精品解析：山东省德州市陵城区2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

2024-2025学年义务教育学业质量素养监测 八年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 4. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，则线段的长为（ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 5. 若一个多边形的内角和是它的外角和的8倍，则该多边形的边数为（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 6. 定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”，若点，幸福直线是则点A关于这条幸福直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，，，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（ ）． A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 9. 如图，在中，已知点分别是的中点，且（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A. 76° B. 84° C. 96° D. 109° 11. 如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 12. 如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（ ） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若点和点关于x轴对称，则b的值是_________． 14. 如图，长方形纸带中，，将纸带沿折叠，A，D两点分别落在，处，若，则的大小是 ___________． 15. 如图，平分，请你添加一个条件：______，使． 16. 如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为______． 17. 如图，已知点为射线上一动点，已知，若为等腰三角形，则的度数为______． 18. 如图，在四边形中，，，平分，若、分别是，边上的动点，当的值最小时，的度数为______． 三、解答题（7小题，共78分） 19. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题： （1）画出△ABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1；直接写出A1、B1、C1的坐标； （2）如图，在直线上找一点M，使得AM+BM的值最小．（保留作图痕迹） 20. 如图，，点在边上，，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图，在中， ，点在的延长线上，且 ，过点 作 ，与的垂线交于点． （1）求证：； （2）若求的长． 22. 如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． （1）求的度数； （2）求证：为等边三角形． 23. 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24. 如图，两个正方形与，连接，二者相交于点H． （1）请说明的位置和数量关系，并给予证明； （2）连接和，请问的面积和的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 25. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年义务教育学业质量素养监测 八年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 、，所以不能组成三角形； 、，所以不能组成三角形； 、，所以不能组成三角形； 、，所以能组成三角形； 故选：． 3. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 【答案】D 【解析】 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 4. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，则线段的长为（ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义、平行线的性质可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】平分 同理可得： 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握理解并灵活运用各性质是解题关键． 5. 若一个多边形的内角和是它的外角和的8倍，则该多边形的边数为（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的综合，先设多边形的边数为条，因为一个多边形的内角和是它的外角和的8倍，所以，解出值，即可作答． 【详解】解：设该多边形的边数为条， 则列方程为， 解得：， 故选B． 6. 定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”，若点，幸福直线是则点A关于这条幸福直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征，熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 根据点A关于幸福直线的对称点B的坐标，可知的A、B纵坐标相同，横坐标和的一半等于，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， ，即， 故选：A． 7. 如图，点在上，，，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形外角的性质可推出，证明，得，，即可得解．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴的长是． 故选：B． 8. 如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（ ）． A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，再根据直角三角形中30°角所对边是斜边的一半可得，从而可得． 【详解】解：根据折叠的性质， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的直角．理解直角三角形中30°角所对边是斜边的一半是解题的关键． 9. 如图，在中，已知点分别是的中点，且（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，根据点是的中点得出，，进而得到，再根据为的中点，得到，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解此题的关键． 【详解】解：点是的中点， ，， ， ， 为的中点， ， 故选：C． 10. 如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A. 76° B. 84° C. 96° D. 109° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最短路线问题．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【详解】解：如图，延长至，使， 延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 11. 如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，数字规律的探求，正确得出各三角形边长的数字规律是解题的关键．根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质，可得出每个等边三角形的边长的规律，进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ， 同理可得，，，以此类推， 的边长为． 故选D． 12. 如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（ ） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，同理可得出，进而得出，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形，， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ， 同理可得出， ，故正确； 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若点和点关于x轴对称，则b的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得解． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， 解得：， 即b的值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形－轴对称，熟知：关于轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相同；是解本题的关键． 14. 如图，长方形纸带中，，将纸带沿折叠，A，D两点分别落在，处，若，则的大小是 ___________． 【答案】##56度 【解析】 【分析】根据可知，由折叠知，再由平角可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠知， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，折叠性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 15. 如图，平分，请你添加一个条件：______，使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可． 【详解】解： 平分， ， ∵为公共边， ∴添加，利用可以证明； 添加，利用可以证明； 添加，利用可以证明； 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：由画图可知： 是的垂直平分线， ，， 的周长为，即， ， 的周长为，即， ， 故答案为：． 17. 如图，已知点为射线上一动点，已知，若为等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．分三种情况：①时；②时；③时． 【详解】解：分三种情况： ①时， 则； ②时， 则， ∴； ③时， 则； 综上所述，若为等腰三角形，则的度数为或或． 故答案为：或或． 18. 如图，在四边形中，，，平分，若、分别是，边上的动点，当的值最小时，的度数为______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短．作点Q关于的对称点H，则，则，当C、H、P三点在同一直线上，且时，最短，再由平分，可得点H在边上，即可求解． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点H，则， ∴， ∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，最短， ∵平分， ∴点H在边上， ∴此时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 三、解答题（7小题，共78分） 19. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题： （1）画出△ABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1；直接写出A1、B1、C1的坐标； （2）如图，在直线上找一点M，使得AM+BM的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析，A1（1，-4），B1（4，-2），C1（3，-5）；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）作点A关于直线l的对称点N，连接BN交直线l于点M，连接AM，点M即为所求． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求， A1（1，-4），B1（4，-2），C1（3，-5）； （2）如图，点M即为所求． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 20. 如图，，点在边上，，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）40度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质． （1）由外角的性质可证，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． 【小问1详解】 ∵，且， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中， ，点在的延长线上，且 ，过点 作 ，与的垂线交于点． （1）求证：； （2）若求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确运用判定方法是正确解题的关键． （1）根据等角的余角相等，证明，再根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质即可得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， 理由：由（）证得，， ，， ， ． ， ． 22. 如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． （1）求的度数； （2）求证：为等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，由三线合一求出，进而可证为等边三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答本题的关键． 23. 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点，作于点，过点作于点． ∵是的角平分线， ∴   ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了角平分线性质定理，三角形面积等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）如图，过点作于点，作于点，过点作于点．根据角平分线性质得出 ，再根据面积公式得出，，即可证明； （2）根据，，，得出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ． 24. 如图，两个正方形与，连接，二者相交于点H． （1）请说明的位置和数量关系，并给予证明； （2）连接和，请问的面积和的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1） 解：，理由如下， ∵四边形与都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 解：， 作于P，交的延长线于N，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明得到，利用得到，即可推出； （2），作于P，交的延长线于N，证明，得到，再利用三角形的面积公式分别表示出的面积，的面积，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键． 25. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】（1） （2）点M、N运动4秒时，可得到等边； （3）当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【小问1详解】 解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合； 【小问2详解】 解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边． 【小问3详解】 解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为16秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $