辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷

2025年1月葫芦岛市普通高中期末考试 高二数学 参考答案及评分标准 一、单项选择题 1.D2.C3.A4.C5.A6.D7.D8.B 二、多项选择题 9.ABD 10.AB 11.ABC 三、填空题 12.2+1 13. 14.[0,1] 四、解答题 15.(13分) (1)a6=C82°=64 -3分 (2)令x=1得ao+a+a2+a+a4+as+a6=l -5分 令r=-1得a0a1+a2a3ta4-as+a6=36=729 -7分 则a1+a3+a5=-364- 8分 (3)由题意可得C2≥C25r…① C622C62+ “② -10分 6126r 6125r 4 代入得：r(6-r2+1)(5-r)1,23 612r 612 7 r(6-r）2r-107-r,r3 解得子号 -12分 所以=2，T4=C224(仁1)2=240，所以(2x-1)5展开式中系数的最大值240-----13分 16.(15分) (1)连接B1C,与BC1相交于点N,连接DN, 因为四边形BCC1B1为矩形，故N为BC的中点. A 一-2分 又D为AC的中点，故DN/IAB1, 4分 又DNC平面BDC1,AB1平面BDC1, -6分 B 所以AB1/平面BDC1 -7分 D (2)取A1C1的中点M,连接DM,则DM/CC1, 由于CC1⊥平面ABC,故DM⊥平面ABC, 故以D为坐标原点，DA,DB,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.--9分 因为AB=1,AA1=2, 所以A6,0,0）,B(0,-22),B(0,-0),G(-02),D00,0). -11分 设平面BC1D的法向量为m=(x,y,z), mD丽=x,y(0,-0)=-2y=0 B M 则 mDC=6xy,2)(-,0,2）=-x+2z=0 解得y=0,令z=1得x=4, 故m=(4,0,1), 13分 又BB1=(0,0,2), A sin=cos(B6,=照m 满品= 2 17 故直线BB,与平面BC,D所成角正弦值为 17 15分 17.(15分) (1)因为抛物线C经过(2,2)故22=4p,所以p=1, 2分 于是抛物线C的方程x2=2y -4分 (2).,Q在抛物线x2=2y上，∴.Q到F的距离与Q到准线的距离相等，设为d ∴QD+lQF的最小值转化为QD+d的最小值 -5分 易知o+dl=+片 一7分 (3)当AB斜率不存在时，x=0,显然不合题意 -8分 当AB斜率存在时，y=a+t :AB与圆N:x2+(y-1)2=1相切 -=Lk-=e+1-21=k2 -10分 Vk2+1 →2-2x-24=0 设A(,y)，B(x2,y2) x1+x2=2k,xx2=-21 -12分 ∴AB到=1+k2V+x)2-4xx2=21+k2k2+2i O到AB的距离为h= -14分 Vk2+1 SaB=A8卧h=R2+2zh=2 -15分 18.(17分) (1)由PA⊥平面PBC,BCC平面PBC,则PA⊥BC, -2分 又AB⊥BC,由PAOAB=A,且PA,ABC平面PAB, 所以BC⊥面PAB, 4分 又BCC面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAB. -5分 (2)由(I)易知PA⊥PB,又LABP=7过P作PO⊥AB于O, 由面ABCD⊥面PAB,面ABCDO面PAB=AB,POC面PAB, 所以P0⊥面ABCD, -6分 过0作0z/BC,易知Oz⊥AB, 故可构建如图示空间直角坐标系. AB =2DC =4,BC=2v2,DC//AB 则A(0,-3,0),P(3,0.0),C(0,1,22,D(0,-1,22), 所以AP=(3,3,0).AD=(0,2,22).DC=(0,2,0),-7分 若m=(x,y,z)是面PAD的一个法向量，则 m·AP=3x+3y=0 B m.AD 2y+2v2z=0 令z=-1,则m=(-V6,V2,-1): -9分 所以点C到平面PAD的距离m延=2三 3 -11分 m (3)同(2)构建空间直角坐标系，易知平面PAD的法向量m=(-√6，√2，-1) 设CE=λCP, 于是，BE=BC+CE=BC+λCP =(0,02v2+(3,-1,-2V2 =(W3λ-λ，2W2-22) -13分 DB=(0,2,-2V2), 设n=(x,y,2)是平面EBD的一个法向量，则 [n·BE=V3x-y+(2V2-2V2)z=0 n·DB=2y-2V2z=0 2=1,n=2,) -15分 因为平面BDE与平面PAD所成角的余弦值为号所以cos<m,n>=号 整理得812-121-5=0，即(271+5)3a-1)=0,1=域1=-舍) 故cE=C丽，所以器=2 -17分 19.(17分) 0因为离心常为故，手5 3 -1分 又E3,0)是C上一点，所以a=3 -2分 所以c=6, 3分 b2-3-- -4分 椭圆方程为女+ 一=1，极线方程为x=3 5分 93 (2)①由题意可知PQ的斜率不为0，设PQ:x=m+1 设P(x,y),Q(x2,2)A(-3,0),B(3,0) {8,→(0m2+3)y2+2mwv-8=0 -7分 2m 8 +3=- m2+35= 9分 m2+3 .myy2=4(y+2) =片4-3=m,-2-my2-2y=40y+)-29 10分 k2x+3y2(my+4)2my2+4y24(y+y2)+4y2 2(%+2y2)1 4y+2y2)2 -11分 ②根据①结果，可设k=m则k2=2m -12分 AP:y=m(x+3)…(1) -13分 BQ:y=2m(x-3)…(2) -14分 联立(1)(2)可得：x=9,y=12m. --15分 故点M(9,12m),易知点M恒在x=9上 -17分第Ⅰ卷（选择题，共 58分） 一、选择题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．) 1. 已知直线倾斜角为 150°,则直线的斜率为 A． 3 B． 3 C． 3 3 D． 3 3  2. 直线 2 −  + 3 = 0 与 +  − 1 = 0 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 A．(1,5) B．(−1,−1) C．(−1,1) D．(−2,−1) 3. 设 1 2 3, ,e e e 是单位正交基底，已知向量在基底 , ,a b c 下的坐标为  3,4,5 ，其中  = 1 + 2， = 2 + 3， = 1 + 3，则向量在基底 1 2 3, ,e e e 下的坐标是 A．(8,7,9) B．(7,8,9) C．(8,9,10) D．(9,10,8) 4. 已知双曲线 2 2 : 1( 0) 3 2 y xC m m m     的实轴长等于虚轴长的 2倍，则双曲线的标准 方程为 A． 2 2 1 8 2 x y   B． 2 2 1 11 3 x y   C． 2 2 1 8 2 y x   D． 2 2 1 11 3 y x   5. 现将包含球 A的 5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球. 其中小球 A不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是 A．180 B．168 C．120 D．90 6. 过点 P(2,3)的直线 l与圆 Q:(x−3)2+(y−1)2=1相切，则直线 l的方程为 A．3x+4y−18=0 B．x=2或 4x+3y−17=0 C．4x+3y−17=0 D．x=2或 3x+4y−18=0 7. 已知集合 M={-2，-1，0，1，3}，直线 Ax+By+C=0中的 A，B，C是取自集合 M中 的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为 A．40 B．32 C．24 D．23 8. 已知点 P在双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     上， P 到两渐近线的距离分别为 1d ， 2d ， F为双曲线的一个焦点，且 F到双曲线渐近线的距离为 3d ，若 2 1 3 1 32 d d d 恒成立， 则双曲线C的离心率的最小值为 A． 2 B． 3 C．2 D． 5 二、选择题(本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分．) 9. 已知圆 P：x2+y2+2y=0与圆 Q：x2+y2+4x=0交于 A，B两点，则 A．两圆有 2条公切线 B．圆 P与圆 Q的公共弦所在直线的方程是 2y x C． 2 5|AB|= 5 D．四边形 PAQB的面积为 2 10.如图，在正四棱柱 − 1 11 1中，1 = 2 = 2，点 在线段 1上运动，则下列结论正确的是 A．三棱锥 − 1 的体积为定值 B．||的最小值为 3 5 5 C．若点运动到线段 1中点，则异面直线与 1 所 成角的正切值是 2 D．存在点，使直线1 ⊥平面11 成立 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线 对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛 物线的焦点. 已知抛物线 2 8y x 的焦点为 F，O为坐标原点，一束平行于 x轴的光线 1l 从点   2, 8P m n n m 射入，经过抛物线上的点  1 1,A x y 反射后，再经抛物线上另 一点  2 2,B x y 反射后，沿直线 2l 射出，则下列结论中正确的是 A． 1 2 4x x  B． 1 1 1 2|AF| |BF|   C． 2|AF| |BF| 的最小值为6 4 2 D．直线 1l 与 2l 间的距离最小值为 4 M 学 校 姓 名 考 号 装 订 线 高二数学 第 1 页（共 4页） 高二数学 第 2 页（共 4页） 2025 年 1 月葫芦岛市普通高中期末考试 高二数学 时间 :120 分钟 满分：150 分 注意事项： 1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号， 并核对条形码上的信息。确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置。 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动 , 用橡皮擦干净后 , 再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上各题目规定答题区域内 ,超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效。 第Ⅰ卷（选择题，共 58 分） 高二数学 第 3 页（共 4页） 高二数学 第 4 页（共 4页） 第Ⅱ卷（非选择题，共 92分） 三、填空题(本大题共 3小题， 每小题 5分，共 15 分．) 12. 在平行六面体 −1 11 1中，以顶点为端点的三条棱长均为 1，∠  = 90∘，且 ∠ 1 = ∠ 1 = 45°，则线段1的长度为_______. 13. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的右焦点为 F ，短轴长为 2 3，点M 在椭圆上， 若 | |MF 的最大值是最小值的 4倍，则椭圆的焦距为_______. 14. 已知正三棱柱  − 1 11的底面边长为 3，线段是该三棱柱内切球的一条直 径，点是该正三棱柱表面上的动点，则 ⋅ 的取值范围是_______. 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（13分） 已知  6 2 60 1 2 62 1x a a x a x a x     … ， （1）求 6a 的值； （2）求 1 3 5a a a  的值； （3）求  62 1x 展开式中系数的最大值. 16.（15分） 如图，在正三棱柱  − 1 11中， 是棱的中点． （1）证明： 1//平面 1 ； （2）若 = 1, 1 = 2，求直线 1与平面 1 所成角 的正弦值． 17.（15分） 已知抛物线 C： )0(22  ppyx 经过点（2,2）. （1）求抛物线 C的标准方程； （2）若 D（1，1），且 Q在抛物线上，求 QFQD  的最小值； （3）若过点 M（0，3)的直线 l与圆 N： 2 2( 1) 1x y   相切，且直线 l与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，求  OAB (O为坐标原点）的面积. 18．（17分） 如图,在四棱锥 −   中, ⊥平面 ,∠  = 3  ， 底面  为直角梯形，AB//DC， ⊥ ， = 2  = 4，  = 2 2 . （1）证明：平面  ⊥平面 ； （2）求点到平面 的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面 与平面 所成角（即两个平面相 交时所成的锐二面角）的余弦值为 7 9 ，若存在，求出   的值；若不存在，说明理由． 19.（17分） 阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线 G： 2 2 2 2 0Ax Cy Dx Ey F     ， 则称点 P( 00x y， )和直线 l：    0 0 0 0 0Ax x Cy y D x x E y y F       是圆锥曲线 G的 一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以 0x x替换 2x ，以 0 2 x x 替换 x(另一变 量 y也是如此)，即可得到点 0 0( )P x y， 对应的极线方程.特别地，对于椭圆 2 2 2 2 1 x y a b   ， 与点 0 0( )P x y， 对应的极线方程为 0 02 2 1 x x y y a b   ；对于双曲线 2 2 2 2 1 x y b b   ，与点 0 0( )P x y， 对应的极线方程为 0 0 2 2 1 x x y y a b   ；对于抛物线 2 2y px ，与点 0 0( )P x y， 对应 的极线方程为  0 0y y p x x  .即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的 关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当 P在圆锥曲线 G上时，其极线 l是曲线 G在点 P处的切线； ②当 P在 G外时，其极线 l是曲线 G从点 P所引两条切线的切点所确定的直线 （即切点弦所在直线）； ③当 P在 G内时，其极线 l是曲线 G过点 P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆 C ：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的离心率为 3 6 ，E(3,0)是C上一点. （1）求椭圆C 的标准方程并写出与点 E对应的极线方程； （2）设 A，B分别为椭圆 C 的左、右顶点，过点 D (1,0)作斜率不为 0的直线 l，l 与椭圆C 交于 P，Q两点，直线 AP与直线 BQ交于点M ，记 AP的斜率为 k1，BQ的斜 率为 k2. 证明：① 1 2 k k 为定值；②点M 在定直线上.