第1章 数与式（讲册）-【探究在线】2026年中考数学总复习讲练册

第1部分 教材考点梳理 第一章数与式 第1节实数及其运算 考点梳理专训 整数 有理数 分数：有限小数或无限① 小数 无理数：无限② 小数 1.开方开不尽的数：如2,3,5等 按定义分 无理数 的几种 2.元及化简后含有元的数：如元，受，一元等 常见形3.部分三角函数值：如sin45°，sin60°，cos30°等 实数的分类 式 4.有规律的无限不循环小数：如0.10010001…（相邻2个1 之间依次多1个0) 正数 按大小分 0(0既不是正数，也不是负数) 负数 原点 正方向 单位 三要素： 长度 数轴 -3-2-101234 性质：实数与数轴上的点是一一对应的 非零实数a的相反数为③ ,特别地，0的相反数为④ 相 实数a,b互为相反数台a十b=⑤ 数 实数的 互为相反数的两个数分别位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离⑥ 及 相关概念 ⑦ (a>0】 绝对值1a=0 (a=0),a具有非负性 算 ⑧ (a<0) 非零实数a的倒数是⑨ 特别注意：0没有倒数，倒数 倒数 是它本身的数是⑩ 实数a,b互为倒数台ab=① 科学记数法 把一个数表示成a×10(1≤a<10,n为整数)的形式 近似数 个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位 类别比较法：正数>0>负数，两个负数比较大小，② 大的数反而小 数轴比较法：数轴上的任意两点，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数 数 ⑧ 大 a-b>0=0 作差比较法a一b=0台a=b ab<0=⑤ 平方比较法：>>0→ā>b(主要应用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较) 1|探究在线丨中考总复习数学 考查点 定义 总结 平方根、算 平方根 实数a(a≥0)的平方根 1.一个正数的平方根有两个，它们互为相反数： 术平方根、 为士a,其中a为a的2.负数没有平方根： 算术平方根 算术平方根 3.所有的数都有一个立方根，且与原数同号： 立方根 4.平方根等于它本身的是0：算术平方根等于它 立方根 实数a的立方根为a 本身的是0,1：立方根等于它本身的是0，±1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值⑥ 异号两数相加：取绝对值较⑦ 的数的符号，并用较大数的绝对值减去 加法 较小数的绝对值 四则运 个数同0相加，仍得这个数 算法则 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数：a一b=a十⑧ 乘法：同号得正，异号得负，一个数同0相乘，结果为0 除法：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数：a÷b=aש (b≠0) 零次幂：a°=四 (a≠0)，看到0次幂就写1 负整数指数幂：aP=① (a≠0，p为正整数)， 实数及其运算 特别地，a1=② (简记：倒底数，反指数)】 a-b (a>b) 常考运算 去绝对值符号：a一b=0 (a=b) 8 (a<b) 四 (n为奇数) 一1的奇偶次幂：（一1）"= 1 (n为偶数) 实数的运算 常见算术平方根、立方根：如v4=2,=3,√12=23，一8=一2等 sin30°= ,sin45°= ,sin60=3 2 特殊角的三角函数值 c0s30°=@ ,c0s45°-2 ·cos60°- 2 tan30°- 3,tan45°=@ ,tan60°=√3 1.先逐项计算：零次幂、负整数指数幂、绝对值、开方等 2.再根据四则运算顺序计算：先乘除，后加减：有括号时先计算括号里面的： 混合运算顺序 同级运算按照从左到右的顺序进行运算 3.得出最终结果 考点梳理专训答案 ①裤环②不端环③-。④0⑤0⑥相等⑦a⑧-。⑨。国士1D1@她对值⑧大8>b国a<b 8相加@大⑧(-6)9大01@2@。86-。8-1⊙之6号@1 教材考点梳理【第一章数与式丨2 中考真题体验 考点1用正、负数表示具有相反意义的量 保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记 L.(2023·南充)如果向东走10m记作 数法表示为1.36×10"的形式，则n的值是 +10m,那么向西走8m记作 ( (备注：1亿=100000000). A.-10m B.+10m 考点5实数的大小比较 C.-8m D.十8m 8.(2023·宁波)在一2，一1,0，元这四个数中， 考点2实数及其分类 最小的数是 () 1 2.(2023·雅安)在0,2，一5,2四个数中，负 A.-2 B.-1 C.0 D.x 9.(2023·扬州)已知a=/5,b=2,c=√3，则a, 数是 ( b,c的大小关系是 () A.0 B C.-3 D.2 A.b>a>c B.a>e>b 3.(2023·巴中)下列各数为无理数的是( C.a>b>c D.b>c>a 考点6平方根、算术平方根、立方根 A.0.618 B号 C.5 D.-27 10.(2023·金昌)9的算术平方根是 () 考点3数轴、相反数、绝对值、倒数 A.±3 B.±9 C.3 D.-3 4.(2023·自贡)如图，数轴上点A表示的数是 11.(2023·泸州)8的立方根是 2023,OA=OB,则点B表示的数是( 12.(2023·广安)、16的平方根是 2023 考点7实数的运算 A.2023 B.-2023 13.(2023·遂宁)已知算式5☐（一5）的值为0， 1 1 则“☐”内应填人的运算符号为 () C.2023 D.- 2023 A.+ B.- C.× D.÷ 5.(2022·宜昌)下列说法正确的个数是( ①一2022的相反数是2022：②-2022的绝 14.(2023·怀化)计算：-21+（号） 对值是202：③202的倒数是202. (sin45°-1)°-(-1). A.3 B.2 C.1 D.0 核心素养专练 考点4科学记数法和近似数 15.(数学文化)(2022·娄底)在古 6.(2023·遂宁改编)纳米是表示微小距离的单 位，0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据 代，人们通过在绳子上打结来 0.0000005用科学记数法可以表示为() 计数，即“结绳计数”.当时有位 A.0.5×10-8 B.0.5×10 父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细 C.5×108 D.5×10-7 不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左 7.(2023·武汉)新时代十年来，我国建成世界 粗)，满七进一，那么孩子已经出生了() 上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗 A.1335天 B.516天 保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参 C.435天 D.54天 进入“部后眼踪创练”，去枚获希望，体验成功！G0◆ 3丨探究在线丨中考总复习数学 第2节 整式与因式分解 考点梳理专训 代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式 代数式[直接代入法 求值 整体代入法 单项式：数与字母的① (单独的一个数或字母也是单项式)，如，一2，一b,3等 整式的相 多项式：儿个单项式的② ,如x+2,3.x2+y+1,2x-3y等 关概念 同类项：所含字母相同，并且相同字母的③ 也相同的项 (所有常数项都是同类项) 整式与因式 合并1.字母和字母的④ 不变 加减运算 同类项2.系数⑤ 作为新的系数，如2xy十3.xy=⑥ 鑫 (实质是合 括号前是“十”号，去括号时，括号内各项不变号： 并同类项) a十(b十c)=a⑦ b图c 去括号法则 括号前是“一”号，去括号时，括号内每一项都变号： a-(b+c)=a⑨b四c 幂的运算 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，即a"·a"=① (a≠0， 同底数幂的除法：底数不变，指数相② ,即a"÷a”=⑧ b≠0， 幂的乘方：底数不变，指数相④ ,即(a")=⑤ 整式的 m,n为 积的乘方：各因式乘方的⑥ ,即(ab)"=⑦ 运算 整数) 单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的一个因式，对于只 在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的 一个因式，如ma2·ab=mab2 单项式乘多项式：根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的 乘法运算 积相加，如m(a十b十c)=⑧ 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加，如(m十n)(a十b)=ma十mb+a+nb 平方差公式：(a十b)(a-b)=⑨ 乘法公式 完全平方公式：(a士b)=@ 教材考点梳理丨第一章数与式丨4 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式 na十b+mc=@ 系数：取各项系数的最大公约数 提公因式法 公因式的确定 字母：取各项相同的字母或因式 基本方法 指数：取各项相同字母的最低次数 因式分解 平方差公式：a2一b=@ 公式法 完全平方公式：a士2ab十b=國 式 1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式（一提）】 解 2.如果没有公因式，考虑当多项式为两项时，考虑用平方差公式 二套】 用公式法来分解因式当多项式为三项时，考虑用完全平方公式 般步骤3.检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止 (三检查)】 【易错警示】提取公因式时不能忽略数字因式；因式分解的结果一定是 积的形式 考点梳理专训答案 ①积②和③指数①指效⑤相加减©5ry⑦+十⑨-⑩-①a+@减⑧a·国来⑤a ⑥积0a''⑧ma十mb+mc⑧a- @a士2ab+W④m(a+b+c)②(a+b)(a-b)②(a士) 中考真题体验 考点1代数式及求值 5.(2023·河北)若k为任意整数，则(2k十3) 1.(2023·河北)代数式-7.x的意义可以是( 一4k的值总能 () A.一7与x的和 B.一7与x的差 A被2整除 B.被3整除 C.一7与x的积 D.一7与x的商 C.被5整除 D.被7整除 6.(2023·江西)单顶式一5ab的系数为 2.(2022·河北)若x和y互为倒数，则 7.(2022·永州)若单项式3.x"y与一2x°y是同 (+号)2y-)的值是 类项，则= 8.(2022·包头)若一个多项式加上3xy+2y A.1 B.2 C.3 D.4 8,结果得2.xy+3y2-5,则这个多项式为 3.(2022·吉林)篮球队要购买10个篮球，每个 篮球m元，一共需要 元.（用含m的 9.(2022·泰安)若单项式xm-“y与单项式 代数式表示) 一多xy是一多项式中的同类项，求m,n D考点2整式及其运算 的值。 4.(2023·绍兴)下列计算正确的是 A.a°÷a2=a B.(-a2)5=-a C.(a+1)(a-1)=a2-1 D.(a+1)2=a2+1 5|探究在线1中考总复习数学 10.(2023·河北)现有甲、乙、丙三种矩形卡片 15.(2021·绥化)在实数范围内分解因式： 各若干张，卡片的边长如图①所示(a>1) ab'-2a= 某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不 考点4数式规律探索 重叠无缝隙)，如图②和图③，其面积分别为 16.(2023·云南)按一定规律排列的单项式：a, S.S2. w2a23a3,4a,5a2,…,第n个单项式是 () A.in B.n-Ia" 图① C.na" D.na 17.(2022·怀化)正偶数2,4,6,8,10，…，按如 下规律排列： 乙 2 图2 4 6 81012 乙 乙 乙 乙 14161820 4 图 则第27行的第21个数是 (1)请用含a的式子分别表示S,S,当a=2 18.(2022·十堰)如图，某链条每节长为 时，求S十S的值： 2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆 (2)比较S与S的大小，并说明理由. 的直径为1cm,按这种连接方式，50节链 条总长度为 cm. 2.8cm 10m ⊙⊙ ⊙⊙⊙…⊙⊙ 1节 2节 50节 核心素养专练…… 19.(数学文化)(2023·巴中)我国南宋时期数 考点3因式分解 学家杨辉于1261年写下的《详解九章算 11.(2023·嘉兴)一个多项式，把它因式分解后 法》，书中记载的图表给出了(a十b)”展开式 有一个因式为(x十1)，请你写出一个符合条 的系数规律 件的多项式： 12.(2023·眉山)分解因式：x3-4x2十4x …(+b)°=1 11 …(a+b)=+b 121 …(a+b)-a2+2ab+b2 1331 ............a+b)'=a'+3a'b+3ab+b' 13.(2023·扬州)分解因式：xy2一4x= 当代数式x-12x3+54.x2-108.x+81的值 为1时，则x的值为 () 14.(2022·绥化)因式分解：(m十n)2-6(m十n) A.2 B.-4 十9= C.2或4 D.2或-4 进入“课后眼除例练”，去收获希望，体龄成功！0 教材考点梳理【第一章数与式丨6 第3节分式 考点梳理专训 概念：一般地，如果a,b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子公叫做分式 分式合有意义的条件：四 相关概念 分式合值为0的条件：四 及性质 基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变 即号-公：m为整式，且m≠0)道分号-m为整式，且m ≠0)应用约分 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 1.乘法运算：芳·=回 (分子、分母分别相乘)》 分 式 ·④ =ad 乘除运算 2除法运算：%÷-号 bc (1)分子、分母中能分解因式的，先分解因式 约 关键找公因式(2)取分子、分母中的相同因式的最低次幂（数字因 式取它们的最大公约数)的积作为公因式的因式 1同分母运算：治±后-回 (分母不变，分子相加减) 运算 2.异分母运算：±4=⑥ 加减运算 (1)分母中能分解因式的，先分解因式 通分 关键 找最简公分母 (2)取各分母所有因式的最高次幂（数字因 式取它们的最小公倍数)的积作为公分母 1.凡是遇见分子、分母是多项式，先因式分解，然后通分或约分 2.有括号先计算括号里面的 分式化简（求值）的步骤3.进行乘除计算 4.进行加减运算 5.代入求值 考点梳理专训答案 DB≠0@A=0且B0③装①⑤生 @hc±ad 中考真题体验 考点1分式的概念及性质 2.(2023·凉山)分式二兰的值为0.则x的值 1.(2023·新覆)要使分式z5有意义，则x需 是 () 满足的条件是 A.0 B.-1 C.1 D.0或1 7|探究在线丨中考总复习数学 3.(2020·河北)若a≠h,则下列分式化简正确 7(2023·武成)化简：+0-2品÷ 的是 () a2-62 Ag号-8 Bg号公 a2-4ab+4b7. 1 C.-g D. 考点2分式的化简及求值 8.(2023·烟台)先化简，再求值.a-6a+9: a-2 48购·天津)计算马名的结果等于() 2 a+2+25a其中a是使不等式“2<1 A.-1 B.x-1 c D.- 成立的正整数 5.(2021·大庆)已知6>a>0,则分式分与 的大小关系是 A号 B台- c>開 D.不能确定 62023·江西)化简（千1十，号）小· 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： -1)+x+1)1.x2-1 +1)-1)x-1x+1)] x 核心素养专练…… 甲同学-2二二二二二 9.(新定义题)(2023·内江)对于正数x,规定 解：原式安+号 -1 2例如：时2)=号-青》 f(x)= 2.x 乙同学 (1)甲同学解法的依据是 ,乙同学解法 1 的依据是 :(填序号) 2×2 2 2+1 3)=-) ①等式的基本性质：②分式的基本性质：③乘 法分配律：④乘法交换律 (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程. 含#周 +…+(号)+f(2)+1)+f2)+f3) +…+f(99)+f(100)+f(101)= () A.199 B.200 C.201 D.202 进入“课后眼踪训练”，去收获希堂，体脸成功！0喻 教材考点梳理【第一章数与式丨8 第4节二次根式 考点梳理专训 定义：形如va(a≥0)的式子 有意义的条件：被开方数为非负数 最简二次根式1，被开方数不含分母（分母中不含根号） 相关概念满足的两个条件2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相 同，就把这几个二次根式称为同类二次根式.如√⑧与 相关概念 √2就是同类二次根式 及性质 1.(a)2=① (a≥0) 2.v=|a= a(a≥0) ② (a<0) 性质。 3.、ab=、a·、b(a≥0，b≥0) a=a(a≥0，b>0) 二次根式 被开方数a≥0 5.双重非负性：二次根式a a≥0 加减法：先把各个二次根式化成③ ,再把同类二次根式合并 乘法：若a≥0，b>≥0，则a·b=④ 运算 除法：若a≥0，b>0,则=⑤ 1.先对根式平方，如(、7)=7 2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4<7<9 无理数的估值 3.对以上两个整数开方，如耳=2，=3 4.确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间，如2<√7<3 考点梳理专训答案 ①0②-。③装简二次根式④，瓜⊙号 中考真题体验 D考点1二次根式的有关概念 2.(2023·烟台)下列二次根式中，与√2是同类 1.(2023·江西)若√a一4有意义，则a的值可 二次根式的是 () 以是 ( A.-1 B.0 C.2 D.6 A.√4 B.√6 C.⑧ D.12 9丨探究在线丨中考总复习数学 3.(2021·益阳)将 45 2 化为最简二次根式，其 13.(2023·上海)计算：8+。1 2+5 结果是 15-3. A.45 B.v90 C.910 2 D.310 2 考点2二次根式的性质 14.(2022·济宁)已知a=2+5,b=2-5,求 4.(2022·凉山)化简：√(-2)严 代数式ab+ab的值. A.±2 B.-2 C.4 D.2 5.(2022·贺州)若实数m,n满足|m-n-5十 /2m+n-4=0,则3m+n= 考点3二次根式的运算 6.(2022·河北)下列正确的是 考点4无理数的估值 A./4+9=2+3 B.14×9=2×3 15.(2021·湖州)已知a,b是两个连续整数， C.v9=3 D.4.9=0.7 a<3一1<b,则a,b分别是 () 7.(2022·大连)下列计算正确的是 ( A.-2,-1 B.-1,0 A.-8=2 B.1(-3)2=-3 C.0,1 D.1,2 C.2、5+35=55 D.(2+1)2=3 16.(2023·重庆A)估计√2(w8+√10)的值应 在 () 14d=(（ 8.(2023·河北)若a=2,b=7,则√ A.7和8之间 B.8和9之间 A.2 B.4 C.7 D.2 C.9和10之间 D.10和11之间 9.(2021·娄底)2,5，m是某三角形三边的长， 17.(2022·永州)请写出一个比5大且比10小 则v(m一3)产+√(m一7)产等于 的无理数： A.2m-10 B.10-2n 核心素养专练… C.10 D.4 18.(规律探索)(2022·眉山)将一组数、2,2， 10.(2023·天津)计算(7+√6)（√7-√6）的结 √6,22，…，42，按下列方式进行排列： 果为 2,2,6,22: 11.(2023·凉山)计算：（π-3.14）°+ 10,23,w14,4: √(2-1)'= 12.(2022·南充)若√8一x为整数，x为正整 若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2， 数，则x的值是 3),则2√7的位置记为 连入“课后眼踪训练”，去收获希望，体险成功！G0 教材考点梳理【第一章数与式丨10温警提示：清做完后再看答案！ =(a-3) a-2 a-2 (a-3)(a+3) =43 a+3 参 考答案 由号k1,解得a<3 第一章数与式 由圈意知a是使不等式“2<1成立的正整数，且 第1节实数及其运算 a-2≠0，a-3≠0..a=1, 中考真题体验 原式-寻一名 1.C2.C3.C4.B5.A6.D7.9 9.C 8.A9.C10.C11.212.±213.A 第4节二次根式 14.原式=2+3一3十1十1=4. 中考真题体验 15.B 1.D2.C3.D4.D5.76.B7.C8.A9.D 第2节整式与因式分解 10.111.212.4或7或8 中考真题体验 1.C2.B3.10m4.C5.B6.-57.6 13.原式=2十 5-2 -9+3-5 8.y-xy+3 (5+2)(w5-2) 9由题意可得m一”=3①. =2+√5-2-9+3-/5 13m一8n=14② =-6. ②一①×3，可得-5n=5, 14.a=2+/5,b=2-5 解得n=-1, ∴.ab+a=alb(a+b) 把n=一1代入①， =(2+5)(2-5)(2+5+2-√5) 解得m=2, =(4-5)×4 m的值为2，n的值为一L =-1×4 10.(1)由图②可知，S,=(a+2)(a+1)=a°+3a+2, =-4. 5=(5a+1)×1=5a+1, 15.C16.B17.7(答案不唯一)18.(4,2) 当a=2时，S,+5=4+6+2+10+1=23. 第二章方程（组）与不等式（组）】 (2)S>S.理由如下： :S-S:=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1 第1节 一次方程与一次方程组 (a-1)2,且a>1,.S>S. 中考真题体验 11.x2-1(答案不唯一)12.x(x-2) 1.B2.④3.D 4.3(x-3)+2(r-1)=24, 13.x(y+2)(y-2)14.(m十n-3) 3x-9+2x-2=24, 15.a(b+2)(b-2)16.C17.74418.9119.C 3x+2.x=24+9+2, 第3节分式 5.r=35, 中考真题体验 x=7. 1.x≠5 5.B6.B 2.A3.D4.C5.A 6.(1)②③ 7.方程组的解为=3。 y=4. (2)选择乙同学的解法. 8.C 原武南+片 xx7· 9.(1)设甲型客车每辆x元，乙型客车每辆y元，依题意知， =x-1十x+1=2x, 十y二00，解得r2” 2x+3y=1300, (答案不唯一) 答：租用甲型客车每辆200元，乙型客车每辆300元. 7.原式=g+2弘-4-b (a-2b)2 a+6a-2b‘(a=b)a+ (2)设租车费用为元，租用甲种客车a辆，则租用乙 =a+264-2b。4h 种客车(8-a)辆， a+b a+b a+b' 15a+25(8-a)≥180，解得a2 8.原式=a-3)÷4-a2+5 又u>0,.0<4≤2. a-2 2-d :=200a+300(8-a)=-100a+2400, =(a-3) 2-a 且一100<0，随a的增大而减小， a-2·3-a3+a .当a=2时，费用最低，为-100×2+2400=2200（元）， 252