如下图所示： 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，中心对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用旋转或者轴对称设计方案的知识．根据轴对称图形及中心对称图形的概念，设计图案即可． 【详解】解：所画图形如图所示． ． 23．（2024·四川广安·二模）如图，网格中每个小正方形的边长为1．请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题： (1)这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是______对称图形； (2)在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形； (3)请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）． 【答案】(1)中心，轴 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查图形与变换，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，平行四边形的性质，是解题的关键． （1）根据图形的特点，绕一点旋转180度后能与自身重合，进行判断即可； （2）根据轴对称图形的定义，进行作图即可； （3）画出一个面积为的平行四边形即可． 【详解】（1）解：这三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图， （3）如图， 由图可知，图形是平行四边形，是中心对称图形，且，符合题意． 考点八： 与坐标系有关的对称、平移、旋转问题 24．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． 25．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 26．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 27．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O， ∴， ∴关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标是； 故答案为：． 重难点一： 与三角形有关的折叠问题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 3．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 重难点二： 与特殊平行四边形有关的折叠问题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F  若， 则 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 重难点三： 与函数图象有关的折叠问题 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 重难点四： 利用轴对称求最值 1．（2022·山东德州·中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据正方形的对称性可得，进而可知，再利用，，三点共线时，的值最小，将转化为，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】如图，连接，， 、关于对称， ， 当，，三点共线时，的值最小， 即的值最小， ，， 由勾股定理得：， 即的最小值为， 故选C．    【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当，，三点共线时，有最小值是解题的关键． 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点M，N分别是的中点， ，，，， ，， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，    则， 当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 重难点五： 旋转或轴对称综合题之线段、面积问题 1．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 2．（2023·吉林松原·二模）如图所示，在中，，，，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作，边交折线于点D，点A关于直线的对称点为E，连接，得到．设点P的运动时间为t（秒）． (1)直接写出线段的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)设与重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形角的性质，三角形的面积等知识，解题关键是学会用分类讨论解决问题，属于中考压轴题． （1）①当时，由，可得，从而是等边三角形，即可得；②当时，由，可得； （2）证明，由此构建方程，可得结论； （3）分三种情形：当时，重叠部分是，当时，重叠部分是四边形，当时，重叠部分是，分别求解即可． 【详解】（1）①当时， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，， （2）如图： ∵关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）当时，如图： 重叠部分是， 当时，如图 重叠部分是四边形， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 当时，如图： 重叠部分是， ∵ ∴ 综上所述， 3．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践 知识再现 如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______． 问题探究 如图，中，． （1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______． （2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：； （2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值． 【答案】知识再现 ； 问题探究：（1）；（2）；理由见解析； 实践应用：（1）见解析；（2）． 【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解； 问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解； (2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6； 实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则，，再由，可证明． (2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求． 【详解】知识再现：解：中，， ， ， ，， ， 故答案为：； 问题探究：解：中，， ， ， ， 故答案为：； 解：中，， ， 过点作交于， 在等边三角形中，，， ， ， 同理可得，， ， ； 实践应用：证明：设，，， ，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ， 是等边三角形，四边形是平行四边形， ，， 是直角三角形， ， ， ； 解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为， 是直角三角形， ， ， ， ，，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键． 易错点1： 判断轴对称图形与中心对称图形时出错 1．（2024·西藏·中考真题）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 2．（2024·山东淄博·中考真题）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合，这样的图形是中心对称图形． 【详解】因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：C． 易错点2： 未对旋转方向进行分类讨论，导致漏解 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 【详解】解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$