17.5 实践与探索-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

17.5 实践与探索 课程标准 学习目标 ①一次函数的应用 ②反比例函数的应用 1. 掌握一次函数中与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系； 2. 掌握反比例函数的应用． 知识点01 一次函数的应用 1.描述线性关系：一次函数可以用来描述两个变量之间的线性关系，例如速度、时间和距离的关系，即s=vt（s为距离，v为速度，t为时间）。 2.解决实际问题：一次函数在解决实际问题中有着广泛的应用，如购物问题、工程问题、行程问题等。通过设立一次函数模型，可以方便地求解出问题的解。 （1）购物问题：例如，在商场购物时，不同商场有不同的优惠方案，可以通过设立一次函数模型，比较不同方案下的花费，从而选择最优方案。 （2）工程问题：在工程中，常常需要计算完成某项任务所需的时间、成本等，这些都可以通过设立一次函数模型进行求解。 （3）行程问题：在行程问题中，可以通过设立一次函数模型，描述速度、时间和距离之间的关系，从而求解出行驶时间、距离等问题。 3.一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：一次函数的图像与x轴的交点即为一元一次方程的解。 （2）一次函数与一元一次不等式的关系：通过一次函数的图像，可以帮助我们找到一元一次不等式的解集。 知识点02 反比例函数的应用 在解决实际问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决。例如，已知一艘轮船上装有货物，轮船到达目的地后开始卸货，可以设平均卸货速度为v，卸完这批货物所需的时间为t，然后建立v关于t的反比例函数关系式，进而求解相关问题。 题型01 两直线的交点问题 【典例1】如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在y轴的正半轴上，若点B关于直线的对称点恰好落在x轴上，则直线所对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质、勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意易得，连接，然后可得，设点，则，进而根据勾股定理可得，最后根据待定系数法可求函数解析式． 【详解】解：令时，则有，解得：； 令时，则有， ∴， ∴， 连接，如图所示： ∵点B关于直线的对称点恰好落在x轴上， ∴，， ∴， 设点，则， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把点A坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 故选D． 【变式1】两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由甲地到乙地，他们的行驶路程与行驶时间之间的关系如图所示．已知甲、乙两地的距离是，则下列说法错误的是（    ） A．行驶时间是自变量 B．自行车行驶了时，摩托车在自行车的前面 C．摩托车在途中行驶的速度是 D．自行车比摩托车晚到 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用．根据自变量的定义即可判断A；当时，比较二者路程的大小即可判断B；根据速度=路程÷时间计算即可判断C；根据图象计算即可判断D． 【详解】解：∵行驶路程随行驶时间的变化而变化， ∴行驶时间是自变量， ∴A正确，不符合题意； 由图象可知，当时，自行车行驶的路程大于摩托车行驶的路程， ∴自行车行驶了时，自行车在摩托车的前面， ∴B错误，符合题意； 摩托车在途中行驶的速度是， ∴C正确，不符合题意； 由图象可知，自行车比摩托车晚到的时间为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为，过作直线交x轴于点C，可表示出直线的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出的长，由条件可得到，可得到关于a的方程，可求得P点坐标． 【详解】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴P点纵坐标为4， 又P点在直线上，把代入可求得， ∴P点坐标为； 当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2， 设P点坐标为，设直线的解析式为， 把A、P坐标代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令可得， 解得：， ∴C点坐标为， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 则， ∴P点坐标为， 综上可知，P点坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定、分类讨论思想等知识点．确定出P点的位置，由条件得到或是解题的关键． 【变式3】直线与直线的图像如图，若点是直线图像上一点，点是直线图像上一点，满足轴，且，则点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．根据轴，设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵轴，， 设，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 则当时，，当时，； ∴点M的坐标为或． 故答案为：或． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何问题，用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数与图形的面积问题是解题的关键． （1）把点的坐标代入计算，求得点C的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先求出两直线与y轴的交点坐标，即可利用三角形面积公式求解； （3）设点P的坐标为，再用三角形面积公式列出方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：把点的坐标代入，得， ， 设直线的表达式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：由题意及（1）可知，， ， 的面积为； （3）解：设点P的坐标为， 当 的面积等于的面积的一半时， ， 解得或， 点P的坐标为或． 题型02 一次函数与二元一次方程组 【典例1】已知在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与（、为常数，且）交于点，则关于、的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：∵直线（、为常数，且）与（、为常数，且）交于点， ∴关于、的二元一次方程组的解为． 故选A． 【变式1】如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了一次函数与二元一次方程组，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：由图知：函数和的图象交于点 则同时满足两个函数的解析式， ∴是二元一次方程组的解． 故选：B． 【变式2】一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系． 【详解】解：把代入得：， 解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 【变式3】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解． 【变式4】在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． (1)由题意可知， ______， ______； (2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； (3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2，2 (2)画图见解析，y随x的增大而增大(不唯一) (3) 【分析】(1)把点与点分别代入解析式，即可求得； (2)通过列表—描点—连线的方法即可画出函数图象，再根据函数图象写出一条性质即可； (3)当直线经过点时，可求得t的值，再结合图象即可解答． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， 把点代入，得，解得， 故答案为：2，2； （2）解：函数解析为， 列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 3 6 9 12 … 描点、连线如下： 由图象可知：y随x的增大而增大(不唯一)； （3）解：当直线经过点时， 得，解得， 即此时该函数与y轴的交点坐标为， 画图如下： 由图象可知：当时，直线与这个函数的图象有两个交点． 【点睛】本题考查了坐标与图形，画函数图象及函数的性质，一次函数图象交点问题，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 题型03 一次函数与一元一次方程 【典例1】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 【变式1】若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 【变式2】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式3】如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系；熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 当时，一次函数和正比例函数的图象相交于点P，从而可联立得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】一次函数与正比例函数的图象交于点 当时， 解方程得 故答案为： 【变式4】我们通过学习一次函数知道研究函数的一般路径是：通过生活实例抽象出函数模型，再用描点法画出函数图象，结合函数图象从分布、增减性和最值等方面研究函数的性质，最后和相关知识联系起来解决实际问题．请结合一次函数的学习经验探究函数的图象和性质． … 0 1 2 3 … y … 2.5 1.5 1 2 2.5 … (1)列表并写出表中、的值，其中_____、_____． (2)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：_____； 结论2：_____． (4)写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)2、 (2)图见解析 (3)图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大 (4)，过程见解析 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质． （1）利用求函数值的方法解答即可； （2）利用描点法画函数图象即可； （3）根据图象写出两条结论即可； （4）根据和的图象交点即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：， （2）如图，即为所求， （3）由图象可知，图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大， 故答案为：图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大 （4）如图，根据和的图象交点为，得到方程的解为， 题型04 一次函数与一元一次不等式 【典例1】如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：A． 【变式1】一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息． 直接从一次函数的图象上即可得到答案． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， ∴不等式的解集为． 故选：D． 【变式2】如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图象，得到直线交轴于点为，结合可得到． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到直线交轴于点为， 由， 故． 故答案为：． 【变式3】如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 【变式4】探究一次函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出的数图像，然后观察分析图像特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出的数的图像，并探究其性质．列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a 0 1 b 3 …    (1)直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图像． ， ． (2)观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： ①该函数的图像关于直线对称； ②当时，该函数有最小值，最小值是； ③当时，y随着x的增大而减小； ④当时， 其中正确的有 （写出所有正确命题的序号） (3)结合图像，直接写出不等式的解集 ． 【答案】(1)，2，图像见详解 (2)①② (3) 【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键； （1）把和分别代入函数解析式进行求解即可，然后根据描点法可作出函数图像； （2）根据（1）中函数图像可进行求解； （3）在（1）中图像画出直线的图像，然后根据图像可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有，当时，则有， ∴， 由表格可得图像如下所示： +   （2）解：观察函数的图像，可知： 该函数的图像关于直线对称； 当时，该函数有最小值，最小值是； 当时，y随着x的增大而减小； 当时，或； 综上所述：正确的结论为①②； 故答案为①②； （3）解：由题意得：不等式即为的解集， ∴在（1）中坐标系中，画出直线的图像，如图所示：    由图像可知：不等式的解集为； 故答案为． 题型05 一次函数的实际应用 【典例1】电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示．下列说法不正确的是（   ） A． B．可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小 C．当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧 D．当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出一次函数的解析式，再结合图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将，代入得， 解得：， ∴， 故，可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小，当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧，故ABC正确； 当时，， 解得：， 故当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为75千克，D错误， 故选：D． 【变式1】经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径x（m） … … 树高y（m） … 20 22 24 26 28 … 已知树高y是其胸径x的一次函数．如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 设，将，代入解方程组，得到，把代入，得． 【详解】解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴； 当时， ． ∴不能满足y与x的函数关系式的是． 故选：C 【变式2】如图，漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表： 记录时间 0 1 2 3 4 5 6 … 水位读数 3 3.4 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 … 在本次实验中，当水位读数为时，此时记录时间为 ． 【答案】20 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．观察表格中记录时间和水位读数的数据，可以发现水位读数随着时间的增加而均匀增加，相邻时间间隔（1分钟）内水位读数的差值是固定的，所以它们之间是一次函数关系．我们可以设函数关系式为（为斜率，为截距），然后利用表格中的两组数据求出和的值，进而得到函数关系式，最后将代入函数关系式求出的值． 【详解】解：由表格数据可设，将和分别代入可得： ， 将代入，可得， 函数关系式为， 当时，代入函数关系式可得： ， 解得：． 故答案为：20． 【变式3】现有一个容器，在注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，在容器注满水之前，发现容器内的水面高度是时间的一次函数，将容器内的水面高度与时间记录如下表： 0 5 10 25 … 10 11 12 15 … 则容器内的水面高度关于时间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，设与的关系式为，然后将，分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值，从而求得函数解析式，利用待定系数法确定函数解析式是解题的突破口． 【详解】解：设与的关系式为， 将，分别代入，得 ． 解得． 故该一次函数解析式为：． 故答案为：． 【变式4】【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高； 素材二：用18000元购买种书架的数量比用8000元购买种书架的数量多7个； 素材三：种书架数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 (1)求出两种书架的单价； (2)设购买种书架个，购买总费用为元，求与的函数关系式，并写出费用最少时的购买方案． 【答案】(1)种书架的单价为1000元，则种书架的单价为1200元 (2)，费用最少时的购买方案为：购买5个种书架，15个种书架 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可； （2）购买a个A种书架，则购买个B种书架，由题意知，，可求得；，即，由，可知当时，w最少，然后作答即可． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，依题意得． ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解 ∴元． 答：种书架的单价为1000元，则种书架的单价为1200元． （2）解：购买个种书架，则购买个种书架，依题意得． ， 解得：． ∵， ∴， ∵，随着增大而增大， 又∵，且正整数， ∴．当时，有最小值，此时． 答：费用最少时的购买方案为：购买5个种书架，15个种书架． 题型06 一次函数与反比例函数结合 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数，且）的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选A． 【变式1】若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者一致，但不满足，故此项错误，不符题意； B、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者不一致，且不满足，，故此项错误，不符题意； C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者一致，且满足，则此项正确，符合题意； D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者不一致，则此项错误，不符题意； 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围 ．    【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象解不等式，采用数形结合的思想是解此题的关键．结合图象即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，的的取值范围或． 故答案为：或． 【变式3】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是 ．    【答案】或/或 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据，则反比例函数图象位于一次函数图象下方，进而结合图象得出答案． 【详解】解：如图所示：一次函数与反比例函数的图象交于点． ∴关于x的不等式的解集是或； 故答案为：或． 【变式4】如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据点，先确定反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式确定点，最后代入确定一次函数的解析式，计算即可． （2）根据图象交点坐标为，，结合，利用交点的横坐标，直接写出解集即可． （3）根据题意，设，则，，计算，根据的面积为3，得到，求点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， ∴直线解析式为． （2）解：根据（1）得图象交点坐标为，， ∵， ∴， 根据图象，得． （3）解：根据题意，设，则，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，图象交点的意义，根据图象求不等式的解集，用点的坐标计算三角形的面积，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，坐标表示线段是解题的关键． 题型07 行程应用 【典例1】一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（   ） ①两地相距千米；     ②出发小时，货车与小汽车相遇； ③出发小时，小汽车比货车多行驶了千米； ④小汽车的速度是货车速度的倍． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，由函数图象即可判断①②；再根据函数图象可知出发小时，小汽车到达地，即可求出小汽车和货车的速度，即可判断③④，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，两地相距千米，出发小时，货车与小汽车相遇，故①②正确； 由图象可知，出发小时，小汽车到达地， ∴小汽车的速度为千米小时， ∴货车的速度为千米小时， ∴出发小时，小汽车比货车多行驶了千米，故③正确； ∵小汽车的速度为千米小时，货车的速度为千米小时， ∴小汽车的速度是货车速度的倍，故④正确； 综上，说法中正确的是①②③④， 故选：． 【变式1】随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．客人距离厨房门口 B．慧慧比聪聪晚出发 C．聪聪的速度为 D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象求出聪聪的解析式，结合图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由图象知，客人距离厨房门口，选项说法正确，故不符合题意； B、由图象得，慧慧比聪聪晚出发，选项说法正确，故不符合题意； C、由图象得，慧慧提速前的速度是，则慧慧提速后速度为， 故提速后慧慧行走所用时间为：， ∴， ∴聪聪的速度为，选项说法不正确，故符合题意； D、∵聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴，解得， ∴的解析式为， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， ∵当时，，， ∴； ∵， ∴当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为， ∴选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了 h． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法分别求出大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式、小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式，当两车相遇时，两函数值相等，据此列关于的方程并求解即可． 【详解】解：设大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为为常数，且， 将坐标，代入， 得， 解得， 大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为； 由题意可知，当时，小轿车从乙地返回到达甲地， 设小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为、为常数，且， 坐标和分别代入， 得， 解得， 小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为， 当在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，得， 解得， 小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了． 故答案为：15． 【变式3】货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与x之间的函数关系．则以下结论中，所有正确结论的序号为 ①轿车行驶的速度为； ②货车行驶的速度为； ③线段所在直线的函数表达式为； ④两车出发2小时或4小时后相距． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键． 根据图形可得轿车行驶（千米），用路程除以时间可得轿车的速度计可以判断①， 根据图形可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②； 设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可判断③； 待定系数法求得解析式，根据当轿车休息前与货车相距时，当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④． 【详解】解：由图象可得，轿车行驶（千米），轿车的速度为：，故①正确； 由图象可得，货车行驶的速度为：，故②错误； 由题意可得所在直线为关于x的正比例函数， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得， ∴； 则时，， ∴点的坐标为， ∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需． ∴点坐标为：． 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入得： ， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为，故③正确； 设段的函数解析式为， 将代入得： ， 解得， ∴． 当轿车休息前与货车相距时，有， ， 解得； 当轿车休息后与货车相距时，有， ， 解得． 即两车出发小时或小时后相距，故④错误； 综上分析可知：正确说法有①③， 故答案为：①③． 【变式4】为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是______米/秒，乙无人机的速度是______米/秒； (2)线段对应的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间． 【答案】(1)6，3 (2) (3)1或11或17秒 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度=路程÷时间计算即可； （2）根据时间=路程÷速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可． 【详解】（1）甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． （2）乙无人机飞行段用时（秒）， （秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． （3）当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为； 乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得， 解得（不符合题意，舍去）或； 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得， 解得， ∴当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间为1秒或11秒或17秒． 1．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点的面积为4，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义可知， 的面积，再根据图象所在象限求出的值即可． 【详解】解：依据比例系数的几何意义可得，的面积， 即 ， 解得， 由于函数图象位于第一象限， 故 故选: C． 2．已知点，点和均在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．先判断出反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点在第二象限，； ，在第四象限，， ． 故选：B． 3．如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定与性质；当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，进而得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 【详解】解：当线段最短时，， ∵直线为， ∴当时，；当时，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 作于点H， 则， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：C． 4．已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，其图象如图所示．小敏同学想通过矫正治疗近视，眼镜的度数不超过度，则她佩戴眼镜的焦距应满足（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 设，待定系数法求得解析式，然后令，代入反比例函数，求得k的值，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设， 将代入得， ， 当时，， 根据函数图象可知， 当时，， 故选：C． 5．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为48米的时刻不可能是（   ） A．4分钟 B．12分钟 C．16分钟 D．10分钟 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，解一元一次方程，根据题意得甲的路程与时间x的函数关系式为，乙的路程与时间x的函数关系式为，根据由甲、乙两人距地面的高度差为48米，得，分时，时和时三种情况，列出方程即可求解． 【详解】解：由图象可得，甲的路程为240米，时间为20分钟， 可得甲的速度为米/分钟， 当时，乙的路程为60米，时间为4分钟， 可得当时，乙的速度为米/分钟， 当时，由乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍， 可得当时，乙的速度为24米/分钟， 设甲的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴甲的路程与时间x的函数关系式为； 设在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得，， 解得，， ∴， 乙登到山顶共用时：（分钟）， 设在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得，， 解得 ∴在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 即：， 由甲、乙两人距地面的高度差为48米，得， 当时，， 解得； 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得， 综上所述，x的值为4或12或16，得不可能为10， 故选：D． 6．请写出一条与直线平行（不重合）的直线的函数表达式： ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平行线的两直线一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：一条与直线平行（不重合）的直线的函数表达式可以是（不唯一） 故答案为：（不唯一）． 7．将函数的图象沿轴向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：将函数的图图象沿轴向下平移2个单位， 所得图象对应的函数表达式为：， 故答案为： 8．若直线和的交点坐标为，则关于的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解．根据题意求出两直线交点坐标，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线和的交点坐标为， ∴， ∴交点坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．根据反比例函数中的几何意义，可得，再根据，可知，最后再根据反比例函数中的几何意义，即可得到答案． 【详解】解：设经过顶点的反比例函数解析式为 (k为常数，)． 斜边轴交轴于点， 点的纵坐标相等． ． ． ， ． ． ． 则经过顶点的反比例函数解析式为． 故答案为： ． 10．如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 11．小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．研究过程如下： 绘制函数的图象． 列表：表格中是的几组对应值． 0 1 2 0 4 3 描点：根据表中数值描出点，并补充描出点． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点． 请你帮助小明解决下列问题 (1)表格中________，并把图象补充完整； (2)探究函数的性质： 判断下列说法是否正确（正确的填√，错误的填）． ①函数值随的增大而减小．（　　） ②函数图象关于点对称．（　　） ③函数图象与直线没有交点．（　　） 【答案】(1)，图见解析； (2)①×，②√，③√． 【分析】本题主要考查函数图象的性质，理解表格信息，掌握描点、连线，函数图象性质是解题的关键． （1）根据题意，把代入计算得到，运用描点、连线的方法得到函数图象； （2）根据函数图象进行判定解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 描点，连线如图所示， （2）解：每一个分支上，函数值随的增大而减小，故①×； 根据图象得到，函数图象关于点对称，故②√； 根据图象得到，函数图象与直线没有交点，故③√； ∴答案为：①×，②√，③√． 12．某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ (3)小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 【答案】(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； (2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； (3)300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分别求出300元的套餐一和套餐二的健身次数，进而比较即可． 【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）解：办套餐一时，， 解得， 办理套餐二时，， 解得， ∵， ∴300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 13．为振兴乡村农产品发展，石板镇水果批发市场某农资联盟公司特引进甲、乙两种特产，由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过20吨．已知甲种特产的进价是每吨10万元，售价是每吨10.5万元；乙种特产的进价是每吨1万元，售价是每吨1.2万元． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为吨、吨 (2)该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为万元 【分析】问题主要考查了二元一次方程组及一次函数的应用，根据题意，找准等量关系，正确列二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设该公司一个月销售甲种特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元，可得，再根据一次函数的性质及甲种特产的销售量的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设该公司这个月销售甲、乙两种特产分别为吨、吨， 根据题意得， 解得， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为吨、吨； （2）解：设该公司一个月销售甲种特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而增大， 甲特产的销售量不超过20吨， ， 当时，取得最大值，最大值为， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为万元． 14．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位：）变化时，气体密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求密度ρ关于体积V的函数解析式； (2)当时，求二氧化碳的密度ρ； (3)当时，求V的取值范围． 【答案】(1) (2)二氧化碳的密度 (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）求出两个临界点对应的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设，把代入得：； ∴； （2）∵， 当时，， ∴二氧化碳的密度； （3）当时，； 当时，； ∴当， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出的解集__________． (3)若是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）根据函数图象写出一次函数在的上方的自变量取值范围，即可求解． （3）设点，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵两直线交点， 根据图象，的解集为， 故答案为：． （3）解：∵、 ∴ 设点，又 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 48 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.5 实践与探索 课程标准 学习目标 ①一次函数的应用 ②反比例函数的应用 1. 掌握一次函数中与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系； 2. 掌握反比例函数的应用． 知识点01 一次函数的应用 1.描述线性关系：一次函数可以用来描述两个变量之间的线性关系，例如速度、时间和距离的关系，即s=vt（s为距离，v为速度，t为时间）。 2.解决实际问题：一次函数在解决实际问题中有着广泛的应用，如购物问题、工程问题、行程问题等。通过设立一次函数模型，可以方便地求解出问题的解。 （1）购物问题：例如，在商场购物时，不同商场有不同的优惠方案，可以通过设立一次函数模型，比较不同方案下的花费，从而选择最优方案。 （2）工程问题：在工程中，常常需要计算完成某项任务所需的时间、成本等，这些都可以通过设立一次函数模型进行求解。 （3）行程问题：在行程问题中，可以通过设立一次函数模型，描述速度、时间和距离之间的关系，从而求解出行驶时间、距离等问题。 3.一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：一次函数的图像与x轴的交点即为一元一次方程的解。 （2）一次函数与一元一次不等式的关系：通过一次函数的图像，可以帮助我们找到一元一次不等式的解集。 知识点02 反比例函数的应用 在解决实际问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决。例如，已知一艘轮船上装有货物，轮船到达目的地后开始卸货，可以设平均卸货速度为v，卸完这批货物所需的时间为t，然后建立v关于t的反比例函数关系式，进而求解相关问题。 题型01 两直线的交点问题 【典例1】如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在y轴的正半轴上，若点B关于直线的对称点恰好落在x轴上，则直线所对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由甲地到乙地，他们的行驶路程与行驶时间之间的关系如图所示．已知甲、乙两地的距离是，则下列说法错误的是（    ） A．行驶时间是自变量 B．自行车行驶了时，摩托车在自行车的前面 C．摩托车在途中行驶的速度是 D．自行车比摩托车晚到 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是 ． 【变式3】直线与直线的图像如图，若点是直线图像上一点，点是直线图像上一点，满足轴，且，则点坐标为 ． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标． 题型02 一次函数与二元一次方程组 【典例1】已知在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与（、为常数，且）交于点，则关于、的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2】一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【变式3】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【变式4】在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． (1)由题意可知， ______， ______； (2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； (3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围． 题型03 一次函数与一元一次方程 【典例1】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【变式3】如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则＝ ． 【变式4】我们通过学习一次函数知道研究函数的一般路径是：通过生活实例抽象出函数模型，再用描点法画出函数图象，结合函数图象从分布、增减性和最值等方面研究函数的性质，最后和相关知识联系起来解决实际问题．请结合一次函数的学习经验探究函数的图象和性质． … 0 1 2 3 … y … 2.5 1.5 1 2 2.5 … (1)列表并写出表中、的值，其中_____、_____． (2)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：_____； 结论2：_____． (4)写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 题型04 一次函数与一元一次不等式 【典例1】如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 【变式3】如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【变式4】探究一次函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出的数图像，然后观察分析图像特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出的数的图像，并探究其性质．列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a 0 1 b 3 …    (1)直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图像． ， ． (2)观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： ①该函数的图像关于直线对称； ②当时，该函数有最小值，最小值是； ③当时，y随着x的增大而减小； ④当时， 其中正确的有 （写出所有正确命题的序号） (3)结合图像，直接写出不等式的解集 ． 题型05 一次函数的实际应用 【典例1】电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示．下列说法不正确的是（   ） A． B．可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小 C．当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧 D．当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克 【变式1】经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径x（m） … … 树高y（m） … 20 22 24 26 28 … 已知树高y是其胸径x的一次函数．如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表： 记录时间 0 1 2 3 4 5 6 … 水位读数 3 3.4 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 … 在本次实验中，当水位读数为时，此时记录时间为 ． 【变式3】现有一个容器，在注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，在容器注满水之前，发现容器内的水面高度是时间的一次函数，将容器内的水面高度与时间记录如下表： 0 5 10 25 … 10 11 12 15 … 则容器内的水面高度关于时间的函数关系式为 ． 【变式4】【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高； 素材二：用18000元购买种书架的数量比用8000元购买种书架的数量多7个； 素材三：种书架数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 (1)求出两种书架的单价； (2)设购买种书架个，购买总费用为元，求与的函数关系式，并写出费用最少时的购买方案． 题型06 一次函数与反比例函数结合 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数，且）的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围 ．    【变式3】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是 ．    【变式4】如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若的面积为3，求点P的坐标． 题型07 行程应用 【典例1】一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（   ） ①两地相距千米；     ②出发小时，货车与小汽车相遇； ③出发小时，小汽车比货车多行驶了千米； ④小汽车的速度是货车速度的倍． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．客人距离厨房门口 B．慧慧比聪聪晚出发 C．聪聪的速度为 D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 【变式2】一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了 h． 【变式3】货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与x之间的函数关系．则以下结论中，所有正确结论的序号为 ①轿车行驶的速度为； ②货车行驶的速度为； ③线段所在直线的函数表达式为； ④两车出发2小时或4小时后相距． 【变式4】为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是______米/秒，乙无人机的速度是______米/秒； (2)线段对应的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间． 1．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点的面积为4，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知点，点和均在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，其图象如图所示．小敏同学想通过矫正治疗近视，眼镜的度数不超过度，则她佩戴眼镜的焦距应满足（　　）． A． B． C． D． 5．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为48米的时刻不可能是（   ） A．4分钟 B．12分钟 C．16分钟 D．10分钟 6．请写出一条与直线平行（不重合）的直线的函数表达式： ． 7．将函数的图象沿轴向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为 ． 8．若直线和的交点坐标为，则关于的二元一次方程组的解为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为 ． 10．如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ． 11．小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．研究过程如下： 绘制函数的图象． 列表：表格中是的几组对应值． 0 1 2 0 4 3 描点：根据表中数值描出点，并补充描出点． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点． 请你帮助小明解决下列问题 (1)表格中________，并把图象补充完整； (2)探究函数的性质： 判断下列说法是否正确（正确的填√，错误的填）． ①函数值随的增大而减小．（　　） ②函数图象关于点对称．（　　） ③函数图象与直线没有交点．（　　） 12．某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ (3)小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 13．为振兴乡村农产品发展，石板镇水果批发市场某农资联盟公司特引进甲、乙两种特产，由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过20吨．已知甲种特产的进价是每吨10万元，售价是每吨10.5万元；乙种特产的进价是每吨1万元，售价是每吨1.2万元． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 14．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位：）变化时，气体密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求密度ρ关于体积V的函数解析式； (2)当时，求二氧化碳的密度ρ； (3)当时，求V的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出的解集__________． (3)若是轴上一点，且，求点的坐标． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$