精品解析：湖北省襄阳市优质高中2025届高三上学期1月联考数学试题

襄阳市优质高中2025届高三联考试题 数学 命题人：覃凌霄 学校：宜城一中 审题人：陈新 学校：老河口一中 审题人：包晏东 学校：曾都一中 考试时间：2025年1月22日下午14：30—16：30 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚． 选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对等式进行变形，将用已知式子表示出来，然后化简式子得到的最简形式，最后从最简形式中找出虚部. 【详解】已知，那么. 化简的表达式即： 因为，所以： 在中，虚部为. 故选：D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再结合充要条件定义判断即可. 【详解】解不等式，得， 由，可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ） A B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据等差、等比数列的通项公式计算可得、，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为；等比数列的公比为. 由，得，即，所以； 由，得，即，所以， 所以. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，先运用二倍角公式，可得，再结合正切函数的两角差公式，即可求解． 【详解】因为，所以且，所以﹔ 又，所以. 故选：D 5. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.789 附： A. 有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断. 【详解】依题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 篮球迷 90 20 110 非篮球迷 60 30 90 合计 150 50 200 所以， 所以没有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，进而没有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，A,B选项错误； 又，最准确的是在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，D选项正确. 故选：D. 6. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又，所以. 故选：C 7. 已知直线与相交于点，点是圆上的一个动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出两直线交点的轨迹方程，然后根据圆的性质，计算圆心到轨迹上点的距离，进而得出的最大值. 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，那么点的轨迹是以为直径的圆. 中点坐标为，即，，则点轨迹圆的半径. 圆，其圆心，半径. 圆心到点轨迹圆圆心的距离. 的最大值为圆心距加上两个圆的半径，即. 故选：C 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. 254 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性和所给等式推出函数的周期，再结合已知区间的函数表达式求出一个周期内函数值的和，最后利用周期计算所给式子的和. 【详解】由是偶函数推出的性质， 因为是定义域为的偶函数， 所以，即， 对于任意都成立，那么. 用代替，可得，即. 又因为，则关于直线对称，所以. 由和可得， 再用代替，得到，即， 而，所以，进而，所以函数的周期是. 已知当时，. .. 因为的图象关于直线对称，所以，. . .，，. 则. 因为，其中是余数. 所以. ， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用正态分布的概念，概率性质，逐个分析判断即可. 【详解】对于正态分布，方差，则. 已知，这里，那么，而不是，所以选项A错误. 对于正态分布，期望 已知，这里，所以，选项B正确. 因为正态分布，则，. 根据正态分布的性质，，， ，即， 那么，选项C正确. 对于，；对于，. 对应的，对应的. 根据正态分布的性质，值越大，对应的概率越大， 因为，所以，选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 当时，的图象在点处的切线方程是 C. 当时，函数有2个零点 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可判断A，利用导数的几何意义，即可判断B，根据函数的单调性和最值，讨论，即可判断C，构造函数，利用导数判断函数在区间的单调性，可得在区间恒成立，再根据函数的单调性和最值，即可判断D. 【详解】，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的最小值为，故A正确； 当时，，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，故B错误； 由A可知，函数的最小值为，当时，，此时函数没有零点，故C错误； 设， 则 ， 当时，，所以，单调递增，且， 所以时，， 即，， 若，，不妨设， 即，， 且由A可知，在区间单调递增，所以，即，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是D选项，属于极值点偏移问题，问题的关键是构造函数，结合导数判断函数的单调性. 11. 已知曲线上的点满足：到定点的距离与到定直线的距离之和为，则下列说法正确的是（ ） A. 恰好经过个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 当点在上时， C. 上的点到直线的距离的最大值为 D. 上的点与点的距离的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由两点间距离公式得到分段函数的解析式，再作图象，由解析式中的范围可得B错误；由的取值范围代入表达式可得A正确；由点到直线的距离公式可得C正确；由曲线C的性质可得D正确. 【详解】设曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离之和为， 则，即， 整理或， 画出曲线的图象如下图所示： 对于B选项，当即； 当即，故B正确； 对于A选项，由B可得可取、、、， 当时，或，无整点； 当时，或，整点为、； 当时，或，无整点； 当时，或，整点为、. 所以共有个整点，故A正确； 对于C选项，作直线的平行线， 当平行线过点，两平行线间距离最大，即，故C正确； 对于D选项，上的点到定直线的距离范围为， 则上的点与点的距离的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由两点间距离公式推导出函数的表达式，再根据的取值范围去掉绝对值符号，得到分段函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由得，根据双曲线的定义得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】由，， 得，又， 所以 故答案为：2 13. 已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的有理项项数，利用不相邻的排列问题求解即得. 【详解】依题意，，解得，因此二项式的展开式共7项， 展开式的通项为， 当时，是有理项，则展开式的有理项共4项， 所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率. 故答案为： 14. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动，设，若，则四面体体积的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先确定点的轨迹，确定四面体体积最大时，点的位置，再利用锥体的体积公式计算即可求解. 【详解】如图： 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面.又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. 又在正方形及其内部，所以点轨迹是如图所示的以为直径的半圆， 作于，则是三棱锥的高. 所以当的面积和都取得最大值时，四面体的体积最大. 此时点应该与或重合，为正方形的中心. 当点与重合，为正方形的中心时，如图： 此时，， 所以； 当点与重合，为正方形的中心时，如图： 此时，， . 综上可知，当四面体的体积的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：根据得到点在以为直径的球面上，又点在正方形及其内部，所以点轨迹就是球面与平面的交线上，即以为直径的半圆上.