精品解析：河南省洛阳市洛龙区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期期中形成性调研 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ） A. B. C. D. 4. 如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 5. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的两个实数根，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2024 D. 2025 8. 如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　） A. （1，1） B. （0，1） C. （﹣1，1） D. （2，0） 9. 抛物线（n是常数）经过三点，且，则下列关于的大小关系的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的范围__________． 13. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的吨/(平方公里·月)，下降至2022年的吨/(平方公里·月)．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 15. 如图1，在等边中，于点D，动点E从顶点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，将绕点C逆时针旋转得到是上一点，．设随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是_______． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点顺时针旋转得到，其中点A与点对应，点B与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内部任意一点，这个点在中的对应点，记为，请直接写出的坐标． 18. 已知关于的方程 ． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将解析式化为的形式； （2）已知二次函数中的满足下表，求的值； … 0 1 2 … … 3 … （3）结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 20. 如图，在中，，把绕着B点逆时针旋转，得到点E在上，连接． （1）若，求的面积； （2）若，求的度数． 21. 某汽车销售公司9月份销售某厂的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；每多售出1部汽车，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元，汽车的售价均为28万元/部． （1）若该公司当月售出4部汽车，则每部汽车的进价为______万元，此时汽车销售公司月盈利为______万元；（盈利=销售利润+返利） （2）如果该公司计划当月盈利12万元，那么售出多少部汽车？ 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 23. 把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中， （1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为 ； （2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是 （a为锐角时）； （3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标； （4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中形成性调研 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可. 【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， ∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x-k）2+h中，其顶点坐标为（k，h）． 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，进而得出平移后的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位．再向上平移3个单位， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 4. 如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与对应一元二次方程的关系，由表格数据可知，当时，，当时，，可得函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是，即可得到一元二次方程一个解的范围． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，． ∴函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是， 即一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 5. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 6. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 7. 若是方程的两个实数根，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系求代数式的值，由题意得到，，代入代数式求值即可得到答案，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， 故选：D． 8. 如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　） A. （1，1） B. （0，1） C. （﹣1，1） D. （2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【详解】解：如图， 连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线， 两线的交点即为旋转中心O′，其坐标是(0，1)． 故选B． 【点睛】题目主要考查图形旋转的性质，熟练掌握找寻旋转中心的方法是解题关键． 9. 抛物线（n是常数）经过三点，且，则下列关于的大小关系的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质及判断函数值的大小是解题关键． 根据函数解析式确定抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性质及与对称轴的距离即可求解． 【详解】解：的对称轴为，开口向下， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； ∵， ∴， 离对称轴越近y值越大， ∴， 故选：C． 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，一元二次方程与二次函数的联系，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图象可知，时，，可判断①结论；根据抛物线的顶点坐标确定对称轴为直线，可判断②结论；根据抛物线顶点坐标，可判断③结论；根据抛物线与直线的交点个数，可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，时，， 则，①结论正确； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ， ， ，②结论正确； 顶点坐标为， , ， ，③结论正确； 顶点坐标为， 抛物线与直线有一个交点， 抛物线开口向下， 抛物线与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，④结论正确； 即正确结论的个数是4， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，利用数形结合求解问题是解题的关键．观察图象即可得到结果． 【详解】解：根据二次函数的图象可得：当时，． 故答案为：． 13. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的吨/(平方公里·月)，下降至2022年的吨/(平方公里·月)．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． 根据“2020年的降尘量年平均下降率2022年的降尘量”求解即可． 【详解】解：若设降尘量的年平均下降率为，则， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意容易漏掉二次项系数不为零这一条件． 15. 如图1，在等边中，于点D，动点E从顶点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，将绕点C逆时针旋转得到是上一点，．设随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点N，连接，作于点Q．由旋转可知由等边三角形的性质可知，，证明，得到，则点F的运动轨迹为，且，证明，则当时，取得最小值4，证明为等边三角形，得到，则得到，则即可． 【详解】解：设交于点N，连接，作于点Q． ∵将绕点C逆时针旋转得到 ∴， ∵是等边三角形，于点D， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴点F的运动轨迹为，且， ∴， 即， ∴当时，取得最小值4， 此时 ∴， ∴为等边三角形， ， ， ． ∴最低点的横坐标为． 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，证明点F的运动轨迹为是解题的关键 ． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法应用，注意熟练利用配方法、公式法解方程是解题关键； （1）先将方程化为一般形式，利用公式法解方程即可； （2）先将方程化简，利用配方法解方程即可； 【小问1详解】 解：原方程化简为：， ，，， ， ， ，， 即，； 【小问2详解】 解：原方程化简为：， ， ， ， ， ， ，， 即，； 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点顺时针旋转得到，其中点A与点对应，点B与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内部任意一点，这个点在中的对应点，记为，请直接写出的坐标． 【答案】（1） 根据旋转的性质，画图如下： 故即为所求，此时点； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，正确理解旋转的意义是解题的关键； （1）让三角形的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点，顺次连接，然后从图形中读出点的坐标即可； （2）根据旋转变化的规律，写出一般式即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据旋转的规律，交换横纵坐标，且横坐标需要取绝对值后变成纵坐标， ∴点旋转后对应点坐标为； 18. 已知关于的方程 ． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）正整数或3． 【解析】 【分析】（1）证明根的判别式不小于0即可； （2）根据公式法求出方程的两根,用k表示出方程的根，再根据方程的两个实数根都是整数，进而求出k的值． 【详解】解：（1）证明： ， ∴方程一定有两个实数根. （2）解：， ， ， ， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴正整数1或3． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将解析式化为的形式； （2）已知二次函数中的满足下表，求的值； … 0 1 2 … … 3 … （3）结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 【答案】（1） （2） （3） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、画函数图象等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）通过配方法求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； （3）根据（2）和表格数据，描点、连线作图即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由表格数据可知，当时，， 即， 解得或， ； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，，把绕着B点逆时针旋转，得到点E在上，连接． （1）若，求的面积； （2）若，求的度数． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求，根据旋转性质得，根据三角形面积公式可求解； （2）把绕着B点逆时针旋转，得到，，根据三角形内角和得，进而可求的度数． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵把绕着B点逆时针旋转，得到， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵把绕着B点逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 某汽车销售公司9月份销售某厂的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；每多售出1部汽车，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元，汽车的售价均为28万元/部． （1）若该公司当月售出4部汽车，则每部汽车的进价为______万元，此时汽车销售公司月盈利为______万元；（盈利=销售利润+返利） （2）如果该公司计划当月盈利12万元，那么售出多少部汽车？ 【答案】（1）26.7，7.2； （2）该公司需售出6部汽车． 【解析】 【分析】（1）根据进价与销售数量的关系可以表示为进价为万元，再根据售价进价利润就可以表示出月盈利； （2）设该公司需售出部汽车．根据盈利销售利润返利建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 由题意，得 每部汽车的进价为：万元， 汽车销售公司月盈利为：万元； 故答案为：26.7，7.2； 【小问2详解】 设该公司需售出部汽车．由题意知： 每部汽车的销售利润为万元． 当时，由题意得： 整理得 解得， 由题知不合题意舍去，取 当时，由题意得： 整理得 解得， 由题知不合题意舍去，取 因为，所以舍去． 答：该公司需售出6部汽车． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系盈利销售利润返利的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【小问1详解】 解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． 【小问2详解】 由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 23. 把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中， （1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为 ； （2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是 （a为锐角时）； （3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标； （4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上． 【答案】（1）E（4，2）； （2）60°； （3）； （4）点H不在此抛物线上． 【解析】 【详解】试题分析：（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E． （2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°． （3）设CG=x，则EG=x，FG=6﹣x，根据勾股定理求出CG的值． （4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解． 解．（1）E（4，2） （2）60° （3）设CG=x，则EG=x，FG=6﹣x， 在Rt△FGC中，∵CF2+FG2=CG2， ∴42+（6﹣x）2=x2 解得，即 ∴ （4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2， 把A（0，6）代入，得6=a（0﹣4）2． 解得a=． ∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）2 ∵矩形EDCF的对称中心H即为对角线FD、CE的交点， ∴H（7，2）． 当x=7时， ∴点H不在此抛物线上． 考点：二次函数综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $