第4章 三角形（讲册）-【探究在线】2026年中考数学总复习讲练册

当BC为平行四边形的边时，则有|1一m=3,解得 m=一2或4，.G点坐标为(-2，一5)或(4，一5). 4+1+（）'=0， 故点G坐标为(2,3)或(-2，-5)或(4，-5). 即4x1x2十1十(x1十x2)2=0②， 4.A 把①代人②，得 5.(1)将点(3,12)和(-2，一3)代人抛物 4x1(1-3x1)+1十(x1+1-3x1)2=0, 线表达式，得 即4x-12x+1+1+4x-4x1=0, 12=9+36+c,解得 b=2, 解得x1=一 1-3=4-2b+c, c=-3, （正值会去， .抛物线的表达式为y=x2+2x一3. =1-(←2)=8 (2)抛物线的对称轴为直线x=一1， 令y=0,则x=-3或1：令x=0,则y=一3， 抛物线的对称轴为直线工=一 2 故点A,B的坐标分别为(-3,0)，(1,0)，点C(0,一3)， 故OA=OC=3, ,∠PDE=∠AOC=90°， 2 .当PD=DE=3时，△PDE与△AOC全等， .b=-2a. 设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时， 即2a+b=0. m-(-1)=3,解得m=2, 第四章三角形 故n=22+2×2-3=5,故点P的坐标为(2,5)， 第1节 线段、角、相交线与平行线 故点E的坐标为(-1,2)或（一1,8）； 中考真题体验 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性 1.A2.B3.B4.146°5.A6.C7.B8.A 可得，点P的坐标为（一4,5），此时点E坐标同上， 9.410.C11.B12.B13.C 综上所述，点P的坐标为(2,5)或（一4,5）：点E的坐 14.(1)证明：：AD∥BC, 标为(-1,2)或(-1,8). ∴·∠EAD=∠B. 6.(1),a=1,c=-1, :∠B=∠D,∠EAD=∠D .二次函数解析式为y=x2+bx一1. '.BE∥CD.'.∠E=∠ECD :该二次函数的图象过点(2,0)， (2)△BCE是等边三角形. .4+2b-1=0. 15.A16.如果a=b,那么a|=|b17.45 郁得一是 第2节一般三角形及其性质 中考真题体验 (2)①证明：：∠DOF=∠DEO,∠ODF=∠EDO, 1.C2.C3.B4.B5.直角6.B7.减少10 ∴.△DOF∽△DEO. 微专题3与角平分线有关的基本模型 器器 类型1 品器 ∠BGC=90+∠A∠P=2∠A 0F=gD,品景 ∠0=90°-∠A1∠B-∠C 针对练 ②：该二次函数的图象与x轴交于点A(工1,0)， B(x,0),且x1<0<x, 1.B2.A350°4157.5°-g0 ∴OA=-x1,0B=x2 针对练 BE=1. 5.D :.OE=x:-1. 6.(1)证明：，BD是△ABC的角平分线， :⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍， ∴∠CBD=∠EBD. .OD=-2x1. :DE∥BC, ,,∠CBD=∠EDB, ,'∠EBD=∠EDB. 即x2=1一3x1①. (2)CD=ED.理由如下： 该二次函数的图象与工轴交于点A(x,0), AB=AC,.∠C=∠ABC. B(x2,0), ,DE∥BC,∴.∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC x1,x是方程ax2+bx十c=0的两个根. '.∠ADE=∠AED.∴.AD=AE. .AC-AD=AB-AE,即CD=BE a 由(1)，得∠EBD=∠EDB, ,4ac=-a2-b,a≠0， .BE=ED,..CD=ED. 259 针对练 在△AOC和△BOD中， 7.探究：过点D作DE⊥AB于点E,DF ∠C=∠D, ⊥AC交AC延长线于点F. ∠A-∠B, :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥ AO-BO, AC, .△AOC≌△BOD(AAS)..AC=BD. .DE=DF,∠F=∠DEB=90 5.(1)证明：AD是△ABC的角平分线， :∠EBD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴∠BAD=∠CAD. ∴.∠EBD=∠FCD 由作图知，AE=AF ∠FCD=∠EBD, 在△ADE和△ADF中， 在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB, AE=AF, DF=DE, ∠BAD=∠CAD. ..△DFC≌△DEB(AAS). AD-AD. .DC=DB. ,',△ADE≌△ADF(SAS) 应用w√2a (2):∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线， 第3节等腰三角形与直角三角形 ∠EAD=合∠BAC=40 中考真题体验 由作图知，AE=AD. 1.B2.A3.B4.45.1106.40°或100° 7.(1)证明：过点M作MQ∥BC,交 '∠AED=∠ADE. AC于点Q,如图所示， ÷∠ADE-号×180°-40)-70. 在等边三角形ABC中，∠A=∠B :AB=AC,AD为△ABC的角平分线， =∠ACB=60°， .AD⊥BC 'MQ∥BC, ∴.∠BDE=90°-∠ADE=20. ∴.∠AMQ=∠B=60, 6.3 ∠AQM=∠ACB=60°，∠QMP=∠N. 7.:△ABC是等边三角形， ∴.△AMQ是等边三角形.∴.AM=QM, ∴.AB=AC,∠ABC=∠ACB. .AM-CN...QM-CN. ∴∠ABD=∠ACE. 在△QMP和△CNP中， 在△ADB和△AEC中， ∠QPM=∠CPN, AB=AC, ∠QMP=∠N, ∠ABD=∠ACE, QM-CN, DB=EC. ∴.△QMP≌△CNP(AAS) ∴.△ADB≌△AEC(SAS).∠D=∠E. ..MP=NP. 8.(1)证明：在△ABC和△CDA中， (2),△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC, (AB-CD. ..AH=HQ. AC=CA, △QMP≌△CNP,.QP=CP BC-DA, ∴PH=HQ+QP=AC ,',△ABC≌△CDA(SSS). (2)过点A作AE⊥BC于 .AB=a,AB=AC, 点E,∴∠AEB=90°. i.PH-Ta. ∠B=30°，AB=2m, ..AE=1 m. 8.B9.B10.C11.A12.B 13.1014.北偏东50°15.2-√2 Sac=BCAE=X3X1=(m). 1 第4节全等三角形 3 中考真题体验 则SaeA=立m, 1.32.D “草坪造型的面积为2×多=3(m2). 3.·∠AOC=∠BOC, 2 .OC为∠AOB的平分线。 9.B 又点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 微专题4中点问题六大模型 .PD=PE,∠PDO=∠PEO=90°. 例1D 又PO=PO(公共边)， 【思考】中位线中位线一半 .△OPD≌△OPE(HL) 针对练 4.AC∥BD,∴∠A=∠B,∠C=∠D 1.B 260 例26 【思考】斜边的一半 (2:△ABC△AEB,是-品 针对练 2.B 即是=合，解得AE=9. 12 13.1714.A 例3 微专题5一线三等角（含垂直问题） 【思考】中线高线顶角的平分线 1.D 针对练 2.(1)BD=CE=1,DE=2. 3.8 (2)①DE=CE+BD.理由如下： 例46 BD⊥DE,CE⊥DE, ∠BDA=∠CEA=90. 【思考】垂直平分线垂直平分线相等 ∴∠DAB+∠DBA=90°. 针对练 '∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90° 4.(1)证明：如图，连接AC ∴.∠DBA=∠CAE. :M是CD的中点，AM⊥CD, ,AB=AC,.△ABD≌△CAE. .AM是线段CD的垂直平分线。 ,.AD=CE,BD=AE.,.DE=AD十AE=CE十BD. .AC=AD. 即DE=CE十BD 又：AM⊥CD,.∠3=∠4. ②BD=CE+DE.理由如下： 同理，可得∠1=∠2. ,BDLAE,CE⊥DE,∴.∠BDA=∠CEA=90. :∠1+∠2+∠3+∠4=∠BAD, ∴.∠DAB+∠DBA=90 ∴∠2+∠3=号∠BAD,即∠BAD=2∠MAN. ,∠BAC=90°，，∠DAB+∠CAE=90°. ∴.∠DBA=∠CAE. (2)∠ADC=50. AB=AC,∴△ABD2△CAE. 例5【思考】△CDA AC△CDA ..AD-CE,BD-AE. 【自主作答】(1)证明：延长AD .BD=AE=AD+DE=CE+DE. 至点E,使DE=AD,连接BE 即BD=CE+DE :D为BC的中点，.CD=BD. (3)由(2)可知，∠ABD=∠CAE,AD=CE,BD=AE, 又：AD=ED,∠ADC=∠EDB. BD=CE+DE, '.△ADC≌△EDB. CE=3,DE=1, ..AC=EB. ∴.BD=4,AD=3.从而由勾股定理解得AB=5. AB+BE>AE,..AB+AC>2AD. ∠BAC=∠ADB=90°，∴△ABD△FBA. (2).AB-BE<AE<AB+BE, ∴AB-AC<2AD<AB+AC 常器BF-华 4 AB=5,AC=3,.2<2AD<8..1<AD<4. Sar-专BFXDE-合×1x5-5 1 针对练 48 5.13 3.2或84号或只或6 例68 5.(1)证明：，CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, 【思考】圆心角相等 ∴∠A=∠CBE=∠D=90°. 针对练 .∠C+∠CBA=90,∠CBA+∠DBE=90. 6.3 ∠C=∠DBE..△ABCn△DEB. 第5节相似三角形 (2:△ABCn△DEB,品-是 中考真题体验 1h.音2.B30.6184C5.C6.C7.B&C 六品-9BD=8 6.(1)证明：点B,M关于线段EF对称，由翻折的性质可 9.∠ADE=∠B(答案不唯一) 知，∠MBC-∠BMP, 10.211.√13 ,四边形ABCD是正方形 12.(1)证明：：四边形ABCD为菱形， ∴.AD∥BC,∴∠MBC=∠AMB. ∴.CD∥AB,AB=CB. ∴.∠AMB=∠BMP(等量代换). ∴.∠ACD=∠CAB,∠CAB=∠ACB. (2)设MD=x,则AM=3-x,设AE=y,则EM=EB ,∠ACD=∠ABE, =3-y. .∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB. 在Rt△AEM中，AE+AM=EMP, .△ABC△AEB. .y2+(3-x)2=(3-y)2, -261 “y=-合e+x即AB=-言r+z 在Rt△ABD中，BD= an32-x+6, :∠ABC=∠EMN=90°，.∠AME+∠DMP=90. 解得x≈10. 又：∠AEM+∠AME=90°， .10>9, ∴·∠AEM=∠DMP,∠A=∠D. ·如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的 .△AEM∽△DMP. 危险. 服-架 x 12.过点D作DE⊥BC,垂足为E, 6x2+x 1 由题意，得AF⊥BC,DE=AF 解得一是MD- 斜面AB的坡度：=314，小部-是 第6节解直角三角形及其应用 ∴.设AF=3x米，则BF=4x米，AB=√AF干BF 重难选讲 =5x(米). 在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20米， 例【分析】(x+50) 【自主作答】过点B作BC⊥AD,交DA .DE=CD·sin18°≈20X0.31=6.2(米). 的延长线于点C,设AC=xm, ∴AF=DE=6.2米 ,AD=50m, .CD=AC+AD=(x+50)m. =62-器 .AB=5x≈10.3（米）. 在Rt△ABC中，∠CAB=60°， 斜坡AB的长约为10.3米 .BC=AC·tan60°=√5x(m). D 在Rt△BCD中，∠BDC=45°， =34 m5'-86-1iBc=cDgz=+80, .x=25√3+25..AC=(25√3+25)m. 13.B AB=8S=50,5+50≈137m 14.由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°，FG= 1.8m, .古亭与古柳之间的距离AB的长约为137m. 则∠EAF+∠BAF=∠BAF十∠BAH=9O°， 中考真题体验 .∠EAF=∠BAH. 1.号2.C3B4B5.B6.D .AB=30 cm,BH=20 cm, 则a∠BAH-器=号， 7.33+3或33-38.D 9.(1)根据题意，四边形CDFE是矩形，∠CAD=30°， tan∠EAF AF=tan∠BAH= E 3 ∠EBF=45,∴.DF=CE=895m. 在Rt△EBF中， AF=1m则晋-号EP 3 BF EF tan∠EBF-7(m), BG=EBF+FG=号+1.8.1m. .DB=DF-BF=895-7=888(m). 答：树EG的高度为9.1m. 在Rt△ACD中， 7 15.62 AD= CD tanZCAD 3 =7√3≈11.9(m), 4 第五章四边形 .AB=AD+BD≈11.9+888≈900(m). 第1节平行四边形与多边形 .A,B两点之间的距离约为900m. 重难选讲 (2),900÷45=20(m/s), 例【分析】4对角线 .小型汽车每小时行驶20×3600=72000(m), 【自主作答】设点C的坐标为(a,0),由题意知，AB 72000m=72km,72<80, =4,若AB为边，则CD=AB=4,,点D的坐标为 小型汽车从点A行驶到点B没有超速， 10.D (a,0或(a,-),由点D在直线y=合x-2上，代 11.过点A作AD⊥BC于点D, 人，解得a=12或a=-4,∴点D(12,4),点C(12, 由题意，得∠ABD=32°， 0)或点D(-4,一4)，点C(一4,0)：若AB为对角 ∠ACD=45°，BC=6海里，设 线，则AB的中点坐标为(0，一1).，点C的坐标为 AD=x海里，则CD=AD= (a,0),点D的坐标为（一a,一2），代人直线y= x海里. x一2上，解得a=0(不合题意舍去). 1 262第四章 三角形 第1节线段、角、相交线与平行线 考点梳理专训 直线的基本事实：经过两点有① 条直线，即两点确定一条直线 线 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，② 最短 图D 和 线段的和与差：如图①，在线段AC上取一点B,则有AB十③© =AC A C B 线 线段的中点：如图②，点C是线段AB的中点，则有AC=④ 图② 度、分、秒的换算：1°=60'，1'=60”，角的度、分、秒是60进制的 定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，简称互余 余角 性质：同角（或等角）的余角⑤ 及 余角、补角 定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，简称互补 平 补角 性质：同角（或等角）的补角⑥ 分 ·个角的补角比这个角的余角大⑦ 度 性质：⑧ 角平分线逆定理：角的内部到角两边距离⑨ 的点在这个角的平分线上 线 (尺规作图常用) 举例：如图③，∠1与∠3，∠2与0 ,∠5与∠7，∠6与① 角 对顶角 性质：对顶角② 举例：如图③，∠1与∠4，∠2与∠3，∠5与∠8，∠6与∠7 邻补角 交线与 性质：邻补角之和等于⑧ 同位角：如图③，∠1与∠5，∠2与国 ,∠3与∠7， 相 ∠4与⑤ 图③ 三线八角 内错角：如图③，∠2与∠8，∠3与⑥ 线 同旁内角：如图③，∠2与∠5，∠3与∠8 1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线的性质{2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 性质：线段垂直平分线上的点到⑦ 的距离相等 线段垂直平分线 逆定理：到线段两端点距离⑧ 的点在该线段的垂直平分线上 公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理 1.平行于同一条直线的两条直线四 ,即若a∥b,b∥c,则a∥c 及推论 推论2.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即同一平面内， 若a⊥c,b⊥c,则a∥b 平 行 同位角@ 线 作两直线平行 平行线的性质和判定内错角@ 程器两直线平行 判定 同旁内角② 两直线平行 性质 教材考点梳理【第四章三角形丨48 线 平行线之间的距离：从一条平行线上任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度 角 平行线 叫做两条平行线之间的距离，平行线之间的距离处处相等（根据同 底等高的两个三角形面积相等，常通过作平行线进行面积转化) 定义：判断一件事情的语句，叫做命题 交线与 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题 命题与定理 假命题：题设成立、结论不一定成立的命题 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一 行 个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题 线 考点梳理专训答案 ①且只有②线段③BC④BC⑤相等⑥相等⑦90⑧角平分线上的点到角两边的距离相等@相等⑩∠4 ⑩∠8②相等⑧180”0∠6雪∠8⑥∠5D线段两端点⑧相￥⑧平行③相等①相等②互补 中考真题体验 考点1直线、射线、线段 1.(2021·河北)如图，已知四 条线段a,b,c,d中的一条与 挡板 挡板另一侧的线段m在同 第5题图 第6题图 一直线上，请借助直尺判断 6.(2021·百色)如图，与∠1是内错角的是() 该线段是 A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 A.a B.6 C.e D.d 7.(2022·河南)如图，直线AB,CD相交于 2.(2022·临沂)如图，A,B位于数轴上原点两 点O,EO⊥CD,垂足为O.若∠1=54°，则∠2 侧，且OB=2OA.若点B表示的数是6，则点A 的度数为 () 表示的数是 ( AO A.26 B.36 C.44 B D.54 0 A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 考点2余角、补角 3.(2021·百色)已知∠a=25°30'，则它的余角 第7题图 第8题图 为 考点4角平分线 A.2530 B.6430 C.7430 D.15430 8.(2022·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C 4.(2021·营口)若∠A=34,则∠A的补角为 90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥ D考点3相交线 AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE 5.(2022·自贡)如图，直线AB,CD相交于 =5,DF=3,则下列结论错误的是() 点O,若∠1=30°，则∠2的度数是 A.BF=1 B.DC=3 A.30 B.40 C.60 D.150° C.AE=5 D.AC=9 49丨探究在线1中考总复习数学 考点5线段的垂直平分线 14.(2023·武汉)如图，在四边形ABCD中， 9.(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直 AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线 平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B 上，连接CE. ∠ADB.若AB=4,则DC的长是 (1)求证：∠E=∠ECD: (2)若∠E-60°，CE平分∠BCD,直接写出 △BCE的形状， 第9题图 第10题图 考点6平行线的性质与判定 10.(2022·郴州)如图，直线a∥b,且直线a,b 考点7命题 被直线c,d所截，则下列条件不能判定直线 15.(2022·梧州)下列命题中，假命题是() c∥d的是 ( A.一2的绝对值是一2 A.∠3=∠4 B.∠1+∠5=180 B.对顶角相等 C.∠1=∠2 D.∠1=∠4 C.平行四边形是中心对称图形 11.(2022·武汉)如图，AB∥CD,直线EF分别交 D.如果直线a∥c,b∥c,那么直线a∥b AB,CD于E,F两点，∠BEF的平分线交CD 于点G,若∠EFG=52°，则∠EGF等于() 16.(2022·湖州)命题“如果a=b,那么a=b” A.26 B.64 C.52 D.128 的逆命题是 核心素养专练 17.(数形结合)(2022·德阳)古希腊的毕达哥 拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注 第11题图 第12题图 意形与数的关系，“多边形数”也称为“形 12.(2022·鄂州)如图，直线1∥12，点C,A分 数”，就是形与数的结合物.用点排成的图形 别在1：，2上，以点C为圆心，CA长为半径 如下.其中：图①的点数叫做三角形数，从上 画弧，交1于点B,连接AB.若∠BCA= 至下第一个三角形数是1，第二个三角形数 150°，则∠1的度数为 ( 是1+2=3，第三个三角形数是1+2+3 A.10°B.15 C.20 D.30° 6,…图②的点数叫做正方形数，从上至下第 13.(2023·荆州)如图所示的“箭头”图形中， 一个正方形数是1，第二个正方形数是1十3=4， AB∥CD,∠B=∠D=80°，∠E=∠F= 第三个正方形数是1十3十5=9，…由此 47°，则图中∠G的度数是 类推，图④中第五个正六边形数是 图① 图② 图③ 图④ A.80°B.76° C.66 D.56° 进入“课后限除训练”，去收获希望，体验成功！G0 教材考点梳理丨第四章三角形丨50 第2节一般三角形及其性质 ·考点梳理专训 不等边三角形 按边分 腰与底不等的等腰三角形 等腰三角形 三角形的分类 等边三角形 直角三角形 按角分 锐角三角形 斜角三角形 钝角三角形 三角形两边之和大于第三边 边的关系 三角形两边之差① 第三边 三角形的 内角和定理：三角形的内角和等于② 边角关系 角的关系 三角形的外角③ 与它不相邻的两个内角之和 三 三角形的任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，小边对小角 及其性 四线 图形 重要结论 备注 BD=④ 中线 =⑤ BC. 重心：三角形三条中线的交点 B D S△AaD=S△D 点D是BC的中点 AD⊥@ ,即 高线 ∠ADB=∠ADC=9O 垂心：三角形三条高线的交点 S△U地=BD 三角形中的 AD是△ABC的高线 SAND CD 重要线段 ∠1=0 内心：三角形的三条角平分线 角平 =名∠BAC 的交点，到三角形三边的距离 分线 B S△地_BD-AB 相等，内心即三角形内切圆的 AD平分∠BAC CD AC 圆心（尺规作图可用） 图 ∥BC且 在特殊四边形中，已知一边中 中位线 D DE=⑨ BC 点，连接对角线的交点，构造 8 SANDE=1 中位线，判定平行，计算线段 DE是△ABC的中位线 长度周长、面积等 考点被理专训 答案 ①小于②180③等于④CD⑤号 @BC∠：⑧DE@号 51|探究在线1中考总复习数学 中考真题体验 考点1三角形的高、中线、角平分线 为等腰三角形时，对角线AC的长为 () L.(2022·玉林)请你量一量如图△ABC中BC A.2 B.3 C.4 D.5 边上的高的长度，下列最接近的是 D考点4三角形的内角和定理及其推论 A.0.5 cm B.0.7 cm C.1.5 cm D.2 cm 5.(2023·遂宁)若三角形三个内角的比为1： 2:3,则这个三角形是 三角形 6.(2021·河北)定理：三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和。 第1题图 第2题图 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角. 2.(2021·怀化)如图，在△ABC中，以点A为 求证：∠ACD=∠A+∠B. 圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,AC于 证法1：如图， :∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）， 点M,N:再分别以点M,N为圆心，大于MN 又'：∠ACD+∠ACB=180(平角定义)， ∴·∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换). 的长为半径画弧，两弧交于点P:连接AP并延 .∠ACD=∠A十∠B(等式性质). 长交BC于点D,则下列说法正确的是() 证法2：如图， A.AD+BD<AB ∠A-76°，∠B=59, 且∠ACD=135"(量角器测量所得)， B.AD一定经过△ABC的重心 又：135=76+59（计算所得）， C.∠BAD=∠CAD .∠ACD=∠A十∠B(等量代换) D.AD一定经过△ABC的外心 下列说法正确的是 D考点2三角形的中位线 A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定 3.(2022·丽水)如图，在△ABC中，D,E,F分 理的证明才完整 别是BC,AC,AB的中点.若AB=6,BC=8, B.证法1用严谨的推理证明了该定理 则四边形BDEF的周长是 ( C.证法2用特殊到一般法证明了该定理 A.28 B.14 C.10 D.7 D.证法2只要测量够一百个三角形进行验 证，就能证明该定理 核心素养专练 7.(应用意识)(2021·河北) D 30 第3题图 第6题图 如图是可调躺椅示意图20 考点3三角形的三边关系 (数据如图)，AE与BD的 50 +60 4.(2023·河北)四边形 交点为C,且∠A,∠B, ABCD的边长如图所示，对 ∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大 角线AC的长度随四边形形 小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 状的改变而变化.当△ABC (填“增加”或“减少”) 度 进入“课后跟除树练”，去收获希望，体骏成功！G0→ 教材考点梳理丨第四章三角形丨52 微专题3与角平分线有关的基本模型 类型1三角形中角平分线的夹角问题 模型1两内角平分线的夹角 如图①，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的 平分线BE,CF相交于点G,则∠BGC与∠A 第1题图 第2题图 之间的关系为 2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线， ∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+ ∠ACD () 图D 图②C ò A.75 B.80 模型2一个内角和一个外角平分线的夹角 C.85 D.90 如图②，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平 3.如图，在△ABC中，∠A=80°，△ABC的两 分∠ACB的外角∠ACD,BP与CP相交于点P, 条角平分线交于点P,则∠BPD的度数是 则∠P与∠A之间的关系为 模型3两外角平分线的夹角 如图③，在△ABC中，BO,CO是△ABC 的外角平分线，则∠O与∠A之间的关系为 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，∠A=a,△ABC的两外 角平分线交于点D,,∠CBD,的平分线与 图3 图① ∠BCD的平分线交于点D2,∠CBD,的平分 模型4内角平分线和高线的夹角 线与∠BCD2的平分线交于点D,则∠D 如图④，在△ABC中，AD是BC边上的 (用含a的代数式表示). 高，AE是∠BAC的平分线(AE可能在AD的左 类型2，与角平分线有关的图形和辅助线作法 侧或右侧)，则∠EAD >模型1角平分线十平行线→等腰三角形 ©针对练 常见模型有以下四种： 1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相 交于点E.若∠A=60°，则∠E= () A.15 B.30° C.45 D.60 53|探究在线|中考总复习数学 ○针对练 ②过角平分线上任意一点作角平分线的垂线. 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 如图②，BO是∠ABC的平分线，EF⊥ 分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB BO,则△BEO≌△BFO. 于点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则 ③采用截长补短法构造全等三角形 线段MN的长为 如图③，在△ABC中，BC>BA,BO是 ∠ABC的平分线 (截长法)在BC上取线段BE=BA,连接 OE,则△BEO≌△BAO: (补短法)延长BA至点D,使BD=BC,连 A.6 B.7 C.8 D.9 接OD,则△BDO≌△BCO. 6.(2022·温州)如图，BD是△ABC的角平分 ◎针对练 线，DE∥BC,交AB于点E. 7.感知：如图①，AD平分∠BAC,∠B+∠C (1)求证：∠EBD=∠EDB: 180°，∠B=90°，易知：DC=DB. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小 探究：如图②，AD平分∠BAC,∠ABD+ 关系，并说明理由 ∠ACD=180°，∠ABD<90 求证：DC=DB. 模型2利用角平分线，作辅助线构造全等 应用：如图③，在四边形ABDC中，∠B= 三角形 45°，∠C=135°，DB=DC=a,则AB-AC= ①过角平分线上的点作角两边的垂线 如图①，BO是∠ABC的平分线，过点O (用含a的代数式表示). 作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,则OE OF,△BEO≌△BFO. 教材考点梳理丨第四章三角形丨54 第3节 等腰三角形与直角三角形 考点梳理专训 两腰相等，两底角相等 等腰三角形的① ,② ,③ 互相重合 性质 (简称“三线合一”) 腰三角 是轴对称图形，有一条对称轴 有两条边相等的三角形是等腰三角形 判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积计算公式：S= 2ah(a是底边长，h是底边上的高) 三边相等 每一个角都等于④ 性质 三线合一：任意一边上的高线、中线及其对角的平分线互相重合 腰三角 是轴对称图形，有三条对称轴 边三角 三边都相等的三角形是等边三角形 判定三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的⑤ 是等边三角形 角三角 2ah3 面积计算公式：S= a(口是等边三角形的边长，h是任意边上的高) 两锐角之和等于⑥ 斜边上的中线等于⑦ 30°角所对的直角边等于⑧ 性质 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则有⑨ 角三角 若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（应用时， 需先证明) 与 有一个角为90°的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 股定理 判定 有一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形（应用时需先证明）》 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c,若a十b=e,则这个三角形 是直角三角形 面积计算公式：S 2h0 (a,b为直角边，c为斜边长，h为斜边上的高) 考点梳理专训答案 ①顶角平分线②底边上的高 ③底边上的中线①60⑤等腰三角形⑤90°⑦钟边的一半⑧针边的一半 ®a十6=c2 ah 55|探究在线1中考总复习数学 中考真题体验 ■■■■■■■■ 考点1等腰三角形的性质与判定 6.(2022·云南)已知△ABC是等腰三角形.若 1.(2022·湖州)如图，已知在锐角三角形ABC ∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线， E是AD上一点，连接EB,EC.若∠EBC= 7.(2022·怀化)如图，在等边三角形ABC中， 45°，BC=6,则△EBC的面积是 ( 点M为AB边上任意一点，延长BC至 A.12 B.9 C.6 D.32 点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P, MH⊥AC于点H. (1)求证：MP=NP: (2)若AB=a,求线段PH的长（结果用含a 的代数式表示). 第1题图 第4题图 2.(2022·大庆)下列说法不正确的是( A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角 三角形 B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三 角形 C.有两个角互余的三角形是直角三角形 D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 3.(2023·滨州)已知点P是等边△ABC的边 BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段 AP,BP,CP为边的三角形中，最小内角的大 小为 () A.14 B.16 C.24° D.26 4.(2023·重庆B)如图，在△ABC中，AB= AC,AD是BC边的中线，若AB=5,BC=6. 则AD的长度为 5.(2022·十堰)“美丽乡村” 建设使我市农村住宅旧貌 考点2直角三角形的性质与判定 变新颜，如图所示为一农村 类型1直角三角形的一般性质 民居侧面截图，屋坡AF, 8.(2022·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠A= AG分别架在墙体的点B,C处，且AB=AC, 30°，点D,E分别是直角边AC,BC的中点， 侧面四边形BDEC为矩形，若测得∠FBD 连接DE,则∠CED的度数是 () 55°，则∠A= A.70 B.60 C.30 D.20° 教材考点梳理丨第四章三角形丨56 D 第8题图 第9题图 类型2含30°角的直角三角形的性质 第12题图 第13题图 9.(2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大 类型4勾股定理 数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立 13.(2023·广安)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三 9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底 角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁 120°，腰长为12m,则底边上的高是() 正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与 A.4m B.6 m C.10m D.12m 蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到 10.(2022·鄂尔多斯)如图，∠AOE=15°，OE 内壁A处所走的最短路程为 cm.(杯 平分∠AOB,DE∥OB交OA于点D,EC⊥ 壁厚度不计) OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为() 类型5勾股定理的逆定理 A.2 B.23 14.(2021·玉林)如图，某港口P位于东西方 向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各 C.4 D.4十2、3 自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分 别航行12海里和16海里，1小时后两船分 别位于点A,B处，且相距20海里，如果知 道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行 第10题图 第11题图 11.(2021·烟台)由12个有公共顶点O的直角 三角形拼成的图形如图所示，∠AOB= ∠BOC=…=∠LOM=30°.若OA=16,则 OG的长为 () 第14题图 第15题图 A号 B号 e吗 D.27/3 核心素养专练 8 15.(数学推理)(2022·遵义)如图，在等腰直角 类型3直角三角形斜边上的中线的性质 三角形ABC中，∠BAC=90°，M,N分别为 12.(2023·河北)如图，在R△ABC中，AB=4, M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形 BC,AC上的动点，且AN=CM,AB=2. AMEF,若SE方鬈r=16,则S△A=( 当AM十BN的值最小时，CM的长为 A.43 B.8/3 C.12 D.16 进入“得后跟踪利练”，去收获希堂，体验成功！G0◆ 57|探究在线1中考总复习数学