精品解析：河南省周口市郸城县2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

2024—2025学年第一学期期中阶段性学情检测 九年级数学 注意事项： 1、本卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用黑色签字笔直接答在答题卡上． 2、答题前请将姓名、准考证号填涂清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若 ，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是 ，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：有意义的条件是 ，所以不符合题意； 有意义的条件是 ，所以不符合题意； 有意义的条件是 ，所以 不符合题意； 有意义的条件是 ，所以 满足条件． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意； 符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意； 故选：A． 3. 根式中，与是同类二次根式的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：，，，，， ∴与是同类二次根的有，共1个， 故选：A． 4. 已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，数轴，根据数轴可知， ，计算一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ，则， ∵中，， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段 的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ， ， 解得 ， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键． 7. 如图，在的方格中，画有格点 （阴影部分）与 相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与 相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 8. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请 个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于 的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把 缩小，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：∵原点O为位似中心，相似比为，把 缩小， ∴点A的对应点的坐标为或， 即或， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限， 与x轴重合，将 绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点 的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解： 边长为2的等边三角形在第二象限， ∴． 将 绕点 顺时针旋转 ，得到， 与点 关于 轴对称， ． 再作关于原点 的中心对称图形，得到， 与点关于原点对称， ． 再将绕点 顺时针旋转 ，得到 此时点落在 轴的负半轴上， ． 再作关于原点 的中心对称图形，得到， 此时点落在 轴的正半轴上， ． 以此类推，则，， 与点 重合， 对应的点大于1的整数）的坐标以，，，，，为规律循环， 与的坐标相同， ∴则点的坐标是． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的运算公式直接化简即可得出答案，掌握二次根式的运算性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意知： ， ∴， 故答案为：． 12. 若一元二次方程 的两个实数根分别是的两条边，则这个直角三角形的面积为__________________． 【答案】 或 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及勾股定理，熟练掌握方程的解法及勾股定理是解本题的关键．求出方程的解确定出直角三角形的两边，进而求出两直角边，得出面积即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得： 或 ， 当4是直角边时，两直角边为3，4，面积为； 当4是斜边时，根据勾股定理得：， 此时两直角边为3，，面积为， 综上所示，该直角三角形的面积是6或． 故答案为：6或． 13. 关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，中，，垂足为 D， 平分 ，分别交 于点 F，E．若，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，设，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到 ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 平分 ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形 中，点 是边 的三等分点，点 是边 的中点，线段 ， 与对角线 分别交于点 ， ．设矩形 的面积为 ，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据矩形性质得到，即可得到，从而得到即可判断①②，同时根据相似即可判断对应高之比，即可判断③④，即可得到答案．本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握同高三角形面积等于底边比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∵点 是边 的三等分点，点 是边 的中点， ， 设，则， ∴，故①正确，②错误； ∵， ∴， 同理可得：， ∵， 设，则， ∴， ∴，故③正确，④错误； 故答案为：①③ 三、解答题（本大题共8题，共75分） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先根据二次根式性质进行计算，然后根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） ， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）整理原式为，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）整理原式为，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∴ 或 ， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 或， ∴， ． 18. 先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． （1） 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）小亮； （2）；8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将 代入计算即可． 【小问1详解】 解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；． 【小问2详解】 解：原式， ， 原式． 19. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是 和 ，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （2）若是“倍根方程”，求m与n的关系； （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【答案】（1） （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得 的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出 ， 之间的关系； （3）设 与 是方程 的解，根据根与系数之间的关系消去 即可得出答案． 【小问1详解】 解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； 【小问3详解】 解：设 与 是方程 的解， ，， 消去 得：． 20. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 ． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出 的一个位似，使它与 的相似比为； （2）将 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为 ． 21. 如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？ 【答案】框边宽为2厘米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设框边宽为 厘米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设框边宽为 厘米． ，（不合题意，舍去） 答：框边宽为2厘米． 22. 如图，在中， ，过点 作，垂足为 ． （1）若 ， ， ，求 的长； （2）连接 ，若，且 ， ，求 的长． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （ ）证明即可求解； （ ）由得到，求得 ，利用勾股定理可得，再证明 即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 在中，， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 23. 如图1，在 中，D，E分别是边 上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I．若D是 的中点， ，则E是 的中点； II．若 ， ，则D，E分别是 的中点； III．若D是 的中点， ，则E是 的中点． （1）小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题． 他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点E，从而直观判断E不一定是 的中点． 小明尺规作图的方法步骤如下： ①在图2中，作边 的垂直平分线，交 于点M； ②在图2中，以点D为圆心，以 的长为半径画弧与边 交与点E和； 请你在图2中完成以上作图． （2）小明通过对命题II和命题III的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图和几何证明，涉及到垂直平分线的作法、平行四边形的判定与性质等，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据题中说明作图即可； （2）取 的中点N，连接，可推出四边形和都是平行四边形，进而推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可证明命题II；延长 到点F，使，连接 ，通过证明可得是平行四边形，即可证明命题III． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：命题II证明如下： 取 的中点N，连接，如图所示， ∴， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∴D，E分别是 的中点； 命题III证明如下： 延长 到点F，使，连接 ， ∵D是 的中点， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ，， ∴， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴E是 的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中阶段性学情检测 九年级数学 注意事项： 1、本卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用黑色签字笔直接答在答题卡上． 2、答题前请将姓名、准考证号填涂清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若 ，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 根式中，与是同类二次根式的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段 的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 7. 如图，在的方格中，画有格点 （阴影部分）与 相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请 个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把 缩小，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限， 与x轴重合，将 绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：_____． 12. 若一元二次方程 的两个实数根分别是的两条边，则这个直角三角形的面积为__________________． 13. 关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为________． 14. 如图，中，，垂足为 D， 平分 ，分别交 于点 F，E．若，则_______ 15. 如图，在矩形 中，点 是边 的三等分点，点 是边 的中点，线段 ， 与对角线 分别交于点 ， ．设矩形 的面积为 ，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有________． 三、解答题（本大题共8题，共75分） 16. 计算： （1） （2）． 17. 解方程： （1） ； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． （1） 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （2）先化简，再求值：，其中 19. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是 和 ，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （2）若是“倍根方程”，求m与n的关系； （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 20. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 ． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出 的一个位似，使它与 的相似比为； （2）将 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 21. 如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？ 22. 如图，在中， ，过点 作，垂足为 ． （1）若 ， ， ，求 的长； （2）连接 ，若，且 ， ，求 的长． 23. 如图1，在 中，D，E分别是边 上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I．若D是 的中点， ，则E是 的中点； II．若 ， ，则D，E分别是 的中点； III．若D是 的中点， ，则E是 的中点． （1）小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题． 他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点E，从而直观判断E不一定是 的中点． 小明尺规作图的方法步骤如下： ①在图2中，作边 的垂直平分线，交 于点M； ②在图2中，以点D为圆心，以 的长为半径画弧与边 交与点E和； 请你在图2中完成以上作图． （2）小明通过对命题II和命题III的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $