精品解析：广东省茂名市高州市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题

高州市2024~2025学年度第一学期期末质量监测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列中，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 17 4. 已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 8 5. 已知圆：与圆：，则圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 将正整数分解为两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2025项的和为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 过原点的直线l与圆M：交于A，B两点，且l不经过点M，则（ ） A. 弦AB长的最小值为8 B. △MAB面积的最大值为 C. 圆M上一定存在4个点到l的距离为 D. A，B两点处圆的切线的交点位于直线上 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为__________. 13. 记为等比数列的前项和.若，则的公比为__________. 14. 已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和满足，. （1）求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 16. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且. （1）求证：四边形为正方形； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）. 19. 已知数列，，，为数列的前项和，且. （1）令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； （2）设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2024~2025学年度第一学期期末质量监测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以. 故选：A. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 3. 已知数列中，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知得出是等差数列，得出通项公式计算即可. 【详解】，又， 所以数列是公差为的等差数列，， 故选：B. 4. 已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】根据椭圆方程可得，则，由椭圆的定义得，， ，所以的周长为. 故选：D. 5. 已知圆：与圆：，则圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆方程可分别得到两圆圆心坐标及其半径，借助半径与圆心间距离可得两圆位置关系，即可得两圆公切线条数. 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 所以， 则，所以圆与圆相交， 所以圆与圆的公切线的条数为2． 故选：B． 6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为， 故选：C. 7. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点， 设，所以，由抛物线的定义得，所以， 在中，，又因为， 解得，又记准线与对称轴交于点，因为，解得，即到抛物线的准线的距离为4. 故选：B. 8. 将正整数分解为两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2025项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分为奇数和偶数，按照最优分解定义求数列的通项，然后可求得前2025项的和. 【详解】当时，，所以， 当时，，则， 故数列的前2025项的和为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误； 对于C，若，则，所以，C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推公式计算出数列的前项，可判断AB选项；利用数列的周期性可判断C选项；利用数列的周期性求出的值，可判断D选项. 【详解】因为，，所以，，，，故A正确，B错误； 所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 11. 过原点的直线l与圆M：交于A，B两点，且l不经过点M，则（ ） A. 弦AB长的最小值为8 B. △MAB面积的最大值为 C. 圆M上一定存在4个点到l的距离为 D. A，B两点处圆的切线的交点位于直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由圆的几何性质得到当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，从而由垂径定理求出答案； B选项，由三角形面积公式得到，设是中点，研究得到始终为钝角，且当点与原点重合，取得最小值，由二倍角公式和同角三角函数关系得到此时，结合在上单调性，求出面积最大值即可； C选项，举出反例； D选项，设出，求出四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB过原点，将原点代入后得到满足的方程. 【详解】对A，变形为， 圆心M为，半径， 因为，故原点在圆内， 故当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值， 其中，故，A正确； 对B，由三角形面积公式得： 设是中点，故，当点与原点重合，弦长AB最短，取得最小值， 此时，， 故，此时. 由求得取得最小值时为钝角，所以始终为钝角， 因为在上单调递减，所以当时，面积取得最大值， 最大值为，B正确； 对C，当弦AB与直线垂直时，圆心M到直线l的距离为， 由于半径为，所以在直线l的左上方有2个点到直线l的距离为， 在直线l的右下方，只有1个点到直线l的距离为， 此时圆M上存在3个点到l的距离为，C错误； 对D，设，则四点共圆，且MP为直径， 其中线段MP的中点坐标为，即圆心坐标为， 半径为， 故四点所在圆的方程为：， 化简得：①， ②， ①－②得：， 则直线AB的方程为， 又因为直线AB过原点，将原点代入得：， 故A，B两点处圆的切线的交点位于直线上，D正确. 故选：ABD 【点睛】已知圆的方程为，为圆上一点，则过点的切线方程为：； 若为圆外一点，则表示切点弦所在方程. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据离心率公式计算求参即可. 【详解】由，故离心率为，解得. 故答案为：4. 13. 记为等比数列的前项和.若，则的公比为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式求解． 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为，所以， 即，即，即， 解得. 故答案为：2. 14. 已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，求出的运动轨迹，结合表示的几何意义求解. 【详解】 因为，， 所以，即， 即， 所以的运动轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 因为动点在双曲线的右支上， 所以，即， 因为， 最小值几何意义为点到圆上点与到距离和的最小值， 又因为， 所以表示为最小， 即最小， 所以当三点共线时符合题意， 即， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题重点在于几何意义的理解，转化为点共线时最小. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和满足，. （1）求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以 . 16. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解. 【小问1详解】 由点，得线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，即圆心，半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点， 当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且. （1）求证：四边形为正方形； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再由条件推导平面，得到即可证得； （2）依题建系，写出相关点坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形； 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，所以， 故可取， 设直线与平面所成角的大小为， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）. 【答案】解（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由是面积为的等边三角形，结合性质 ，列出关于 、 的方程组，求出 、，即可得结果;（2）先证明直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用弦长公式可得 ，化简得.原点到直线的距离为，的面积，当最大时，的面积最大.由，利用二次函数的性质可得结果. 【详解】（1）由是面积为的等边三角形，得， 所以，，从而， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意. 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得， 所以有，， 则 ， 即，化简得. 因为，所以有且. 原点到直线的距离为，的面积， 所以当最大时，的面积最大. 因为，而， 所以当时，取最大值为3，面积的最大值. 把代入，得，所以有， 即直线的方程为或. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19. 已知数列，，，为数列的前项和，且. （1）令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； （2）设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）证明见解析，；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 （i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. 【小问2详解】 因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $