精品解析：广东省茂名市信宜市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义可得结果 【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为， 故选:C. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 3. 数列…一个通项公式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知a1=1，可排除A、B、D，故选C. 4. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再由列举法求出“点数之和等于7”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于7”的概率． 【详解】基本事件总数，点数之和是7包括共6种情况， 则所求概率是． 故选：C. 5. 如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得，进而确定P坐标，代入椭圆并结合椭圆参数关系求. 【详解】是面积为的正三角形， ，解得. ，代入椭圆方程可得， 与联立，解得. 故选：B 6. 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】 , 故选：C. 7. 已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解. 【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D. 8. 已知正四面体，若平面内有一动点到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（ ） A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，进而可得出，设点到边、、的距离分别为、、，设等边的边长为，可得出以及，求出的值，即可得出结论. 【详解】设点到平面、平面、平面的距离依次为、、，如下图所示： 由题意可知，，则， 即，即， 所以，， 不妨设点到边、、的距离分别为、、， 设等边的边长为，则， 又因为，即， 所以，，① 由，可得，可得，② 联立①②可得， 所以，点的轨迹是一条与平行且与之间的距离为的线段. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据距离的关系推导出锥体体积的关系，进而转化为动点到各边距离之间的关系，求解即可. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，直线过原点，且点和点到直线的距离相等，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分析可知，或直线过线段的中点，即可得出直线的斜率. 【详解】因为，，所以，，故、、不共线， 因为直线过原点，且点和点到直线的距离相等， （1）直线，则直线的斜率为； （2）直线过线段的中点，则直线的斜率为. 故选：AC. 10. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 已知为数列的前项和，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 可能是常数列 C. 可能是递增数列 D. 可能是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为为数列的前项和，且， 对于A选项，取，则，则，A对； 对于B选项，取，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对； 对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，， 即，所以，对任意的恒成立， 但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错； 对于D选项，取，则，，， 猜想，， 当时，猜想成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 这说明当时，猜想也成立，故对任意的，， 此时，数列为单调递减数列，D对. 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 13. 过点作圆的切线，则直线的方程为__________.（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【解析】 【分析】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 14. 设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得，，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率. 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， 则 ， 即，，所以. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，20个灯谜中甲能猜对12个，乙能猜对8个，根据古典概型的知识可以分别求出“任选一道灯谜，甲猜对”和“任选一道灯谜，乙猜对”的概率，再根据互斥事件的并事件的概率公式求解； （2）“甲乙至少有一人猜对”的对立事件为“两人都没有猜对”，根据对立事件和相互独立事件的交事件的概率公式即可求解. 【小问1详解】 设事件A表示“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B表示“任选一道灯谜，乙猜对”， 由古典概型公式得，，所以，， “恰有1人猜对”=，且与互斥，因为两名同学独立竞猜，所以事件A和B相互独立，从而与，与，与相互独立， 于是. 【小问2详解】 事件“两人都没有猜对”表示为，记=“甲乙至少有一人猜对”， 所以， 显然事件与事件为对立事件，所以， 所以甲、乙至少有一人猜对的概率为. 16. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，M为中点，求直线OM斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义求出即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立消，利用韦达定理以及中点坐标公式求出M即可求解. 【小问1详解】 由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆定义知， ， 所以，所以， 所求椭圆标准方程为． 【小问2详解】 设直线与椭圆的交点为，， 联立方程，得， 得，． 设的中点坐标为，则，， 所以 ． 17. 已知是等差数列的前项和. （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为d，利用等差数列的定义证明； （2）设公差为，由，求得公差为，再利用等差数列的前n项和公式求解. 【小问1详解】 证明：设等差数列的公差为d， 则， ∴， ∴， 又∵，∴是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知为等差数列，设其公差为， 则 ，即，则， 又∵， ∴. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：过点在平面内作于点，连接，推导出平面，可知二面角的平面角为，计算出其余弦值，即可为所求； 解法二：以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）解法一：利用等体积法可求得点到平面的距离； 解法二：利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 取的中点为，连接、. 因为，为的中点，则， 而，，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故平面平面. 【小问2详解】 解法一：由（1）知平面平面， 因为，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 过点在平面内作于点，连接， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以，则为二面角的平面角， 因为，则， 所以， 所以， 所以二面角的平面角的余弦值为； 解法二：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，则，， 设平面的法向量， 则，取，则， 而平面的一个法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 【小问3详解】 解法一：设到平面的距离为， 因为，则，所以， 在中，由（2）得，则， 所以，因此点到平面的距离为. 解法二：由（2）知平面的一个法向量为，， 则点到平面距离为. 19. 曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点它们之间的曼哈顿距离 （1）已知点，求的值； （2）已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积： （3）已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值． 【答案】（1）5 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）设，分类讨论，去绝对值即可得到正方形，后求面积； （3）动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，根据公式得到体积，求m． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 设， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以动点围成的图形是正方形，边长为，面积为8． 【小问3详解】 动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形， 其体积为． 证明如下： 不妨将平移到，处，设， 若，则， 当时，即， 设， 由，得 所以四点共面， 所以当时，在边长为的等边三角形内部（含边界）， 同理可知等边三角形内部任意一点，均满足． 所以满足方程的点， 构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）、 由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形． 故该几何体体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 数列…的一个通项公式是 A. B. C. D. 4. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知正四面体，若平面内有一动点到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（ ） A 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，直线过原点，且点和点到直线的距离相等，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 10 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 11. 已知为数列的前项和，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 可能是常数列 C. 可能是递增数列 D. 可能是递减数列 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 13. 过点作圆的切线，则直线的方程为__________.（写出一条方程即可） 14. 设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对概率. 16. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，M中点，求直线OM斜率． 17. 已知是等差数列的前项和. （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点它们之间的曼哈顿距离 （1）已知点，求的值； （2）已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积： （3）已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $