精品解析：辽宁省大连市2025届高三上学期双基测试数学试卷

2025年大连市高三双基测试 数 学 命题人：王爽 陈威 郭伟 邵玉森 校对人：王爽 注意事项： 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，得到，利用交集概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：C 2. 复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据复数几何意义求解. 【详解】，故对应的点为， 故选：A 3. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得. 【详解】由题，可得展开式的通项为， ，则，解得. 故选：B. 4. 已知向量，，满足，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果 【详解】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】事件包含的基本事件有事件包含的基本事件有， 故概率为， 故选：B 6. 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，结合导数的几何意义求两曲线的切线方程，再根据直线的倾斜角和斜率的关系列方程求. 【详解】设，， 函数的导函数为 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 函数的导函数为， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，倾斜角为， 因为曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为， 所以的斜率为， 所以， 所以， 故选：C. 7. 当时，曲线与曲线的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，变形得到，从而得到方程，求出或，分和两种情况，求出答案. 【详解】，中， ， 令，即， 故或， 若，则，解得， 当时，， 当时，，不合要求， 当时，，其他值，均不合要求， 若，则，解得， 若当时，，当时，， 其他值，均不合要求， 综上，曲线与曲线的交点个数为2. 故选：A 8. 已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形得到，设，则在R上单调递增，分段函数在R上单调递增，需满足每段函数在定义域上单调递增，且分段处，左端点函数值小于等于右端点函数值，从而得到实数a的取值范围. 【详解】， 设，则， 因为，所以在R上单调递增， 其中， 需满足在上单调递增，在上单调递增， 且， 由得， 根据在上单调递增，得到，故， 所以， 当，即时，在上单调递增， 当，即时，在上单调递增， 当，即时，由对勾函数性质得， 在上单调递增，故需满足，解得， 所以， 综上，实数a的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，从该校所有参赛学生中随机抽取50名，得到他们的竞赛成绩得分数据如下表： 成绩 频数 3 6 9 15 12 5 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 50名学生成绩的中位数大于85 B. 50名学生中成绩高于80的学生所占比例超过90% C. 50名学生成绩的极差为30 D. 50名学生成绩的平均值介于84至90之间 【答案】AD 【解析】 【分析】根据极差，平均值，中位数等定义计算判断各个选项即可. 【详解】对于A：小于等于85的人数为18人，所以中位数大于85，故A正确； 对于B：高于80的人数为41人，占比为不超过90%，故B错误； 对于C：因为最小取不到70，所以极差小于，故C错误； 对于D：50名学生成绩的平均值为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则成等差数列 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,B,求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由推理得到，又由函数极值点定义，由得到代入化简即得. 【详解】对于A，当时，，， 由，可得或，由，可得， 故函数在和上单调递增；在上单调递减. 则函数在处取得极大值，在处取得极小值， 若有三个零点，则，解得，故A正确； 对于B，当且时，， 所以，由A函数在上单调递减，故，故B正确； 对于C，因为 则，解得，所以， 若成等差数列，则， 因为不一定成立，所以不一定成等差数列，故C错误； 对于D，由求导得，， 依题意，，可得① 由，可得， 由于，化简得②， 将 ① 代入②式，可化简得：， 即，因，故得，即D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于选项D，由以及得，联立可解. 11. 如图，在三棱台的平面展开图中，和为边长为的等边三角形，，分别为、的中点，，，则在三棱台中，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 三棱台的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取的中点，取的中点，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明，判断A，利用线面垂直判定定理证明平面，根据面面垂直判定定理证明平面平面，判断B，先证明为与平面所成的角，解三角形求其余弦判断C，结合等体积法求点到平面的距离，再结合台体体积公式求三棱台的体积，判断D. 【详解】延长，由棱台性质可得三直线交于一点，记交点为， 由已知，，，， 因为，，，， 所以四边形为直角梯形， 所以， 取的中点，取的中点，延长，由梯形的性质可得过点， 所以四点共面， 因为，为的中点，所以， 因为，，，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，同理可得， 所以，因为点为的中点， 所以，又，故， 因为平面，， 所以平面，平面， 所以，A正确； 由已知，，所以， 又，所以，同理可得， 又，，故， 所以， 因为，，， 所以，所以， 平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，B正确； 因为平面，平面， 所以平面平面，平面， 平面平面， 所以在平面上的投影为， 所以为与平面所成的角， 因为，， 所以，所以，又为的中点， 所以，又，， 所以，故， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为，C错误； 因为，，所以的面积为， 因为平面，， 所以三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为， 又的面积为， 所以三棱锥的体积为， 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以，所以， 所以三棱台的高为， 因为，所以， 所以的面积为， 由台体体积公式可得三棱台的体积，D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 记为等比数列的前n项和，若，，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求，然后结合等比数列的求和公式即可直接求解 【详解】根据题意，设该等比数列的公比为q， 因为，所以， 所以， 所以． 故答案为：7 13. 如图，设抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，已知与的面积比为1：3，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面积之比求得，设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得，进而求得，再根据焦半径公式即可求得结果. 【详解】由，可得，所以①，且， 又可设直线的方程为：，与抛物线联立消去得：， 所以，②， 结合①②可得，从而. 故答案为： 14. “曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国数学家赫尔曼•闵可夫斯基首先提出来的名词.在平面直角坐标系中，若，，则两点的“曼哈顿距离”为.已知函数，（），记的最大值为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式整理为，利用曼哈顿距离的定义和几何意义，结合图形求的最小值可得. 【详解】设动点满足方程， 当时，方程可化为； 当时，方程可化为； 再结合方程表示的曲线关于中心对称，分别作出各段对应的方程所表示图形， 如图1所示. 故满足的点的轨迹， 即以为中心,对角线长为2d的正方形, 从图形可以看出两点的“曼哈顿距离”的几何意义： 即以为中心，对角线长为2d的正方形对角线的一半，即. 由， 可令,， 因为， 所以点的轨迹为抛物线段,， 故由题意可知，的几何意义： 即以任意点为中心，与抛物线有公共点的正方形对角线的一半. 如图2，要使的最大值最小， 则随着点变化，对应的正方形不仅要框住整个抛物线段，且不能浪费空间， 即曲线端点在正方形边上，且曲线与正方形相切时，取最小值. 如图3，将直线往上平移直至与抛物线相切， 此时设直线方程为，与轴交于点， 则联立抛物线方程，消得， 则，解得，则， 又抛物线段一端点，将直线往下平移直至过点时， 得到， 故此时直线与轴交于点， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：两点间“曼哈顿距离”的几何意义即为对应正方形对角线的一半. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，点D在BC上，且. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理得出平面PAB，再得出线线垂直 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，所以，因为，，所以， 又因为平面平面ABC，平面平面，平面PAD，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以 【小问2详解】 在平面PAB内，过点A作AB的垂线交PB于E，则， 以点A为坐标原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 不妨设，则，， 则，，，，， 设平面PAD的法向量， 则，即，令，可取， 设平面PDC的法向量为， 则，即，令，可得， 所以， 由图可知二面角的平面角为钝角， 因此二面角的余弦值为 16. 对于椭圆：（），我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆C：（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍. （1）求椭圆C伴随双曲线的方程； （2）点F为的上焦点，过F的直线l与上支交于A，B两点，设的面积为S，（其中O为坐标原点）.若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆以及双曲线的离心率之间的关系列式，求出b，即得答案； （2）设直线l的方程，并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合化简可得，继而化简的表达式，即可得答案. 【小问1详解】 设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为，， 依题意可得，，即， 即，解得， 所以椭圆C：，则椭圆C伴随双曲线的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，直线l的斜率存在，故设直线l的斜率为k，，，则直线l的方程， 与双曲线联立并消去y，得， 则，，，， 需满足，则， 又， 则，解得； 又， 所以 ， 所以. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求证：A，B，C成等差数列； （2）若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长. 【答案】（1）证明：由及正弦定理得， 整理得，由余弦定理得， 因为，所以， 又，所以，则， 所以A，B，C成等差数列． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得答案； （2）结合（1）可得，在和中分别用正弦定理推出，再利用等面积法，即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：及，， 得，即，解得， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由得， 所以，即，所以， 设的面积为， 则， 即，又，解得， 所以BD的长为. 18. 已知函数，. （1）证明：； （2）当时，令，求的最大值（用含a的式子表示）； （3）设，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数和，利用导数求解函数的单调性，即可根据最值求解， （2）求导，根据函数的单调性即可求解， （3）对所证不等式两边同时取对数，即证，根据对数的运算性质将问题转化为，结合，取即可求解. 【小问1详解】 欲证只需证， 令，则， 令，解得；令，解得， 即在上单调递增，在上单调递减，则. 令（），则， 令，解得；令，解得， 即在上单调递减，在上单调递增，则. 又，则，原不等式得证. 【小问2详解】 ，， 令，解得， 因为，所以，又， 当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 ↗ 极大值 ↘ 则函数单调递增区间是，单调递减区间是， 即的最大值为. 【小问3详解】 设，（），， 令，解得.又，当a变化时，，的变化情况如下表： a 1 0 ↘ 极小值 ↗ 而，则， 当时，要证， 两边同时取对数，即证， 即证 两边同时乘以，即证 而 又， 令，（，2…，），，代入上式， 得，且只有在时等号成立，所以有 原不等式得证. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 19. 在各项均为正数的递增数列中，（），则称数列，，为的一个商q子列. （1）写出数列1，2，3，4，5，6的所有商子列； （2）已知在数列中，若对于任意的，其中，数列，，为的商q子列，证明：当时，对于任意正整数i，j，k（），都有； （3）已知在数列中，，，且对于任意的，其中，数列，，为的商2子列.若从数列中一次任取三项，，（）记数列，，是的商2子列的概率为，证明：. 【答案】（1）1，3，4；2，4，5；3，5，6. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据商q子列的定义，可写出数列1，2，3，4，5，6的所有商子列； （2）根据数列，，为的商q子列，结合商q子列的定义，先利用放缩法证明，，再由数列的增减性可得结论； （3）先利用迭代法求得，可得数列的商2子列共有个，而数列，，（）的个数为，求得，再利用放缩法可得结论. 【小问1详解】 因为，，， 所以数列1，2，3，4，5，6的所有商子列为1，3，4；2，4，5；3，5，6. 【小问2详解】 由题意知，，从而，， 因为，所以 ， ， 因为，所以. 【小问3详解】 由题意知，，得， 所以. 又因为，故，. 设数列，，（）是数列的商2子列，则， 即，整理得，又， 所以为偶数，进而为奇数，所以，进而，， 故数列的商2子列只有数列，，（）. 综上，数列的商2子列共有个， 而数列，，（）的个数为， 所以. 因为，，所以，即. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年大连市高三双基测试 数 学 命题人：王爽 陈威 郭伟 邵玉森 校对人：王爽 注意事项： 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 已知向量，，满足，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 当时，曲线与曲线的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，从该校所有参赛学生中随机抽取50名，得到他们的竞赛成绩得分数据如下表： 成绩 频数 3 6 9 15 12 5 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 50名学生成绩的中位数大于85 B. 50名学生中成绩高于80的学生所占比例超过90% C. 50名学生成绩的极差为30 D. 50名学生成绩的平均值介于84至90之间 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则成等差数列 D. 若存在极值点，且，其中，则 11. 如图，在三棱台的平面展开图中，和为边长为的等边三角形，，分别为、的中点，，，则在三棱台中，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 三棱台的体积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 记为等比数列的前n项和，若，，则__________. 13. 如图，设抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，已知与的面积比为1：3，则__________. 14. “曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国数学家赫尔曼•闵可夫斯基首先提出来的名词.在平面直角坐标系中，若，，则两点的“曼哈顿距离”为.已知函数，（），记的最大值为，则的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，点D在BC上，且. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 16. 对于椭圆：（），我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆C：（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍. （1）求椭圆C伴随双曲线的方程； （2）点F为的上焦点，过F的直线l与上支交于A，B两点，设的面积为S，（其中O为坐标原点）.若，求的值. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求证：A，B，C成等差数列； （2）若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长. 18. 已知函数，. （1）证明：； （2）当时，令，求的最大值（用含a的式子表示）； （3）设，且，求证：. 19. 在各项均为正数的递增数列中，（），则称数列，，为的一个商q子列. （1）写出数列1，2，3，4，5，6的所有商子列； （2）已知在数列中，若对于任意的，其中，数列，，为的商q子列，证明：当时，对于任意正整数i，j，k（），都有； （3）已知在数列中，，，且对于任意的，其中，数列，，为的商2子列.若从数列中一次任取三项，，（）记数列，，是的商2子列的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $