14.4 函数图象的画法（12大题型提分练）数学新教材北京版八年级下册

（北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 14.4 函数图象的画法 知识点一 平面直角坐标系及有关概念 ◆在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． ◆平面直角坐标系中两坐标轴的特征：①互相垂直；②原点重合；③通常取向上、向右为正方向；④单位长度一般取相同的，在有些实际问题中，两坐标轴上的单位长度可以不同. 知识点二 点的坐标 ◆1、有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，这个有序数对就是这个点的坐标． ◆2、写一个点的坐标时，一定要让横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． ◆3、求一个点的坐标的方法：先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.原点O的坐标是（0,0），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0. ◆4、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. ◆5、对于坐标平面内任意一点M，都要唯一的有序数对（x,y）（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y）在坐标平面内都有唯一的一点M （即坐标为（x,y）的点）和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. ◆6、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． ●坐标平面的划分: 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． ◆1、各区域点的坐标特征 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 简记 在第一象限 正号 正号 （+，+） 在第二象限 负号 正号 （-，+） 在第三象限 负号 负号 （-，-） 在第四象限 正号 负号 （+，-） 在x轴上 正半轴 正号 0 （+，0） 负半轴 负号 0 （-，0） 在y轴上 正半轴 0 正号 （0，+） 负半轴 0 正号 （0，-） 原点 0 0 （0，0） ◆2、坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上. 知识点三 轴对称与坐标变化 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点四 函数的图象 ◆函数图象的定义：把一个函数的一个自变量的值，和它所对应的因变量的值分别作为一个点的横坐标和纵坐标，就能在平面直角坐标系中描出相应的一个点，由所有这样的点组成的图形，就是这个函数的图象． 【注意】①函数图象上的任意点（x，y）都满足其函数的表达式；②满足函数表达式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的表达式，若能满足函数的表达式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式，这个点就不在函数的图象上． 题型一 确定平面直角坐标系内点的坐标 解题技巧提炼 确定点的坐标的方法：首先确定横坐标，方法是先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.最后用有序数对将它表示出来，即横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，并用小括号括起来. 1．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（　　） A． （3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3） B． 2．（2024春•宁津县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 3．如图，写出A、B、C、D、E、F、H各个点的坐标． 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C，D，O都在格点上．以点O为坐标原点，在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，B，C，D的坐标． 5．如图是A，B，C，D四点所在位置． （1）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点C的坐标为（1，5），则点B，D的坐标分别为 　 　，　 　； （2）若点B的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣2，0），请在图中建立平面直角坐标系，并写出此时点A，C的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中， （1）写出点A，B，C，D的坐标． （2）x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 题型二 在平面直角坐标系内描点 解题技巧提炼 1、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. 2对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应. 1．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（　　） A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3） 2．（2024春•海港区期末）在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置． （1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？ （2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H． 4．（2024春•环江县期中）在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）； （2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度． 5．（2024秋•南海区月考）在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．C（﹣6，3），D（﹣6，0），A（0，0），B（0，3）． （1）图形中哪些点在坐标轴上？ （2）线段BC与x轴有什么位置关系？ 题型三 由点的位置确定点的坐标 解题技巧提炼 解答根据已知点的坐标表示平面内其它点的位置的问题，应先根据已知点的坐标建立适当的平面直角坐标系，再根据其它点所在的象限及位置最终确定坐标. 1．（2024春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，☆盖住的点的坐标可能是（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1） 2．（2024•丛台区校级模拟）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 3．（2024秋•驿城区校级期末）如图是小刚画的一张脸，若用点A（1，1）表示左眼的位置，点B（3，1）表示右眼的位置，则嘴巴点C的位置可表示为（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（2，0） 4．（2024秋•江阴市期末）如图，在网格图中，若点A的坐标表示为（0，﹣1），点B坐标表示为（﹣3，0），则点C的坐标为（　　） A．（4，2） B．（﹣4，2） C．（4，﹣2） D．（﹣4，﹣2） 5．（2024春•渝中区校级月考）如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣1，2） 6．（2024秋•杏花岭区期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣3，3）（﹣1，0），则叶柄底部点C的坐标为 　 　． 题型四 由点的坐标确定点所在的象限 解题技巧提炼 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限. 1．（2024春•东城区校级期中）在平面直角坐标系中，在第三象限的点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 2．（2024秋•建湖县期末）在平面直角坐标系中，点A（2025，﹣1）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024春•临海市期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 4．（2023春•贵州期末）无论m取什么实数，点（﹣1，﹣m2﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024•邵阳模拟）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2，则点M的位置在（　　） A．第一或第三象限 B．第一象限 C．第三象限 D．坐标轴上 6．（2024秋•开福区校级期末）在平面直角坐标系中，点A（a2+11，﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024秋•沈河区校级期中）在平面直角坐标系中，若点A（a，ab）在第四象限，则点B（a2b，﹣b2）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 坐标轴上的点的坐标特征 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0，即原点O的坐标是（0,0）. 1．（2024春•合江县期末）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点M的坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4） 2．（2024秋•盐田区期末）若点P（m+2，m+1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（3，0） 3．（2024春•柳南区校级期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点（n+1，n﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024春•丰城市校级月考）若点A（n﹣2021，2022）在y轴上，则点B（n﹣2022，n+1）在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．（2024秋•修水县期中）已知点A在x轴的负半轴上，且到原点的距离是3，则点A的坐标为 　 　． 6．（2024春•宜州区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，2a+4），根据下列条件，求出相应的点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P的横坐标比纵坐标大2； 题型六 由点到坐标轴的距离确定点的坐标 解题技巧提炼 平面直角坐标系内任意一点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是. 1．（2024春•鱼台县期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣3）到y轴的距离为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．3 2．（2024春•崇川区校级期末）若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 3．（2024春•绥棱县期末）已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，3） 4．（2024•港北区二模）已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，4） D．（2，﹣4） 5．（2024秋•惠来县期末）已知点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（3，﹣3） D．（1，1）或（3，﹣3） 6．（2024春•东昌府区期末）在平面直角坐标系中，点P（m﹣1，3m﹣6）到y轴的距离为2，则m的值为 　 　． 7．（2024春•鹿邑县月考）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点Q的坐标为（1，5），PQ∥x轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 8．（2024秋•平远县期末）在平面直角坐标系中，有一点P（2x﹣1，3x）． （1）若点P在y轴上，求x的值； （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 题型七 角平分线上点的坐标特征 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标相同，第二、四象限上的点横坐标与纵坐标互为相反数. 1．若点A（，）在第三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•茂南区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上，则m的值为（　　） A．4 B． C． D．4或 3．（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 4．如果点A（m﹣2，2m）在第一、三象限的角平分线上，那么点N（﹣m+2，m﹣1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知点M（4﹣2m，m﹣5）在第二、四象限的角平分线上，求点M的点坐标． 6．（2024秋•宿城区期末）已知点M（3a﹣8，a﹣1），试分别根据下列条件，求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在第一、三象限的角平分线上． 题型八 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 解题技巧提炼 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同. 1．（2024春•龙马潭区期末）在平面直角坐标系中，P（1，2），点Q在x轴下方，PQ∥y轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（6，2） C．（1，﹣3） D．（1，7） 2．（2024春•临沂期末）在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（　　） A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3 3．（2024秋•莲池区校级期末）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（　　） A．（2，8） B．（2，8）或（2，﹣2） C．（7，3） D．（7，3）或（﹣3，3） 4．（2024春•渝中区校级月考）已知点M（x+5，x﹣4）．满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上，则MN的长度为 　 　． 5．（2024春•广州期中）已知点M的坐标为（2，﹣4），线段MN＝5，MN∥x轴，则点N的坐标为 　 　． 6．（2024秋•秦都区校级期中）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在x轴上．求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 题型九 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 解题技巧提炼 1、关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 1．（2024秋•百色期末）点A1（5，﹣7）关于x轴对称的点A2的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣7） B．（﹣7，﹣5） C．（5，7） D．（7，﹣5） 2．（2024春•新宁县期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称，则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 3．（2024秋•滕州市期中）若A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），则P（m，n）的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（4，7） C．（﹣4，7） D．（5，﹣4） 4．（2024秋•盘山县期末）若点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）200的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．7201 5．（2024秋•七星关区期末）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 　 　． 6．（2024春•海安市期中）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 7．（2024春•西山区校级期中）已知点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上，则P点的坐标为 　 　． 8．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若A，B关于y轴对称，求（4a+b）2020的值． 题型十 由函数的定义判断函数图象 解题技巧提炼 对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1．（2024春•岳麓区校级期末）下列选项中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•邯山区校级期末）下列四个图象中，哪个不是y关于x的函数（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•巴南区期末）下列各图中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•东兴区校级开学）选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•大观区校级期中）下列图象中，表示y是x的函数的有（　　） A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 题型十一 实际问题中的函数图象 解题技巧提炼 正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象. 1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•成华区期末）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•平远县校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A．B．C．D． 4．（2024秋•宁波期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（h）与注水量（V）关系的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•沙坪坝区校级开学）依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•白银期末）周末，小明在黄河湿地公园匀速骑行游玩，沿直线骑行前进了800米，停车欣赏了一下迷人的风景，又原路返回了600米，再前进了1000米，在这个过程中，他离起点的距离s与时间t的关系示意图是（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•定州市期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间函数图象的是（　　） A． B． C． D． 题型十二 从函数图象中获取信息解决问题 解题技巧提炼 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 1．（2024春•渭南期中）如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A．A地与B地之间的距离是180千米 B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时 D．汽车返回途中的速度是60千米/时 2．（2024秋•南京期末）小明家、报亭、乒乓球馆在一条直线上．小明从家跑步到乒乓馆打球，再去报亭看报，最后回家．小明离家的距离y与时间x之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（　　） A．小明从家到乒乓球馆的速度是250m/min B．小明在报亭停留时间为10min C．乒乓球馆在小明家与报亭之间 D．小明回家的速度是先慢后快 3．（2024•沙坪坝区自主招生）小王从家出发去超市购物，离家的距离y（m）随时间t（min）的变化情况如图所示，则小王在超市购物花费的时间约为（　　） A．10min B．15min C．20min D．30min 4．（2024秋•静安区校级期末）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点D处停止，设点P运动的路程为x，三角形ADP的面积为y，如果y关于x的图象如图②所示，则长方形ABCD的面积是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 5．（2024秋•历下区期中）AB两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程s1、s2（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有（　　）个． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据如图回答下列问题： （1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ （2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ （3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 7．（2024秋•鄠邑区期末）已知A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条道路从A地到达B地．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系． （1）在甲出发 　 　h时，两人相遇，这时他们离开A地 　 　km； （2）甲的速度是 　 km/h，乙的速度是 km/h； （3）乙从A地出发 　 　h时到达B地． 8．（2024秋•浦东新区校级期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 　 　； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 　　分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 　 　米/分； （4）图中a表示的数是 　 　；b表示的数是 　 　； （5）图中点A表示的实际意义是 　 　． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ （北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 14.4 函数图象的画法 知识点一 平面直角坐标系及有关概念 ◆在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． ◆平面直角坐标系中两坐标轴的特征：①互相垂直；②原点重合；③通常取向上、向右为正方向；④单位长度一般取相同的，在有些实际问题中，两坐标轴上的单位长度可以不同. 知识点二 点的坐标 ◆1、有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，这个有序数对就是这个点的坐标． ◆2、写一个点的坐标时，一定要让横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． ◆3、求一个点的坐标的方法：先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.原点O的坐标是（0,0），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0. ◆4、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. ◆5、对于坐标平面内任意一点M，都要唯一的有序数对（x,y）（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y）在坐标平面内都有唯一的一点M （即坐标为（x,y）的点）和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. ◆6、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． ●坐标平面的划分: 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． ◆1、各区域点的坐标特征 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 简记 在第一象限 正号 正号 （+，+） 在第二象限 负号 正号 （-，+） 在第三象限 负号 负号 （-，-） 在第四象限 正号 负号 （+，-） 在x轴上 正半轴 正号 0 （+，0） 负半轴 负号 0 （-，0） 在y轴上 正半轴 0 正号 （0，+） 负半轴 0 正号 （0，-） 原点 0 0 （0，0） ◆2、坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上. 知识点三 轴对称与坐标变化 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点四 函数的图象 ◆函数图象的定义：把一个函数的一个自变量的值，和它所对应的因变量的值分别作为一个点的横坐标和纵坐标，就能在平面直角坐标系中描出相应的一个点，由所有这样的点组成的图形，就是这个函数的图象． 【注意】①函数图象上的任意点（x，y）都满足其函数的表达式；②满足函数表达式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的表达式，若能满足函数的表达式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式，这个点就不在函数的图象上． 题型一 确定平面直角坐标系内点的坐标 解题技巧提炼 确定点的坐标的方法：首先确定横坐标，方法是先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.最后用有序数对将它表示出来，即横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，并用小括号括起来. 1．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3） 【分析】根据平面直角坐标系以及点的坐标的 定义写出即可． 【解答】解：点P的坐标为（3，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的表示是解题的关键． 2．（2024春•宁津县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【分析】由图可知，这个点在第二象限，根据平面直角坐标系内每个象限内点坐标的符号特征分别判断即可． 【解答】解：由图可知，这个点在第二象限， ∵（2，3）在第一象限， 故A不符合题意； ∵（﹣2，3）在第二象限， 故B符合题意； ∵（﹣2，﹣3）在第三象限， 故C不符合题意； ∵（2，﹣3）在第四象限， 故D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． 3．如图，写出A、B、C、D、E、F、H各个点的坐标． 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义写出即可． 【解答】解：A（2，1），B（﹣4，3），C（﹣2，﹣3），D（3，﹣3），E（﹣3，0），F（0，2），H（0，0）． 【点评】本题考查了点的坐标，主要是平面直角坐标系中的点的坐标的写法． 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C，D，O都在格点上．以点O为坐标原点，在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，B，C，D的坐标． 【分析】以O点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，根据坐标系可得答案． 【解答】解：如图所示， 点A（﹣2，﹣5）、B（﹣4，2）、C（0，4）、D（5，﹣1）． 【点评】本题主要考查点的坐标，掌握平面直角坐标系及点的坐标是解题的关键． 5．如图是A，B，C，D四点所在位置． （1）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点C的坐标为（1，5），则点B，D的坐标分别为 　 　，　 　； （2）若点B的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣2，0），请在图中建立平面直角坐标系，并写出此时点A，C的坐标． 【分析】（1）以A为坐标原点建立平面直角坐标系，然后根据平面直角坐标系写出点B、D的坐标即可． （2）由B的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣2，0），确定原点坐标即可． 【解答】解：建立平面直角坐标系如图， 点B（3，2），D（﹣2，3）． 故答案为：B（3，2），D（﹣2，3）． （2） 建立平面直角坐标系如图， 点A（0，﹣3），C（1，2）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握在平面直角坐标系中找出点的坐标是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中， （1）写出点A，B，C，D的坐标． （2）x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 【分析】（1）根据各个象限的点的坐标特点解答即可； （2）根据x轴和y轴上的点的特点解答即可； 【解答】解：（1）由题意，得A（4，0），B（﹣2，0），C（0，5），D（0，﹣3）； （2）x轴上的点的横坐标为任何实数，纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0，纵坐标为任何实数； 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及绝对值的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限内点的坐标符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 题型二 在平面直角坐标系内描点 解题技巧提炼 1、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. 2对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应. 1．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（　　） A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3） 【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2． 【解答】解：如图可知第四个顶点为： 即：（3，2）． 故选：B． 【点评】本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案． 2．（2024春•海港区期末）在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据点的坐标的定义判断即可．我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． 【解答】解：由题意可知，M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、Q（﹣3，0）正确，点P的坐标应该为（4，0）， 所以描错的点的个数是1个． 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标定义是解答本题的关键． 3．如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置． （1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？ （2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H． 【分析】根据题意，找到坐标原点，单位长度，建立平面直角坐标系，结合坐标系直接得到答案． 【解答】解：如图，以点A为原点，小正方形的边长1为单位长度，建立平面直角坐标系： ． （1）如图所示：C（2，5），D（1，3），E（4，3）； （2）字母F，G，H的位置如图所示． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键． 4．（2024春•环江县期中）在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）； （2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度． 【分析】（1）根据点的坐标的定义解答即可； （2）根据x轴上的点的坐标特点解答即可； （3）根据题意可得点F位于第三象限，在根据点的意义解答即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示； （3）如图所示． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握在平面直角坐标系找出点的位置，准确确定各点的位置是解题的关键． 5．（2024秋•南海区月考）在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．C（﹣6，3），D（﹣6，0），A（0，0），B（0，3）． （1）图形中哪些点在坐标轴上？ （2）线段BC与x轴有什么位置关系？ 【分析】（1）在坐标系中描出各点，再顺次连接可得一个长方形，结合图案得出点D、A、B在坐标轴上； （2）根据图形可得平行于x轴的两点B、C的纵坐标相等． 【解答】解：（1）如图所示： 点D、A、B在坐标轴上； （2）线段BC平行于x轴． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，作图的关键是根据点的坐标确定点在平面直角坐标系中的位置，并根据位置依次连接，形成题目中要求的图形． 题型三 由点的位置确定点的坐标 解题技巧提炼 解答根据已知点的坐标表示平面内其它点的位置的问题，应先根据已知点的坐标建立适当的平面直角坐标系，再根据其它点所在的象限及位置最终确定坐标. 1．（2024春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，☆盖住的点的坐标可能是（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1） 【分析】根据平面直角坐标系每一象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：A、（﹣3，1）在第二象限，故A符合题意； B、（﹣3，﹣1）在第三象限，故B不符合题意； C、（3，1）在第一象限，故C不符合题意； D、（3，﹣1）在第四象限，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键． 2．（2024•丛台区校级模拟）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：小手盖住的点的横坐标和纵坐标都小于0， ∴小手盖住的点在第三象限， A．（3，4）在第一象限，故本选项不合题意； B．（﹣3，4）在第二象限，故本选项不合题意； C．（﹣3，﹣4）在第三象限，故本选项符合题意； D．（3，﹣4）在第四象限，故本选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（2024秋•驿城区校级期末）如图是小刚画的一张脸，若用点A（1，1）表示左眼的位置，点B（3，1）表示右眼的位置，则嘴巴点C的位置可表示为（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（2，0） 【分析】先利用左眼和右眼的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置所在点的坐标即可． 【解答】解：如图，嘴的位置可表示成（2，﹣1）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 4．（2024秋•江阴市期末）如图，在网格图中，若点A的坐标表示为（0，﹣1），点B坐标表示为（﹣3，0），则点C的坐标为（　　） A．（4，2） B．（﹣4，2） C．（4，﹣2） D．（﹣4，﹣2） 【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，即可解答． 【解答】解：根据题意建立如图所示的直角坐标系： ∴点C的坐标为（﹣4，2）， 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，根据已知条件建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 5．（2024春•渝中区校级月考）如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣1，2） 【分析】根据已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系得出“士”所在位置． 【解答】解：如图所示： “士”所在位置的坐标为（0，﹣2）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 6．（2024秋•杏花岭区期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣3，3）（﹣1，0），则叶柄底部点C的坐标为 　 　． 【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得． 【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣3，3），（﹣1，0）， ∴得出坐标轴如下图所示位置： ∴点C的坐标为（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 题型四 由点的坐标确定点所在的象限 解题技巧提炼 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限. 1．（2024春•东城区校级期中）在平面直角坐标系中，在第三象限的点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 【分析】根据第三象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵第三象限的点的横纵坐标都小于0， ∴（﹣3，﹣4）在第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知三象限的点的横纵坐标都小于0是解题的关键． 2．（2024秋•建湖县期末）在平面直角坐标系中，点A（2025，﹣1）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点的坐标特征即可得出答案． 【解答】解：点A（2025，﹣1）位于第四象限． 故选：D． 【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 3．（2024春•临海市期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 【分析】根据四个象限的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案． 【解答】解：位于第一象限的是（3，2）， 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，解答本题的关键是熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 4．（2023春•贵州期末）无论m取什么实数，点（﹣1，﹣m2﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限． 【解答】解：∵点（﹣1，﹣m2﹣1）的横坐标﹣1＜0，纵坐标﹣m2﹣1中，m2≥0， ∴﹣m2﹣1＜0， 故满足点在第三象限的条件． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 5．（2024•邵阳模拟）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2，则点M的位置在（　　） A．第一或第三象限 B．第一象限 C．第三象限 D．坐标轴上 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出答案． 【解答】解：∵直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2， ∴ab同号， 则点M的位置在第一或第三象限． 故选：A． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 6．（2024秋•开福区校级期末）在平面直角坐标系中，点A（a2+11，﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据非负数的性质判断出a2+11＞0，结合纵坐标为负，即可判断出点A所在的象限． 【解答】解：∵a2≥0， ∴a2+11＞0， ∵﹣2＜0， ∴点A（a2+11，﹣2）在第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标的特征是解题的关键． 7．（2024秋•沈河区校级期中）在平面直角坐标系中，若点A（a，ab）在第四象限，则点B（a2b，﹣b2）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出a，b的符号，进而得出答案． 【解答】解：∵A（a，ab）在第四象限， ∴， 解得a＞0，b＜0， ∴a2b＜0，﹣b2＜0， ∴点B（a2b，﹣b2）所在的象限是第三象限． 故选：C． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握各象限内点的符合特点是解题关键． 题型五 坐标轴上的点的坐标特征 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0，即原点O的坐标是（0,0）. 1．（2024春•合江县期末）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点M的坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4） 【分析】根据x轴上的点的纵坐标等于0列式求出m的值，即可得解． 【解答】解：∵点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上， ∴m+1＝0， 解得m＝﹣1， ∴m﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4， 点M的坐标为（﹣4，0）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标等于0是解题的关键． 2．（2024秋•盐田区期末）若点P（m+2，m+1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（3，0） 【分析】根据y轴上点的横坐标为0即可求出m的值，从而求出点P的坐标． 【解答】解：∵点P（m+2，m+1）在y轴上， ∴m+2＝0， ∴m＝﹣2， ∴m+1＝﹣1， ∴点P的坐标为（0，﹣1）， 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键． 3．（2024春•柳南区校级期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点（n+1，n﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由点在x轴的条件是纵坐标为0，得出点A（﹣2，n）的n＝0，再代入求出点B的坐标及象限． 【解答】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上， ∴n＝0， ∴点的坐标为（1，﹣3）． 则点（n+1，n﹣3）在第四象限． 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 4．（2024春•丰城市校级月考）若点A（n﹣2021，2022）在y轴上，则点B（n﹣2022，n+1）在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【分析】先根据题意求出n的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵点A（n﹣2021，2022）在y轴上， ∴n﹣2021＝0， 解得n＝2021， ∴n﹣2022＝2021﹣2022＝﹣1＜0，n+1＝2021+1＝2022＞0， ∴点B（n﹣2022，n+1）在第二象限． 故选：C． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键． 5．（2024秋•修水县期中）已知点A在x轴的负半轴上，且到原点的距离是3，则点A的坐标为 　 　． 【分析】先根据点A在x轴的负半轴上，判断出点A横纵坐标的符号，再根据距离的意义即可求出点A的坐标． 【解答】解：∵点A在x轴的负半轴上，它到原点距离是3个单位长度， ∴点A的横坐标为﹣3，纵坐标为0， 即A点坐标为（﹣3，0）． 故答案为：（﹣3，0）． 【点评】本题考查的是坐标与图形性质，解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号及坐标轴上的点的坐标的特征． 6．（2024春•宜州区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，2a+4），根据下列条件，求出相应的点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P的横坐标比纵坐标大2； 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案； （2）根据横坐标比纵坐标大2，可得方程，解方程可得答案； （3）根据平行于y轴直线上的点横坐标相等，可得关于m的方程，解方程可得答案． 【解答】解：（1）由题知：a﹣1＝0， ∴a＝1， ∴P的坐标为（0，6）； （2）由题知：a﹣1﹣（2a+4）＝2， ∴a＝﹣7， ∴P的坐标为（﹣8，﹣10）； 【点评】本题考查了点的坐标，y轴上的点的横坐标等于零，x轴上的点的纵坐标等于零，注意平行于y轴直线上的点横坐标相等． 题型六 由点到坐标轴的距离确定点的坐标 解题技巧提炼 平面直角坐标系内任意一点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是. 1．（2024春•鱼台县期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣3）到y轴的距离为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．3 【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：点P（﹣4，﹣3）到y轴的距离为|﹣4|＝4， 故选：C． 【点评】此题主要考查点到坐标轴的距离，解决本题的关键是掌握点到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 2．（2024春•崇川区校级期末）若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：∵点M在第二象限，且到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴点M的横坐标是﹣2，纵坐标是1， ∴点M的坐标是（﹣2，1）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 3．（2024春•绥棱县期末）已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，3） 【分析】根据题意，P点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P点到坐标轴的距离确定点的坐标． 【解答】解：∵P点位于y轴右侧，x轴上方， ∴P点在第一象限， 又∵P点距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度， ∴P点横坐标为3，纵坐标为4，即点P的坐标为（3，4）． 故选：B． 【点评】本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义． 4．（2024•港北区二模）已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，4） D．（2，﹣4） 【分析】根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值列方程求出a的值，然后求解即可． 【解答】解：∵点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2， ∴a﹣1＝﹣2， 解得a＝﹣1， ∴a+5＝﹣1+5＝4， a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2， ∴点P的坐标为（4，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 5．（2024秋•惠来县期末）已知点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（3，﹣3） D．（1，1）或（3，﹣3） 【分析】点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，据此解题． 【解答】解：∵点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等， ∴|2a﹣1|＝|2﹣a|， 即2a﹣1＝2﹣a或2a﹣1＝﹣（2﹣a）， 解得：a＝1或a＝﹣1， ∴点P的坐标是（1，1）或（3，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查点的坐标，掌握相关知识是解题关键． 6．（2024春•东昌府区期末）在平面直角坐标系中，点P（m﹣1，3m﹣6）到y轴的距离为2，则m的值为 　 　． 【分析】根据点到y轴的距离＝横坐标的绝对值，即可得出答案． 【解答】解：∵点P（m﹣1，3m﹣6）到y轴的距离为2， ∴|m﹣1|＝2， ∴m＝3或﹣1． 故答案为：3或﹣1． 【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 7．（2024春•鹿邑县月考）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点Q的坐标为（1，5），PQ∥x轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 【分析】（1）根据y轴上的点，x坐标为0，列方程求解； （2）平行于x轴，y坐标相等，x坐标不相等，列式求解； （3）到x轴的距离等于由、坐标的绝对值，到y轴的距离等于x坐标的绝对值． 【解答】解：（1）由题意得：a﹣2＝0， 解得：a＝2， ∴2a+8＝12， ∴P（0，12）； （2）由题意得：2a+8＝5且a﹣2≠1， 解得：a＝﹣1.5， ∴a﹣2＝﹣3.5， ∴P（﹣3.5，5）； （3）由题意得：|a﹣2|＝|2a+8|， 解得：a＝﹣2或a＝﹣10， ∴P（﹣4，4）或P（﹣12，﹣12）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟记坐标特征是解题的关键． 8．（2024秋•平远县期末）在平面直角坐标系中，有一点P（2x﹣1，3x）． （1）若点P在y轴上，求x的值； （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，计算即可； （2）坐标系中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值结合第一象限内的点横纵坐标都为正得到3x+2x﹣1＝9，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P（2x﹣1，3x）在y轴上， ∴2x﹣1＝0， ∴x； （2）∵P（2x﹣1，3x）在第一象限， ∴点P到x轴的距离为3x，到y轴的距离为2x﹣1， ∵点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴3x+2x﹣1＝9， ∴x＝2， ∴2x﹣1＝3，3x＝6， ∴点P的坐标为（3，6）． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型七 角平分线上点的坐标特征 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标相同，第二、四象限上的点横坐标与纵坐标互为相反数. 1．若点A（，）在第三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据第三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等解答． 【解答】解：∵点A（，）在第三象限的角平分线上， ∴， ∴a． 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征以及各象限角平分线上的点的特征是解题的关键． 2．（2024秋•茂南区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上，则m的值为（　　） A．4 B． C． D．4或 【分析】直接利用在第一、三象限的角平分线上，横纵坐标相等进而得出答案． 【解答】解：∵点P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上， ∴2m+3＝3m﹣1， 解得：m＝4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的关系是解题关键． 3．（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值，即可求得P点的坐标． 【解答】解：∵点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+1+2m﹣7＝0， 解得：m＝2， ∴P（3，﹣3）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标的知识．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 4．如果点A（m﹣2，2m）在第一、三象限的角平分线上，那么点N（﹣m+2，m﹣1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求出m的值，再求出点N的坐标，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：∵点A（m﹣2，2m）在第一、三象限的角平分线上， ∴m﹣2＝2m， 解得，m＝﹣2， 所以，﹣m+2＝﹣（﹣2）+2＝4， m﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3， 所以，点N的坐标为（4，﹣3）， 所以，点N在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等并列出方程是解题的关键，也是本题的难点． 5．已知点M（4﹣2m，m﹣5）在第二、四象限的角平分线上，求点M的点坐标． 【分析】根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数列式计算求出m的值，再求解即可． 【解答】解：∵点M（4﹣2m，m﹣5）在第二、四象限的角平分线上， ∴4﹣2m+m﹣5＝0， 解得m＝﹣1， ∴4﹣2m＝4﹣2×（﹣1）＝4+2＝6， m﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6， ∴点M（6，﹣6）． 【点评】本题考查了点的坐标与图形性质，熟记第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键． 6．（2024秋•宿城区期末）已知点M（3a﹣8，a﹣1），试分别根据下列条件，求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在第一、三象限的角平分线上． 【分析】（1）根据点M在x轴上可知点M的纵坐标为0，从而可以解答本题； （2）根据点M在一、三象限角平分线上可知点M的横纵坐标相等，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）∵点M在x轴上， ∴a﹣1＝0， ∴a＝1， 3a﹣8＝3﹣8＝﹣5，a﹣1＝0， ∴点M的坐标是（﹣5，0）； （2）∵点M（3a﹣8，a﹣1），点M在一、三象限角平分线上， ∴3a﹣8＝a﹣1． 解得，a． ∴3a﹣8，a﹣1． ∴点M的坐标为（，）． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确每一问提供的信息，能正确知道与坐标之间的关系，灵活变化，求出所求问题的答案． 题型八 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 解题技巧提炼 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同. 1．（2024春•龙马潭区期末）在平面直角坐标系中，P（1，2），点Q在x轴下方，PQ∥y轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（6，2） C．（1，﹣3） D．（1，7） 【分析】根据题意，设点Q的坐标为（1，y），y＜0，根据PQ的长度列方程，求出y即可． 【解答】解：∵点Q在x轴下方，PQ∥y轴， ∴设点Q（1，y），y＜0． 又∵PQ＝5， ∴2﹣y＝5，解得y＝﹣3． ∴点Q的坐标为（1，﹣3）． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是本题的关键． 2．（2024春•临沂期末）在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（　　） A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3 【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等列出方程计算即可得解． 【解答】解：∵过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴， ∴2a≠4+b，6＝3﹣b， 解得b＝﹣3，a． 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形，熟记平行于x轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键． 3．（2024秋•莲池区校级期末）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（　　） A．（2，8） B．（2，8）或（2，﹣2） C．（7，3） D．（7，3）或（﹣3，3） 【分析】由AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB＝5，B点可能在A点上方或者下方，根据距离确定B点坐标即可． 【解答】解：∵AB∥y轴， ∴A、B两点的横坐标相同，都为3， 又AB＝5， ∴B点纵坐标为：3+5＝8，或3﹣5＝﹣2， ∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣2）； 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平行于y轴的直线上点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个是解题的关键． 4．（2024春•渝中区校级月考）已知点M（x+5，x﹣4）．满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上，则MN的长度为 　 　． 【分析】因为满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上，所以M点纵坐标为﹣2，进而可以求解． 【解答】解：点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上， ∴M点纵坐标为﹣2， 即x﹣4＝﹣2， 解得x＝2， ∴x+5＝7． ∴M点坐标为（7，﹣2）． ∴MN的长度为：7﹣（﹣1）＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，根据“点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上”提取信息“M点纵坐标为﹣2”是解题的突破口． 5．（2024春•广州期中）已知点M的坐标为（2，﹣4），线段MN＝5，MN∥x轴，则点N的坐标为 　 　． 【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等求出点N的纵坐标，再分点N在点M的右边与左边两种情况求出点N的横坐标即可． 【解答】解：∵点M的坐标为（2，﹣4），MN∥x轴， ∴点N的纵坐标为﹣4， ∵MN＝5， ∴点N在点M的右边时，横坐标为2+5＝7， 此时，点N（7，﹣4）， 点N在点M的左边时，横坐标为2﹣5＝﹣3， 此时，点N（﹣3，﹣4）， 综上所述，点N的坐标为（﹣3，﹣4）或（7，﹣4）． 故答案为：（﹣3，﹣4）或（7，﹣4）． 【点评】本题查了点的坐标．解题的关键是熟练掌握四个象限的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 6．（2024秋•秦都区校级期中）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在x轴上．求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， ∴a＝﹣5， ∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12， ∴点P的坐标为（﹣12，0）； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴， ∴a+5＝5， ∴a＝0， ∴2a﹣2＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴2a﹣2＝﹣（a+5）， ∴2a﹣2+a+5＝0， ∴a＝﹣1， ∴2a﹣2＝﹣4，a+5＝4． 点P的坐标为（﹣4，4）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 题型九 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 解题技巧提炼 1、关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 1．（2024秋•百色期末）点A1（5，﹣7）关于x轴对称的点A2的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣7） B．（﹣7，﹣5） C．（5，7） D．（7，﹣5） 【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于x轴对称点的特征即可得出答案． 【解答】解：点A1（5，﹣7）关于x轴对称的点A2的坐标为（5，7）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的特征，点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2．（2024春•新宁县期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称，则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到m﹣1＝3，解之即可． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称， ∴m﹣1＝3， ∴m＝4， 故选：D． 【点评】本题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 3．（2024秋•滕州市期中）若A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），则P（m，n）的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（4，7） C．（﹣4，7） D．（5，﹣4） 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m＝4，2﹣n＝﹣5，从而得解． 【解答】解：∵点A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5）， ∴m＝4，2﹣n＝﹣5， 解得：m＝4，n＝7， ∴P（m，n）的坐标是P（4，7）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 4．（2024秋•盘山县期末）若点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）200的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．7201 【分析】根据关于关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而得到答案． 【解答】解：∵点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2010＝1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 5．（2024秋•七星关区期末）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 　 　． 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【解答】解：由题意知，图中点A的坐标为（5，3），其关于y轴对称的点B的坐标为（﹣5，3）， 故答案为：（﹣5，3）． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 6．（2024春•海安市期中）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解答】解：∵点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称， ∴N（﹣a，b）， ∴点N关于x轴对称的点的坐标是（﹣a，﹣b）． 故答案为：（﹣a，﹣b）． 【点评】此题主要考查了关于x，y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 7．（2024春•西山区校级期中）已知点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上，则P点的坐标为 　 　． 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质以及x轴上的点的坐标特点，分析得出答案． 【解答】解：∵点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上， ∴﹣4a+4＝0， 解得a＝1， 2a+1＝2×1+2＝3， ∴P点的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 8．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若A，B关于y轴对称，求（4a+b）2020的值． 【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）∵点A，B关于x轴对称， ∴， 解得：； （2）∵点A，B关于y轴对称， ∴， 解得：， ∴（4a+b）2020＝[4×（﹣1）+3]2020＝1． 【点评】本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 题型十 由函数的定义判断函数图象 解题技巧提炼 对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1．（2024春•岳麓区校级期末）下列选项中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，给定一个x的值，都只有唯一的y与之对应，故能表示y是x的函数． 对于选项B、C、D，给定的x的值，会出现多个y的值与之对应，故不能表示y是x的函数． 故选：A． 【点评】本题考查函数定义，熟练掌握定义是解题的关键． 2．（2024春•邯山区校级期末）下列四个图象中，哪个不是y关于x的函数（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定正确选项． 【解答】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故是y关于x的函数； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故是y关于x的函数； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故是y关于x的函数； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故不是y关于x的函数， 故选：D． 【点评】主要考查了函数的定义义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 3．（2024春•巴南区期末）下列各图中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的概念判断可得． 【解答】解：如图所示，在B、C、D三个选项中，在x允许的取值范围内，x任取一个数值，函数y都有2个值与之对应，不符合函数的概念， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的概念，函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 4．（2024•东兴区校级开学）选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义：在变化过程中有两个变量x，y，对于x在某一范围内的值，都有唯一确定的y与它对应，那么称y是x的函数，逐一判断即可解答． 【解答】解：根据函数的定义，可得B选项的图中，一个x值，有两个y值与之对应，故B不符合函数定义，不能表示y是x的函数． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的定义，熟知定义是解题的关键． 5．（2024秋•大观区校级期中）下列图象中，表示y是x的函数的有（　　） A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 【分析】根据函数的概念结合图象判断即可． 【解答】解：图象①④，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数； 图象②③，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数； 故选：B． 【点评】本题考查了函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，熟练掌握其定义是解题的关键． 题型十一 实际问题中的函数图象 解题技巧提炼 正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象. 1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联． 2．（2024秋•成华区期末）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分成3段分析可得答案． 【解答】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：C． 【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键． 3．（2024•平远县校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A．B．C．D． 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢． 【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：C． 【点评】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 4．（2024秋•宁波期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（h）与注水量（V）关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的图象可知，注水量与水深之间是随着水的深度越大增加的速度越慢的关系进行的． 【解答】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度（h）随着注水量（V）的增加而逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度（h）随着注水量（V）的增加而逐渐减小．即选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键． 5．（2024•沙坪坝区校级开学）依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 依依放学后以一定速度匀速步行回家这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小； 依依在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变； 然后依依提高了速度继续匀速步行回家，所剩路程随着时间的增加而减小，且减小的速度比遇到了同学前的速度快． 故选：C． 【点评】此题考查函数的图象，解题关键在于根据题意判断出函数图象． 6．（2024春•白银期末）周末，小明在黄河湿地公园匀速骑行游玩，沿直线骑行前进了800米，停车欣赏了一下迷人的风景，又原路返回了600米，再前进了1000米，在这个过程中，他离起点的距离s与时间t的关系示意图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据休息时，离开起点的S不变，返回时S变小，再前进时S逐渐变大得出函数图象，然后选择即可． 【解答】解：前进了800米图象为一条线段， 休息了一段时间，离开起点的s不变， 又原路返回600米，离开起点的s变小， 再前进1000米，离开起点的s逐渐变大， 纵观各选项图象，只有C选项符合． 故选：C． 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 7．（2024春•定州市期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可． 【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小； ②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加； ③快车到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大； 结合图象可得A选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义． 题型十二 从函数图象中获取信息解决问题 解题技巧提炼 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 1．（2024春•渭南期中）如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A．A地与B地之间的距离是180千米 B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时 D．汽车返回途中的速度是60千米/时 【分析】根据图象上特殊点的实际意义即可求出答案． 【解答】解：A、由图象得知A地与B地之间的距离是180千米，故A不符合题意； B、前3小时汽车行驶的速度是40千米/时，故B不符合题意； C、由于不知道第6小时出发时的速度，所以求不出汽车中途共休息时间，故C符合题意； D、汽车返回途中的速度是60千米/时．故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题干了解行驶过程，结合图象获取相关数据． 2．（2024秋•南京期末）小明家、报亭、乒乓球馆在一条直线上．小明从家跑步到乒乓馆打球，再去报亭看报，最后回家．小明离家的距离y与时间x之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（　　） A．小明从家到乒乓球馆的速度是250m/min B．小明在报亭停留时间为10min C．乒乓球馆在小明家与报亭之间 D．小明回家的速度是先慢后快 【分析】根据函数图象中每一段所表示关系，对各选项进行判断，即可得到结果． 【解答】解：∵根据函数图象，小明家到乒乓球馆的距离是1200m，用时为5 min， ∴小明从家到乒乓球馆的速度是1200÷5＝240m/min， 故选项A错误，不符合题意； ∵图象中第二段与x轴平行的图象，表示在报亭停留时间， ∴对应的x轴上用时从39到49，用时为10min， 故选项B正确，符合题意； 根据函数图象，小明先到乒乓球馆，再往回走到报亭，再回到家， ∴乒乓球馆不在小明家与报亭之间， 故选项C错误，不符合题意； ∵小明从球馆出来到报亭用时4min，走了360m，速度为90m/min， 从报亭回到家用时14min，走了840m，速度为60m/min， ∴小明回家的速度是先快后慢， 故选项D错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了函数图象的应用，熟练看懂函数图象是解题的关键． 3．（2024•沙坪坝区自主招生）小王从家出发去超市购物，离家的距离y（m）随时间t（min）的变化情况如图所示，则小王在超市购物花费的时间约为（　　） A．10min B．15min C．20min D．30min 【分析】由（10，800），（30，800）两个点的坐标含义可得答案． 【解答】解：由图象信息可得： 小王在超市购物花费的时间约为30﹣10＝20（分钟）， 故选：C． 【点评】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解图象中点的坐标含义是解本题的关键． 4．（2024秋•静安区校级期末）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点D处停止，设点P运动的路程为x，三角形ADP的面积为y，如果y关于x的图象如图②所示，则长方形ABCD的面积是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【分析】根据图象结合图形得出AB＝5，BC＝4，即可得出长方形ABCD的面积． 【解答】解：由图形可得，当点P在AB上时，△ADP的面积逐渐增大，当点P在BC上时，△ADP的面积不变，结合图象可得AB＝5，BC＝4， ∴长方形ABCD的面积是5×4＝20， 故选：C． 【点评】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，采用数形结合的思想是解此题的关键． 5．（2024秋•历下区期中）AB两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程s1、s2（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有（　　）个． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】观察图象，找出时间，路程求速度，再设未知数列方程解题． 【解答】解：①由图可知，甲车1小时行驶了60千米， 故甲车的平均速度为60千米/小时； ①正确． ②由图可知，乙车在1小时内行驶了60千米， 故乙车的速度为60÷（1）＝90千米/小时； ②错误． ③设甲车与乙车在甲车出发x小时后相遇， 甲车在x小时的路程为60x千米， 乙车在x小时的路程为90（x）千米， 60x+90（x）＝240， 解得x＝1.8． 1.8小时＝1小时48分钟， 故甲车与乙车在10点48分相遇． ③错误． ④在10：40时，两车还未相遇，经过8分钟相遇， 此时两车相距（60+90）＝20千米， 在10：58时，两车已相遇，并背向而行10分钟， 此时两车相距（60+90）＝25千米， 故④错误． 故此题有3个不正确， 故选：C． 【点评】本题考查了观察图象，利用图中信息解题的能力．关键是设未知数列方程解题． 6．（2024秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据如图回答下列问题： （1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ （2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ （3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以依次解答． 【解答】解：（1）食堂离小明家0.6（km），小明从家到食堂用了8（min）； （2）小明吃早餐用的时间为25﹣8＝17（min），在图书馆停留的时间为58﹣28＝30（min）； （3）图书馆离小明家0.8（km），小明从图书馆回家的平均速度是0.8÷（68÷58）＝0.08（km/min）． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（2024秋•鄠邑区期末）已知A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条道路从A地到达B地．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系． （1）在甲出发 　 　h时，两人相遇，这时他们离开A地 　 　km； （2）甲的速度是 　 km/h，乙的速度是 km/h； （3）乙从A地出发 　 　h时到达B地． 【分析】（1）根据图象可直接进行求解； （2）由图象可直接进行求解； （3）由图象可直接进行求解． 【解答】解：（1）由图象可得在甲出发3h时，两人相遇，这时他们离开A地40km， 故答案为：3，40； （2）甲的速度是，乙的速度是， 故答案为：，40； （3）乙从A地出发2h时到达B地， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查函数图象，解题的关键是根据函数图象得到基本的信息，然后进行求解即可． 8．（2024秋•浦东新区校级期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 　 　； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 　　分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 　 　米/分； （4）图中a表示的数是 　 　；b表示的数是 　 　； （5）图中点A表示的实际意义是 　 　． 【分析】（1）根据图象信息得出自变量； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间12﹣7＝5分钟即可； （3）根据“速度＝路程÷时间”计算即可； （4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可； （5）根据点的实际意义解答即可． 【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是高度（或h）； 故答案为：时间（或t）； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是12﹣7＝5（分钟）； 故答案为：5； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度＝25（米/分）； 故答案为：25； （4）图中a表示的数是（分钟）；b表示的数是（分钟）； 故答案为：2，15； （5）图中点A表示在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米； 故答案为：在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米． 【点评】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $