精品解析：辽宁省县域重点高中协作体2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

高三数学考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平行四边形中，若，则（ ） A. 为的中点 B. 为的中点 C. 为的中点 D. 为的中点 2. 复数的虚部是实部的（ ） A. B. 倍 C. D. 2倍 3. 若为幂函数，且函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（ ） 32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08 71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30 A. 098 B. 147 C. 513 D. 310 6. 若矩形的周长为4，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 9 D. 4.5 7. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（ ）（参考数据：） A. 1.921 B. 1.301 C. 1.875 D. 1.079 8. 在正三棱台中，，，则该正三棱台的外接圆台（即正三棱台的每一个点都在该圆台的底面圆周上）的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若 ，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 10. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若方程在上有2个不同的实数解，则的取值范围为 11. 定义：曲线的方程为（是常数）．若点在曲线上，是坐标原点，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当 时，的最小值为 C. 当时，的最大值为 D. 当 时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将7张相同的电影票分给10个人，每人最多分到1张，则不同的分法种数为______． 13. 定义：对给定的数列、数列和正整数，当取最小值时，对应的，则称为对的前项正比例近似系数．已知，，则数列的前项和______，数列对的前2项正比例近似系数为______． 14. 已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，点，则当的面积取得最大值时，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，的对边分别为 ，且，，． （1）求； （2）若为边上一点，且，求的长． 16. 在四棱锥中，底面为矩形，且． （1）证明：平面底面． （2）若，，，，求直线与平面 所成角的正弦值． 17. 山海关，位于河北省秦皇岛市，素有“两京锁钥无双地，万里长城第一关”之称.野三坡，位于河北省保定市涞水县，享有“世外桃源”之称.已知某地居民中青少年､中年人､老年人的人数比例为，且他们寒假去山海关､野三坡旅游的概率如下表所示： 青少年 中年人 老年人 只去山海关旅游 0.2 0.2 0.1 只去野三坡旅游 0.1 0.3 0.3 既去山海关旅游，又去野三坡旅游 0.1 0.1 0.3 （1）若从该地居民（仅指青少年､中年人､老年人）中任选一人，求此人寒假去山海关旅游的概率； （2）若甲､乙､丙分别是该地居民中的一位青年人､中年人､老年人，假设该地居民选择寒假旅游地相互独立，记这3人中寒假去野三坡旅游的人数为，求的分布列与数学期望. 18. 已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线， 的斜率分别为，证明：为定值． 19. 定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”. （1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”. （2）判断函数 是否为“等差函数”，并说明理由. （3）判断函数 是否为“等比函数”，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平行四边形中，若，则（ ） A. 为的中点 B. 为的中点 C. 为的中点 D. 为 的中点 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以为的中点． 故选：B 2. 复数的虚部是实部的（ ） A. B. 倍 C. D. 2倍 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】解：因为，且， 所以的虚部是实部的2倍． 故选：D 3. 若为幂函数，且函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数的定义列出等式求得，再结合对称性判断即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或 ． 当 时，，，显然不符合题意． 当时，，的图象关于直线对称，所以． 故选：D 4. 已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 5. 某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（ ） 32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08 71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30 A. 098 B. 147 C. 513 D. 310 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机数表的读法读出前5个符合的编号即可得解. 【详解】由题意可知得到的编号依次为231，023，147，098，513，…，则得到的第5个编号是513. 故选：C. 6. 若矩形的周长为4，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 9 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最值可得. 【详解】由矩形的周长为4，得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：D. 7. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（ ）（参考数据：） A. 1.921 B. 1.301 C. 1.875 D. 1.079 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义及对数运算法则直接计算即可. 【详解】由题意可得 . 故选：A. 8. 在正三棱台中，，，则该正三棱台的外接圆台（即正三棱台的每一个点都在该圆台的底面圆周上）的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出棱台的外接圆台，如图，利用正弦定理求出上下底面的直径，进而求出上下底面圆的面积，过作，求出圆台的高，即可利用公式直接求圆台的体积. 【详解】如图，圆台的两个底面分别为和的外接圆， 且是圆台的其中一条母线． 由正弦定理可得上底面直径， 下底面直径， 则上底面积，下底面积． 过作，垂足为， 则， 圆台的高． 故圆台的体积． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若 ，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】由 ，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为 ，所以或，解得或或 或 ． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时 ，则符合题意． 当 时，，，此时，则 符合题意． 当 时，，，此时，则 不符合题意． 故选：AB 10. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若方程在上有2个不同的实数解，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知函数化简得，根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】因为， 的值域为，故A正确． 由，得，所以在上先增后减，故B错误． 因为，所以的图象关于点对称，故C正确． 由，得， 由，得， 由正弦函数的图象可得，解得，故D正确． 故选：ABD. 11. 定义：曲线的方程为（是常数）．若点在曲线上，是坐标原点，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当 时，的最小值为 C. 当时，的最大值为 D. 当 时，的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项BD.由 时，方程化简得到或，再利用点与圆上的点的距离判断； 选项AC.由时，方程转化为即和得到判断. 【详解】当 时，，即，即或， 所以0曲线表示两个圆，圆心为和，半径都为1，，且，则的最大值为，最小值为 ，B，D均正确． 当时，，即，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值是1，A错误． ，则，解得，所以，则，，C错误． 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将7张相同的电影票分给10个人，每人最多分到1张，则不同的分法种数为______． 【答案】120 【解析】 【分析】从10个人中选出7人得到电影票即可. 【详解】解：依题意可得不同的分法种数为． 故答案为：120 13. 定义：对给定的数列、数列和正整数，当取最小值时，对应的，则称为对的前项正比例近似系数．已知，，则数列的前项和______，数列对的前2项正比例近似系数为______． 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】由，根据等比数列前项和的公式即可得解；当时，化简即可得解. 【详解】因为，所以． 当时，， 当 时，取得最小值0，所以数列对的前2项正比例近似系数为9． 故答案为：；9. 14. 已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，点，则当的面积取得最大值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由焦点坐标求得，再结合弦长公式及三角形面积公式得到，构造，求导即可求解. 【详解】由抛物线的焦点为，得，抛物线． 由消去得．因为，所以． 设，，则，． 设直线与轴交于点，则的面积 ． 设函数，则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即的面积取得最大值． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，的对边分别为 ，且，，． （1）求； （2）若为边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理求得，再利用平方关系和商数关系求解； （2）先利用余弦定理求得边c，再利用求解； 【小问1详解】 解：由正弦定理， 得， 所以， 因为 ，所以，则， 所以，． 【小问2详解】 由余弦定理，得， 则，即， 解得（负根已舍去）， 所以， 所以． 16. 在四棱锥中，底面为矩形，且． （1）证明：平面底面． （2）若，，，，求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，证得 平面，再由面面垂直的判定定理证得平面底面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出和平面 的一个法向量的坐标，由坐标运算求出，则得到正弦值． 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 又，，平面，所以 平面． 因为 底面，所以平面底面． 【小问2详解】 由（1）得，，又， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则，，， ， 则，， 设，因为，则， 解得，所以，则． 设平面 的一个法向量为，则由， 得，令，得． 因为， 所以直线与平面 所成角的正弦值为． 17. 山海关，位于河北省秦皇岛市，素有“两京锁钥无双地，万里长城第一关”之称.野三坡，位于河北省保定市涞水县，享有“世外桃源”之称.已知某地居民中青少年､中年人､老年人的人数比例为，且他们寒假去山海关､野三坡旅游的概率如下表所示： 青少年 中年人 老年人 只去山海关旅游 0.2 0.2 0.1 只去野三坡旅游 0.1 0.3 0.3 既去山海关旅游，又去野三坡旅游 0.1 0.1 0.3 （1）若从该地居民（仅指青少年､中年人､老年人）中任选一人，求此人寒假去山海关旅游的概率； （2）若甲､乙､丙分别是该地居民中的一位青年人､中年人､老年人，假设该地居民选择寒假旅游地相互独立，记这3人中寒假去野三坡旅游的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）0.32； （2）分布列见解析，数学期望为1.2. 【解析】 【分析】（1）由表中数据求出青少年､中年人､老年人去山海关旅游的概率，再利用全概率公式计算即得. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【小问1详解】 由表中数据知，青少年寒假去山海关旅游的概率为， 中年人寒假去山海关旅游的概率为，老年人寒假去山海关旅游的概率为， 由全概率公式得任选一人，此人寒假去山海关旅游的概率为. 【小问2详解】 由表中数据知，青少年､中年人､老年人寒假去野三坡旅游的概率分别为0.2，0.4，0.6， 的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.192 0.464 0.296 0.048 数学期望. 18. 已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线， 的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，，则 ，，即可求得椭圆的标准方程，再求出，可求得离心率； （2）设直线的方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，由利用韦达定理得，得，化简可得，可得为定值. 【小问1详解】 因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点， 当时，，当时， ，则，， 所以 ，， 所以椭圆的标准方程为． 因为，所以椭圆的离心率为． 【小问2详解】 由（1）知直线的斜率为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去得，则． 因为，，所以， 因为， 且，所以， 所以，即为定值． 19. 定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”. （1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”. （2）判断函数 是否为“等差函数”，并说明理由. （3）判断函数 是否为“等比函数”，并说明理由. 【答案】（1） 令. 设，，是曲线上三个不同的点. 直线的斜率 ， 因为 ，所以曲线在点处的切线斜率 ， 直线与曲线在点处的切线平行，则，即 ，则，故是“等差函数”. （2） 假设函数 为“等差函数”. 因为，且，，成等差数列，所以. 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得，令 ，即 . 令，则 . 令，则 ，故在上单调递增， ，即 ，则在上单调递增， . 故当时， ，即 无解， 故函数 不是“等差函数”. （3） 假设函数 为“等比函数”. 因为，且，，成等比数列，设公比为，所以 ，， 直线的斜率 因为 ，所以曲线在点处的切线斜率 ， 直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得 . 令，则 ， 所以在上单调递增，所以 ， 所以 在 时无实数解，所以函数 不是“等比函数”. 【解析】 【分析】（1）令，利用等差函数的定义计算可判断结论； （2）假设函数 为“等差函数”，可得，，，进而利用换元法判断方程无解即可得结论； （3）假设函数 为“等比函数”， 设公比为，所以 ，，求得， ，进而构造函数判断方程 无解即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二，三问的关键是根据斜率关系式得到方程，再利用方程的结构特点选择恰当的方法判断方程无解即可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $