精品解析：广东省广州市天河区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024学年第一学期天河区期末考试 高一数学 本试卷共5页，19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 集合 C. D. 2. 已知命题，命题为第三象限或第四象限的角，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 4. 集合与对应关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是从集合到集合的函数 C. 对应关系 D. 定义域为集合，值域为集合 5. 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点个数为（    ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（ ） A. B. C. 解集为 D. 的解集为 10. 函数在一个周期内的图象如图所示.则（ ） A. B. 在区间单调递增 C. 若方程在区间上有两个不相等的实数根，则 D. 将图象的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度，得到函数 11. 定义二元函数，其中、，且，记，如，则（ ） A B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的半径为，面积为，则扇形圆心角为__________弧度. 13. 已知，则大小顺序为__________. 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设. （1）当时，求的值： （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 16. （1）化简：； （2）已知是第三象限角，求的值. 17. 设函数. （1）当时，证明：函数为奇函数，并求出函数的值域； （2）当时，探索函数的单调性，并用函数单调性的定义给予证明. 18. 如图，正方形的边长为分别为边上的点. （1）当时，求的值； （2）当的周长为2时， （i）求的大小： （ii）设为的面积，求的最小值. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该性质可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数. （1）函数是否为中心对称图形？若是请用题设证明并求出对称中心，若不是请说明理由； （2）已知直线与函数的图象有三个交点，设为，求的值； （3）已知函数的图象关于点对称，当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期天河区期末考试 高一数学 本试卷共5页，19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 集合 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用列举法确定出，找出与的交集即可． 【详解】， 又， ∴ 故选：C. 2. 已知命题，命题为第三象限或第四象限的角，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由确定角终边的位置，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当时，则角的终边位于第三、第四象限或轴的负半轴上， 而当终边位于第三、第四象限时，, 所以，且，所以，是的必要不充分条件. 故选：A. 3. 下列正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由指数幂的底不能为零，即可判断；对于B，利用指数运算，即可判断；对于C，利用对数恒等式，即可判断；对于D，利用对数换底公式计算，即可判断. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误； 对于B，若，则，即， 又，则， 所以，故B错误； 对于C，因为，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 4. 集合与对应关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是从集合到集合的函数 C. 对应关系 D. 的定义域为集合，值域为集合 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的定义，依次判断即可 【详解】选项A，由图可得，则， 则或，即或，故A错误； 选项B，由图，对于集合中的每个元素在集合中都有唯一的数对应，符合函数定义，故B正确； 选项C，因为，当时，由图知，而，故C错误； 选项D，由题图及函数定义，的定义域为集合，值域不是集合，是集合的一个真子集，故D错误. 故选：B. 5. 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求得即可判断. 【详解】由题意得， 由三角函数的定义可得，. 若，则，，； 若，则，，； 故选：D. 6. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式可求答案. 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确. 故选：D 7. 函数零点个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为函数与的图象的交点的个数，结合指数函数与二次函数图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的零点的个数，即为方程解的个数， 即为函数与的图象的交点的个数， 作出函数与的图象，如图所示， 当时，函数与的图象有且仅有一个交点； 当时，函数与的图象的交点为，有两个公共点， 综上可得，函数有3个零点. 故选：D. 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，当，时可得得，再代入，即可得结论. 【详解】由题意可知， 当时，，于是，整理得， 当，，有， 所以，故， 将代入可得，可得， 物体温度降为所需要的冷却时间为 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 10. 函数在一个周期内的图象如图所示.则（ ） A. B. 在区间单调递增 C. 若方程在区间上有两个不相等的实数根，则 D. 将图象的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度，得到函数 【答案】BC 【解析】 【分析】由正弦函数图象性质求得，再依次讨论各选项即可． 【详解】对于A，由题知， 所以，解得，所以， 再将点代入得，即， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由前知，由， 得时函数单调递增， 是的真子集， 则函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C， 当时，时， 又，则为的一个对称轴， 由B的分析可得在上为减函数，在为增函数， 若方程在区间上有两个不相等的实数根， 则关于对称，所以 ， 所以，故C正确； 对于D，将图象的横坐标伸长到原来的2倍，得， 再向右平行移动个单位长度，得，故D错误. 故选：BC. 11. 定义二元函数，其中、，且，记，如，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用题中运算可判断ABC选项；推导出性质，可判断D选项. 【详解】对于A选项，， ，A对； 对于B选项，由题中运算可得，，，， 故，B对； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，因 ， 所以，原式，D错. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的半径为，面积为，则扇形圆心角为__________弧度. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用扇形面积公式计算得到答案. 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，则，解得. 故答案为：. 13. 已知，则的大小顺序为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，分别判断出三个数的范围，在由指数化成根式比较的大小，可得答案. 【详解】因为， 又， 而，则，则， 所以，. 故答案为：. 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，则，再根据对勾函数的单调性可得答案， 【详解】因为，且， 由，可得，所以， 又因为 ， 所以 ， 所以 ，令 ， 由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以 ， 故的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设. （1）当时，求的值： （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）0 （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据求出的值，即可求的值： （2）利用一元二次不等式的解法化简集合，根据可得，从而可求实数的取值范围 【小问1详解】 因为，且， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， 因为，即， 所以， 又由集合元素的互异性可得， 故或. 16. （1）化简：； （2）已知是第三象限角，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用诱导公式化简得到答案； （2）先逆用两角和的正弦公式结合诱导公式得到的值，再利用同角三角函数关系结合所在象限角求得的值，最后通过两角和的余弦求即可. 【详解】（1） （2）由，得， ∴，即, ∵是第三象限角，∴. 所以 17. 设函数. （1）当时，证明：函数为奇函数，并求出函数的值域； （2）当时，探索函数的单调性，并用函数单调性的定义给予证明. 【答案】（1）证明见解析，值域为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，化简函数的解析式，利用函数奇偶性的定义可证得函数为奇函数，令，可得出，求出的取值范围，即为函数的值域； （2）判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 当时，， 对任意的，，即函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 令，可得出，即，解得， 故函数的值域为. 【小问2详解】 当时，函数在上为增函数，证明如下： 任取、且，则， 则, 当时，即，所以，函数在上为增函数； 当时，即，所以，函数在上为减函数. 18. 如图，正方形的边长为分别为边上的点. （1）当时，求的值； （2）当的周长为2时， （i）求的大小： （ii）设为的面积，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用勾股定理求出，再利用余弦定理求出，进而求出，即可求得的值； （2）（i）设线段、长度分别为、，可得，可得，设，可得，可得； （ii）设，，可得，由可得，即可得解. 【小问1详解】 因为正方形的边长为，， 则， 所以， ， ， 则， 所以， 则. 【小问2详解】 （i）设线段、的长度分别为、，， 因为正方形的边长为， 则，， 因为的周长为，所以， 则由勾股定理得，即， 又因为，， 则 因为，所以， 所以. （ii）由（i）知，设，， 则，，， ， 因为，所以， 则，则， 则， 所以， 所以的面积的最小值为. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该性质可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数. （1）函数是否为中心对称图形？若是请用题设证明并求出对称中心，若不是请说明理由； （2）已知直线与函数的图象有三个交点，设为，求的值； （3）已知函数的图象关于点对称，当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的图象有对称中心，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设函数的图象关于点成中心对称图形，根据题设结合奇函数的定义与性质分析求解； （2）由直线与函数的图象有三个交点，通过讨论分段函数的图象与直线的交点个数，由对称性可得，再联立方程解出第三个交点坐标，即可得到的值； （3）求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，由函数在上的值域情况，分，，和几种情况讨论在上的值域情况，可得出答案. 【小问1详解】 函数的图象有对称中心，证明如下： 因为， 假设函数的图象关于点成中心对称图形， 等价于函数为奇函数， 因为，即， 可知的定义域为，可得，即， 此时，可得，解得， 此时为定义在内的奇函数， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 直线与函数的图象有三个交点， ， 函数的图象过点， 当时，， 所以当时，直线与函数的图象有两个交点， 如下图: 设两个交点为，两个交点关于点对称，则， 当时，，解得（舍）， 则直线与函数的图象有一个交点， 如下图: 设坐标为， 所以直线与函数图象有三个交点， 则. 【小问3详解】 因为，时为减函数， 且，， 则函数，的值域为， 当时，， 所以，当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 又函数的图象关于点对称，使得， 所以，当时，函数，的值域为， 由，则，解得，则； 当时，函数，的值域为， 由，则， 解得，则； 当时，函数，值域为， 由，则， 解得，则； 当时，函数，的值域为， 由，则， 解得，则； 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（3）小问求出的值域为，如果的值域为集合，则问题可转化为，分，，和几种情况讨论得出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $