第2章 方程(组)与不等式(组)（练册）-【探究在线】2026年中考数学总复习讲练册

第二章 方程（组）与不等式（组） 第1节一次方程与一次方程组 ①基础训练 中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费 28元，则共有几种购买方案 ( 1.(2023·海南)若代数式x+2的值为7，则 A.5 B.4 C.3 D.2 x等于 () 6.(2024·扬州)《九章算术》是中 A.9 B.-9 C.5 D.-5 2.(2023·永州)关于x的一元一次方程2x+ 国古代的数学专著，是《算经十 书》中最重要的一部，书中第八 术 m=5的解为x=1,则m的值为( 章内容“方程”里记载了一个有 A.3 B.-3C.7 D.-7 3.(2023·甘孜)有大小两种盛酒的桶，已知 趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分 5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音 钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现 h心，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上 在速度慢的人先走100米，速度快的人去追 5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分 他.问速度快的人追上他需要 分钟 别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小 2.x-y=5, 7.(2024·浙江)解方程组： 桶可以盛酒y斛，则可列方程组为 ( 4x+3y=-10. 5x+y=3, 5.x+y=3, A. B. x+5y=2 x+y=2 C./r+5y=3, 5x+5y=3, D. 5.x+y=2 1x+5y=2 4.(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在 甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■” “。”“。”三种物体，如图所示，天平都保持平 衡.若设“■”与“。”的质量分别为x,y,则下 8.(2024·北京)为防治污染，保护和改善生态 列关系式正确的是 环境，自2023年7月1日起，我国全面实施 里鱼 ●4▲ ■● 汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标 准”).对某型号汽车，“标准”要求A类物质 A.x=y B.x=2y 排放量不超过35mg/km,A,B两类物质排 C.x=4y D.x=5y 放量之和不超过50mg/km.已知该型号某 5.(2024·龙东)国家“双减”政策实施后，某班 汽车的A,B两类物质排放量之和原为 开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班 92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的 级决定为在活动中表现突出的同学购买笔 A类物质排放量降低了50%，B类物质排 记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其 放量降低了75%，A,B两类物质排放量之 141I探究在线|中考总复习数学 和为40mgkm.判断这次技术改进后该汽 甲型客车 乙型客车 车的A类物质排放量是否符合“标准”，并 栽客量（人辆） 45 60 说明理由. 租金（元辆） 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多 少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种客车，要使每位师生都 有座位，应该怎样租用才划算？ ②能力提升 9.(2022·武汉)幻方是古老的数学问题，我国 古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九 宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每 一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个 数之和相等，例如图①就是一个幻方.图②是 一个未完成的幻方，则x与y的和是() 492 620 回归教材 3 57 816 13.(北师大八上P115例题原题)(2024·威海) 图D 图② 《九章算术》是我国古老的数学经典著作， A.9 B.10 C.11 D.12 书中提到这样一道题目：以绳测井，若将绳 10.(2023·泸州)关于x,y的二元一次方程 三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳 2.x+3y=3+a, 组 的解满足x+y>22, 多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是： x+2y=6 用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成 写出a的一个整数值： 三等份，一份绳长比井深多4尺：如果将绳 11.(2023·怀化)定义新运算：(a,b)·(c,d) 子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳 =ac+bd,其中a,b,c,d为实数.例如：(1， 长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深 2)·(3,4)=1×3+2×4=11.如果(2x, () 3)·(3,-1)=3,那么x= y尺，则符合题意的方程组是 12.(2023·张家界)为拓宽学生视野，某中学 3x-y=4, 3x十4=y A. B 组织八年级师生开展研学活动，原计划租 4x-y=1 4x+1=y 用45座客车若干辆，但有15人没有座位： -y=4, 3 +4= 3 若租用同样数量的60座客车，则多出三辆 C D. 车，且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种 4 -y=1 +1=y 4 客车，它们的载客量和租金如下表所示： 课后跟踪训练丨教材课时练|142 第2节一元二次方程 ①基础训练 6.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程 1.(2024·贵州)一元二次方程x2一2.x=0的 x+2x十p=0两根为，，且1+1 解是 ( 3,则p的值为 () A.x1=3,x2=1 B.1=2,x2=0 C.-6 D.6 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 A- 号 2.(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数 7.解下列方程： 根的是 ( (1)(2024·安徽)x2一2x=3: A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2 3.(2024·龙东)关于x的一元二次方程(m 2)x2十4x十2=0有两个实数根，则m的取 值范围是 (2)(2023·无锡)2x2+x-2=0. A.m≤4 B.m>≥4 C.m≥一4且m≠2D.m≤4且m≠2 4.(2023·阜新)近年来，由于新能源汽车的崛 起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下 滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃 油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售 价为16万元.设该款汽车这两个月售价的月 8.(2023·南充)已知关于x的一元二次方程 均下降率是x,则所列方程正确的是() x2-(2m-1)x-3m2+m=0. A.16(1十x)2=23 B.23(1-x)2=16 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根： C.23-23(1-x)2=16D.23(1-2.x)2=16 (2)若x,x2是方程的两个实数根，且+ 5.(2023·襄阳)我国南宋数学家杨辉在1275年 提出了一个问题：“直田积八百六十四步， = 乞，求m的值 只云阔不及长一十二步.问阔及长各几 步，”意思是：长方形的面积是864平方步， 宽比长少12步，问宽和长各是几步.设宽为 x步，根据题意列方程正确的是 A.2.x+2(.x+12)=864 B.x2+(x+12)2=864 C.x(.x-12)=864 D.x(x+12)=864 143|探究在线|中考总复习数学 2能力提升 弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个 小正方形组成.如图，直角三角形的直角 9.(2024·凉山)若关于x的一元二次方程 (a十2)x2+x十a-4=0的一个根是x=0, 边长为a,b,斜边长为c,若b-a=4,c= 则a的值为 ( 20,则每个直角三角形的面积为 A.2 B.-2 C.2或-2 D. 回归教材…… 10.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在 15.(人教九上P23“数学活动”变式)(2024· 解一道一元二次方程时，小影在化简过程 凉山)阅读下面材料，并解决相关问题： 中写错了常数项，因而得到方程的两个根 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数 是6和1；小冬在化简过程中写错了一次 多行，其中第一行有1个点，第二行有2个 项的系数，因而得到方程的两个根是一2 点…第n行有n个点… 和一5，则原来的方程是 ( A.x2+6.x+5=0B.x2-7x+10=0 C.x2-5.x+2=0D.x2-6.x-10=0 11.(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和 时，误算成a与2的积，求得的答案比正确 为10. 答案小1，则a= ( ) (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 A.1 B.w2-1 ,前15行的点数之和为 ,那 C.2+1 D.1或2+1 么，前1行的点数之和为 ； 12.(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段 (用含n的代数式表示) 10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m2,在鸭 (填“能”或“不能”)为500： 舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其 (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆 他材料制成)，则BC长为 ( 景，其中一种造型要用420盆同样规格的 花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排 6盆…第n排21盆的规律摆放而成，则 一共能摆放多少排？ A.5m或6m B.2.5m或3m C.5 m D.3 m 13.(2024·凉山)已知y2-x=0,x2-3y2十x 一3=0，则x的值为 14.(2023·扬州)我国汉代 张c 数学家赵爽证明勾股定 Hb 理时创制了一幅“勾股圆 方图”，后人称之为“赵爽 课后跟踪训练丨教材课时练|144 第3节 分式方程 ①基础训练 (2)(2024·陕西) 2 七(2023·株洲)将关于x的分式方程名 一去分母，可得 1 A.3.x-3=2x B.3x-1=2x C.3.x-1=x D.3x-3=x 2.(2024·广元)我市把提升城市园林绿化水 平作为推进城市更新行动的有效抓手，从 6.(2024·威海)某公司为节能环保，安装了一 2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方 批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时. 式在全域打造多个小而美的“口袋公园” 后购进一批相同数量的B型节能灯，一年 现需要购买A,B两种绿植，已知A种绿植 用电9600千瓦·时.一盏A型节能灯每年 单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购 的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的 2倍少32千瓦·时.求一盏A型节能灯每年 买的A种绿植比用3000元购买的B种绿 的用电量. 植少50株.设B种绿植单价是x元，则可 列方程为 () A.6750-50=3000 B300 -50=6750 3.x 3.x C6750 50=3000 D.3000 3.x 50=6750 3(2024·北京)方程2十3+=0的解为 4.（223·永州诺关于x的分式方程， =1(n为常数)有增根，则增根是 5.解下列方程： ②能力提升 0(2024·福建)泽2十1=产 r-2 7.(2024·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程 。升=0的解是负数，那么实数m的 1_m 取值范围是 () A.m<1且m≠0B.m<1 C.m>1 D.m<1且m≠-1 145|探究在线|中考总复习数学 8.(2024·绥化)一艘货轮在静水中的航速为 获得70万元的补贴后，还需投入多少资金 40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km 更新生产线的设备？ 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km 所用时间相等，则江水的流速为 A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h 9.(2024·龙东)已知关于x的分式方程 x-3 -2=3无解，则k的值为 A.2或-1 B.-2 C.2或1 D.-1 10.(2024·广元)若点Q(r,)满足+ 马则称点Q为美好点”，写出一个“美好 点”的坐标： 1.(2024·丝丹江)若分式方程号=3- 创新考法 的解为正整数，则整数m的值为 13.(2023·娄底)若干个同学 12.(2024·重庆A)为促进新质生产力的发 参加课后社团 舞蹈活 展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙 动，一次排练中，先到的n个 两类共30条生产线的设备进行更新换代. 同学均匀排成一个以O点 (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新， 为圆心，”为半径的圆圈（每个同学对应圆 某市出台了相应的补贴政策.根据相关政 周上一个点)，又来了两个同学，先到的同 策，更新1条甲类生产线的设备可获得 学都沿各自所在半径往后移a米，再左右 3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备 调整位置，使这（十2）个同学之间的距离 可获得2万元的补贴.这样更新完这30条 与原来n个同学之间的距离（即在圆周上 生产线的设备，该企业可获得70万元的补 两人之间的圆弧的长)相等.这(n十2)个 贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队 (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设 伍，重复前面的操作，则每人需往后移 备比购买更新1条乙类生产线的设备需多 米（请用关于a的代数式表示）， 投入5万元，用200万元购买更新甲类生 才能使得这(n十3)个同学之间的距离与 产线的设备数量和用180万元购买更新乙 原来n个同学之间的距离相等. 类生产线的设备数量相同，那么该企业在 课后跟踪训练丨教材课时练丨146 第4节 一元一次不等式（组）及其应用 1基础训练 2x+1≤3，① 6.(2024·天津)解不等式组 3.x-1≥x-7.② 1.(2024·湖北)不等式x十1≥2的解集在数 请结合题意填空，完成本题的解答。 轴上表示为 (1)解不等式①，得 A.1012 B. -101 (2)解不等式②，得 C.0 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示 2.(2024·河北)下列数中，能使不等式5.x一1 出来： <6成立的x的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 432012 3.(2024·长春)不等关系在生活中广泛存在. (4)原不等式组的解集为 如图，a,b分别表示两位同学的身高，c表示 7.(2024·长沙)刺绣是我国民间传统手工艺 台阶的高度.图中两人的对话体现的数学 湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外.在 原理是 ( 巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游 公司计划购买A,B两种奥运主题的湘绣作 称处是比我品 我比高 品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作 品与2件B种湘绣作品共需要700元，购 买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品 共需要1200元， A.若a>b,则a十c>b十c (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单 B.若a>b,b>c,则a>c 价分别为多少元： C.若a>b,c>0,则ac>b (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作 D,若a>b,c>0,则>b 品和B种湘绣作品共200件，总费用不超 过50000元，那么最多能购买A种湘绣作 4.(2024·河南)下列不等式中，与一x>1组 品多少件？ 成的不等式组无解的是 ( A.x>2 B.x<0 C.x<-2 D.x>-3 5.(2024·包头)若2m一1，m,4一m这三个实 数在数轴上所对应的点从左到右依次排 列，则m的取值范围是 A.m<2 B.m<1 C.1<m<2 D1<m<号 147|探究在线|中考总复习数学 2能力提升 和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头 8.(2024·南充)若关于x的不等式组 菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每 箱售价定为180元，全部销售后，获利不少 2.x-1<5, 的解集为x<3,则m的取值范 于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱， x<m十1 围是 该商店有哪几种进货方案？ A.m>2 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2 9.(2024·呼伦贝尔)对于实数a,b定义运算 “※”为a※b=a+3b,例如5※2=5+3×2 =11,则关于x的不等式x※m<2有且只 有一个正整数解时，m的取值范围是 10.(2024·重庆A)若关于x的不等式组 4x-1<x+1, 3 至少有2个整数解，且 2(x十1)≥-x+a 关于y的分式方程号二2-3，的解为 y-1 非负整数，则所有满足条件的整数a的值 之和为 11.(2024·牡丹江节选)牡丹江某县市作为猴 创新考法 头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国 12.(2024·枣庄)根据以下对话： 总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九 1班所有人的身高 2肝所有人的导高 均不短过180心m. 均切过140m. 珍十八品”名录将猴头菇列为首位.某商 我发.(1陈同学的 ，我发理，1)1 量高身高与2同学的 斯同学的最低身肩子 店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两 (1)既班长 最席身高之和为350em, 2证问学的成低财科 班张长 2相为290rm 种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头 给出下列三个结论： 菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱，干 ①(1)班同学的最高身高为180cm: 品猴头菇5箱需910元.请解答下列问题： ②(1)班同学的最低身高小于150cm: (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每 ③(2)班同学的最高身高大于或等于170cm. 箱的进价各是多少元？ 所有正确结论的序号是 () (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇 A.①②B.①③C.②③ D.①②③ 课后跟踪训练丨教材课时练丨148租用13辆45座客车. (2)租45座客车：600÷4514（辆），所以需租14辆， 3rty-2r.ry(ry) 租金为200×14=2800（元）： (t-y)(x+y) 2 租60座客车：600÷60=10（辆），所以需租10辆，租金 r十y =r-y)(+ .卫-号 2 为300×10=3000（元）. 2800<3000, 当x=5+1,y=3时， 原式-图(+1)_3+5 .租用14辆45座客车更划算. 13.C 2 2 第2节一元二次方程 12.B15号-25（答案不唯-）1.216.375 1.B2.B3.D4.B5.D6.A 16.5050 7.(1)x2-2x=3, 17.(1)9+2、315+23 .x2-2x-3=0. .(x-3)(x十1)=0. (2)S.+1-S,=6n-3+25. x1=3,2=-1. 证明：S.+4-S,=(1十3n)-[1+(n-1)w3] (2)a=2,b=1,c=-2, =[2+(2m-1人5]×3 ∴.△=2-4ac=1+4×2×2=17>0. =3(2m-1)+2√3 r=生y不-4ac--1±应 =6n-3+23. 2a 4 (3)当a=1,b=3时，T=4++4十…+tm =二1+17 =二1-/亚 4 =S-S+S-S+S-S++S-Ss =S1-S 8.(1)证明：：△=[-(2m-1)于F-4×1×(-3㎡+m)= (4m-1)≥0， =(1+503)2-1 ∴方程总有实数根 =7500+1003. (2)由题意知，z1十x2=2m一1，x1=一3m2十m, 18.3/15 第二章方程（组）与不等式（组） :+-十=0士》-2=-5 TiT 2 第1节一次方程与一次方程组 (2m-1) 2=一名，解得m=1或m=号 5 -3m十m 1.C2.A3.A4.C5.B6.2.5 7./2xy=5,0 9.A10.B11.C12.C13.314.96 4x+3y=-10.② 15.(1)36120 2m(n+1)(2)不能 ①×3+②，得10r=5.解得r= (3)前n行的花盆数之和为2+4+6+…+2n=2× 把r=专代人①，得1一y=5.解得y=一4. 之1+Xn=十1D. 由题意，得n(n+1)一420. 1 x=2' 即m2十n一420=0. y=-4. ∴.(n+21)(1-20)=0. 8.设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg:km, 解得n=20或2=一21（舍去）. 则B类物质排放量为(40-x)mg/km ∴.一共能摆放20排. 40-x 第3节分式方程 由题意，得-50%十—75-92.解得x-34 1,A2.C3.x=-14.x=4 :34<35,∴.这次技术改进后该汽车的A类物质排放 5.(1)去分母，得3(r-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2). 量符合“标准” 去括号，得3.x-6十x-4=x2+2x.解得x=10. 9.D10.7(答案不唯一)11.1 经检验，x=10是原方程的解. 12.(1)设参加此次研学活动的师生人数是「人，原计划租 .x=10 用y辆5座客车，根据题意，得 (2)去分母，得2+x(x+1)=x2-1. /5+15,解得-600， 去括号，得2十x2+x=x2-1. 160(y-3)=r, 1y=13. 移项，合并同类项，得x=一3 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划 经检验，x=一3是原方程的解，∴，x=一3. 274 6.设一盏B型节能灯每年的用电量为工千瓦·时，则一 答：特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴 盏A型节能灯每年的用电量为(2x一32)千瓦·时.根 头菇每箱进价为150元. 据题意，得 (2)设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特 16000_9600 级干品猴头菇(80一m)箱. 2x一32x 整理，得5x=3(2x-32). 则/G50-409m+(80-m)180-150)y≥1560. 180-m≤40. 解得x=96. 解得40≤m≤42. 经检验，x=96是原分式方程的解。 m为正整数，.m=40,41,42. 2x-32=160. 故该商店有三种进货方案， 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干 7.A8.D9.A10.(2,-1)(答案不唯一)11.-1 品猴头菇40箱： 12.(1)设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线有 ②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇 (30一x)条.根据题意，得 39箱： 3r+2(30-r)=70,解得x=10. ③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇 则30-x=20. 38箱. 答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条. 12.C (2)设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则 第三章函数 购买更新1条乙类生产线的设备为(m一5)万元.根 据题意，得 第1节函数的基础知识 200.180 1.r≥32.-3<m<13.(3,30)4.25.D6.C mm一5·解得m=50. 7.C8.D9.A10.C 经检验，m=50是原方程的根，且符合题意. 11.(11.0 则m-5=45. (2)如图所示，即为所画图象。 则还需要投入资金为 10×50+20×45-70=1330(万元). 13.号 第4节一元一次不等式（组）及其应用 1.A2.A3.A4.A5.B 6.(1)x≤1(2)x≥-3 (3)1.2 (3)解集在数轴上表示如图. 12.C 第2节一次函数的图象与性质 1.A2.A3.B4.A5.B (4)-3x1 7.(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的 6.x=一27.2（答案不唯一） 单价为y元.根据题意，得 81D把点A2m)代人y=2-号中，得m=是 1x+2y=700. 2x+3y=1200. 解得/r=300, 1y=200. 设直线AB的函数表达式为y=kr十b,把A(2,2), 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单 价为200元. B0,3)代入，解得=一子6=3 (2)设购买A种湘绣作品（件，则购买B种相绣作品 (200一a)件.根据题意，得 六直线AB的函数表达式为y=一号+3 300a+200(200一a)≤50000.解得a≤100. (2):点P(1,y)在线段AB上， 答：最多能购买A种湘锈作品100件. y=-3 1+3(0≤1≤2). &B9.0≤m<号 10.16 “点Q1-1,)在直线y=2r-号上， 11.(1)设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进 价分别是r元和y元. %=24-1-号=21- 则3十2=420解得=40 4.x+5y=910. 1y=150. -%=-+8-(-）=-+号 3 275