明确点轨迹是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是的中点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 连接，因为四边形是菱形，所以， 又因为，所以是正三角形， 因为为的中点，则， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面平面，所以， 又因为，，所以 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 连接，因为，所以，则两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系． 因为，所以， 又因为，所以， 则， ， ， ，设平面的法向量为， 则有，可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）若，求； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理计算即可求解； （2）根据余弦定理可得，则，进而，求得，结合两角和的正弦公式和二倍角公式计算即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 又，所以，得． 又，所以； 【小问2详解】 ，由余弦定理得 所以或， 当时，， 解得，则，与已知矛盾， 故， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 由于在上单调递减，故， 所以， ． 所以的取值范围为． 17. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆标准方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在点 【解析】 【分析】（1）先确定的值，再根据点在椭圆上和的关系，可求的值，确定椭圆的方程. （2）先设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理，得到与，再设，利用可化简求出的值，得到点坐标. 【小问1详解】 设椭圆E的标准方程为（），由， 则，得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 假设存在点满足条件，设直线的方程为， 设，， 如图： 联立，得， 易知，则，， 由， 则，即， 即， 即 整理得 则 整理得，解得， 所以存在点，使得． 18. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）已知函数有两个极值点，求的取值范围； （3）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调减区间为的单调增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数可得答案； （2）转化为在上有两个不同的实数根，令，求出在上的单调性可得答案； （3）求出，令，分、讨论函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 由函数， 可得， ， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故函数的单调减区间为的单调增区间为； 【小问2详解】 因为函数有两个极值点， 所以在上有两个不同的变号零点， 即在上有两个不同的实数根． ，令，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，上单调递减， ，所以； 【小问3详解】 由函数， 可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】思路点睛：第三问函数在区间上存在唯一零点，需要结合函数的单调性，分情况讨论函数在该区间端点处函数值的情况，从而确定的取值范围. 19. 若数列满足，则称为“螺旋递增数列”． （1）设数列是“螺旋递增数列”，且，求和； （2）已知数列满足：，判断数列是不是“螺旋递增数列”，若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）设数列是“螺旋递增数列”，且，记数列的前项和为．问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）是“螺旋递增数列”，证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）应用数列是螺旋递增数列计算求解； （2）结合螺旋递增数列的定义及等比数列的通项公式证明即可； （3）结合等差数列的通项公式及螺旋递增数列定义结合裂项相消法分奇偶项分别求解. 【小问1详解】 是以为首项，以4为公比的等比数列， ． 数列是“螺旋递增数列”，； 【小问2详解】 数列是“螺旋递增数列”，证明如下： 因，则，所以， ，则 所以数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，则． 数列的偶数项是以1为首项，2为公比的等比数列，则． 所以，故数列是“螺旋递增数列”． 【小问3详解】 是以为首项，以2为公差的等差数列， ，又数列是“螺旋递增数列”， 故， ． ①当时， ， 又恒成立，恒成立，． ②当时， ， ， 又恒成立，恒成立， 综上①②，存在满足条件的实数，其取值范围是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用裂项相消法结合函数的值域计算求参. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 襄阳市优质高中2025届高三联考试题 数学 命题人：覃凌霄 学校：宜城一中 审题人：陈新 学校：老河口一中 审题人：包晏东 学校：曾都一中 考试时间：2025年1月22日下午14：30—16：30 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚． 选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知，则（ ） A B. 5 C. D. 7 5. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.789 附： A. 有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 6. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 已知直线与相交于点，点是圆上一个动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. 254 D. 2025 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 当时，图象在点处的切线方程是 C. 当时，函数有2个零点 D. 若，则 11. 已知曲线上的点满足：到定点的距离与到定直线的距离之和为，则下列说法正确的是（ ） A. 恰好经过个整点（横、纵坐标均为整数点） B. 当点在上时， C. 上的点到直线的距离的最大值为 D. 上的点与点的距离的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为______． 13. 已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为______． 14. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动，设，若，则四面体体积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是中点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）若，求； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 17. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆标准方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 18. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）已知函数有两个极值点，求的取值范围； （3）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围． 19. 若数列满足，则称为“螺旋递增数列”． （1）设数列是“螺旋递增数列”，且，求和； （2）已知数列满足：，判断数列是不是“螺旋递增数列”，若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）设数列是“螺旋递增数列”，且，记数列的前项和为．问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$