17.4 反比例函数-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

17.4 反比例函数 课程标准 学习目标 ①反比例函数 ②反比例函数的图象和性质 1. 掌握反比例函数的定义； 2. 掌握画反比例函数图象的方法． 3. 熟练反比例函数的增减性和对称性； 知识点01 反比例函数 一般地，形如y=k/x（k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 知识点02 反比例函数的图象和性质 1、反比例函数的图像特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 2、反比例函数的性质： 当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。 题型01 反比例函数的定义 【典例1】下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义，形如即为反比例函数． 【详解】解：是的反比例函数的是， 故选D． 【变式1】平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】已知反比例函数，当时， ． 【答案】/ 【分析】此题考查了反比例函数的性质，对于已知自变量的值求函数的值的问题，代入求值即可．此题可以直接把代入反比例函数即可得到相应的值， 【详解】解：当时，，则． 故答案为：． 【变式3】若反比例函数的图象过点，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一次方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 (k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即. 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为：2. 【变式4】已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1)比例系数是 (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数可知比例系数为； （2）解：把代入得：； （3）解：把代入得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 题型02 用反比例函数表示数量关系 【典例1】若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点，代数式求值．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 由题意知，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式1】下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．圆的面积和半径 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【答案】D 【分析】本题考查了反比例的意义，掌握“两个相关联的量对应的乘积一定，则这两个量成反比例关系”知识点是解题的关键．根据成反比例的意义，对选项逐一分析判定即可． 【详解】解：读一本书，已读的页数未读的页数总页数（一定），和一定，不满足成反比例的关系，故A选项错误； 长方形的周长一定，则长方形的长与宽之和一定，不满足成反比例的关系，故B选项错误； 圆的面积和半径满足公式，显然不满足成反比例的关系，故C选项错误； 平行四边的面积一定，则它的底和高的乘积一定，满足成反比例的关系，故D选项正确． 故选：D． 【变式2】已知三角形的面积是12cm²，则三角形的高cm与底cm的函数关系式是 ，这时是的 . 【答案】 反比例函数 【分析】根据等量关系“三角形的面积=×底边×底边上的高”列出函数关系式求解即可. 【详解】解：∵， ∴三角形的高h与底a的函数关系式是h=， 由于面积为定值，故h是a的反比例函数． 故答案为 ；反比例函数． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 【变式3】若一个水池内蓄水40m³，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m³，则与之间的函数关系式是 ；当m³时， . 【答案】 20h 【分析】依据放净全池污水所需的时间为h，每小时的放水量为m³，即可得到与之间的函数关系式；将m³函数关系式中，求出T的值即可． 【详解】解：由题可得，与之间的函数关系式为： ， 当m³时，=20h． 故答案为  ； 20h. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解答本题的关键. 【变式4】已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 题型03 反比例函数的图象 【典例1】函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 【变式1】根据所学知识，你推测函数的函数图象最可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象类型知识的推理，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式进行推理即可求解． 【详解】解：∵在函数中，在分母上， ∴， 当时，，越大，的值越小； 当是，，越大，的值越小； ∴函数的图象形如反比例函数的图象， 故选：A ． 【变式2】已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】根据平方的非负性得出，再分析反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象位于第二，第四象限内，且每一象限内y随x的增大而增大． ∵点，，在反比例函数图象上， 且， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据反比例函数图象的性质比较反比例函数值的大小，根据平方的非负性判断反比例函数图象所处的象限，并熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【变式3】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，从大到小的排列是 ． 【答案】y3＜y1＜y2 【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中k＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵−3＜0，−1＜0， ∴点，位于第二象限， ∴y1＞0，y2＞0， ∵−3＜−1＜0， ∴0＜y1＜y2， ∵2＞0， ∴点位于第四象限， ∴y3＜0， ∴y3＜y1＜y2． 故答案为：y3＜y1＜y2． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 【变式4】参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)减小；右，； 【分析】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． （1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得 ， ， 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称. 故答案为： 减小；右，； . 题型04 反比例函数的增减性 【典例1】已知三点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值判断增减性即可得出结论． 【详解】解：由题意反比例函数中，， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在各个象限内，y随x的增大而增长， ∵， ∴在第二象限，在第四象限， ∴， 故选：B 【变式1】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟知反比例函数的增减性和反比例系数的关系． 由得到函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵反比例系数， ∴函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大， ∵， ∴． 故选：D ． 【变式2】已知反比例函数，当时，的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由可知图像分布在第一，三象限，当时，有部分图像在第一象限，有部分图像在第三象限，分别表示出的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，第三象限中；第一象限图象中，； 故答案为：或． 【变式3】若点与点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是 （填“”或“”） 【答案】 【分析】考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，又，可得到与点是第一象限图象上的两点，可得． 【详解】解：∵， 函数图象位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，， 又∵， ， 故答案为：． 【变式4】已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可求解； （2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 题型05 反比例函数的对称性 【典例1】如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质是解题的关键．据此进行判断即可． 【详解】解：A．∵，即与异号， ∴点，在第一、三象限或第二、四象限， ∴，原说法正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴，或，， ∴，则或，则， ∴反比例函数的图像在第一、三象限， ∴，原说法错误，故此选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴， ∴、关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； D．若，则反比例函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据对称性可得，从而可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，勾股定理的应用，坐标与图形，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键． 【变式3】如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，根据一个交点结合对称性即可求得另一个交点． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为． 【变式4】如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先把代入，得，从而得，再把代入，求出k值即可； （2）由反比例函数的对称性可知，根据图像即可求得不等式的解集； （3）利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得与轴的交点的坐标和，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由反比例函数的对称性可知， 不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，轴于D， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将点坐标代入得，解得， 直线的解析式为， 令得， 设交x轴于F，过点A作轴于E，如图， ， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，坐标与图形，勾股定理，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．数形结合是解题的关键． 题型06 求反比例函数表达式 【典例1】点在反比例函数的图像上，则k值为（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故选：D． 【变式1】若反比例函数的图象经过点，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的待定系数法，掌握待定系数法是解题的关键．将点代入求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：B． 【变式2】已知一个反比例函数的图象经过和两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设反比例函数的表达式为，依据反比例函数的图象经过点和，即可得到，进而得出的值． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象经过点和， ， 解得， 故答案为：． 【变式3】若点，点均在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将点，点代入反比例函数中，由相等得到关于的一元一次方程求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点，点均在反比例函数的图象上， ，解得， 故答案为：． 【变式4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，且点的横坐标为6． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，连接，求△ABC的面积； (3)在第一象限内，直接写出不等式成立的的取值范围． 【答案】(1)反比例函数为 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）先根据反比例函数求得点的坐标，作轴于，轴于，然后利用梯形的面积减去两个三角形的面积即可求得的面积． （3）根据图象的位置关系和交点横坐标写出答案即可． 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积计算，将三角形的面积进行转化求解是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入， ． ， ∵反比例函数的图象过点， ， 反比例函数为； （2）解：把代入， ， ， ∵在反比例函数的图象上，则 ， ∴， 作轴于，轴于， （3）由图象可得，在第一象限内，不等式成立的的取值范围是． 题型07 反比例函数中的面积问题 【典例1】如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为．据此列式解答即可． 【详解】解：如图，设交轴于点， ∵四边形是矩形，且顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵矩形面积为， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 【变式2】如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点， ，， ， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的边轴，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，边的中点D在x轴上，的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．连接、，设交轴于点，由点D是的中点可得，再由轴可得，再根据反比例函数系数的几何意义可得，进而得到，再根据反比例函数系数的几何意义即可解答． 【详解】解：连接、，设交轴于点， 的面积为8，点D是的中点， ， 轴， ，轴， ， 点A在反比例函数的图象上， 设点，且， ， ， 点B在反比例函数的图象上， 设点，且， ， 解得：或， 反比例函数的图象经过第四象限， ， ． 故答案为：． 【变式4】如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，当时，的取值范围为______； (3)如图，轴正半轴上有一点，当四边形的面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标， （1）依据反比例函数的图象过、两点，即可得到、，代入一次函数，可得直线的解析式； （2）当时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即可得到当时，x的取值范围是； （3）过点B作轴于点E，过点A作轴于点F，设P点坐标为，根据四边形的面积为5，利用割补法列出面积表达式，再解方程即可． 【详解】（1）解：、两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴、， 把、代入一次函数，可得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：观察函数图象，发现： 当时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图，过点B作轴于点E，过点A作轴于点F， 设P点坐标为，则， ∵、， ∴，，，， ∴，， ∵四边形的面积为5， ∴四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴点的坐标为． 1．下列四点中，位于反比例函数的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标一定满足反比例函数解析式． 将选项中的坐标分别代入解析式，逐项判断即可． 【详解】解：， ， A．, 不在反比例函数的图象上， 故该选项不符合题意； B．， 不在反比例函数的图象上， 故该选项不符合题意； C．， 在反比例函数的图象上， 故该选项符合题意； D．， 不在反比例函数的图象上， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 2．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键的关键 ． 根据反比例函数可得，图象经过第二、四象限，每个象限中，随的增大而增大，当时，，当时，，由此即可求解 ． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限，每个象限中，随的增大而增大，当时，，当时，， ∵， ∴，即， 故选：A ． 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到时，关于线段的长度，下列判断正确的是（   ） A．由大变小 B．由小变大 C．保持不变 D．有最小值 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数一次函数的交点关于原点对称是解题关键．根据一次函数过原点，的长度最小可得答案． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，当m的值由4逐渐减小到时，线段的长度先变小，再变大，当一次函数过原点时，的长度最小， 线段的长度有最小值． 故选：D． 4．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据反比例函数图象进过的象限得到，则一次函数解析式中一次项系数和常数项都大于1，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴， ∴函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴的交点的纵坐标大于1， 故选：A． 5．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解决本题的关键是利用三角形的面积求出，再根据反比例函数的解析式可得：，从而可求结果． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第一象限， ，， ， ， 又点是反比例函数图象上的一点， ． 故选：D ． 6．如图，反比例函数的图象经过点，矩形的面积为， ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握几何面积求反比例系数的方法是解题的关键． 根据矩形的面积为即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，反比例函数经过第二、四象限， ∴设， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， 解得，， 故答案为： ． 7．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查待定系数法求解析式，把点代入函数，即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 故答案为：2 8．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则a的值可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据当时，y随x的增大而减小列式求解即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴a的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，掌握一次函数与坐标轴的交点，几何图形面积的计算得到是解题的关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算可得，由此勾股定理可得，根据三角形面积的计算可得，代入一次函数即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ∴令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵过点作轴， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴在一次函数中， 解得，， 故答案为： ． 10．如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，连接，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 而， ． 故答案为：． 11．已知一个反比例函数为，求的值． 【答案】 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟记反比例函数的表示形式是解本题的关键． 12．参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 …    (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①减小；②右；2；③ 【分析】（1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴， 故答案为； （2）函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称； 故答案为：①减小；②右；2；③． 【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． 13．已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于M、N两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出中x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键． （1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标，进而求出结论； （2）由图直接解答； （3）将的面积转化为的面积即可． 【详解】（1）解： 点A在反比例函数上， ， 解得， 点A的坐标为， 又点B也在反比例函数上， ， 解得， 点B的坐标为， 又点A、B在的图象上， ， 解得， 一次函数的解析式为． （2）根据图象得：时，的取值范围为； （3）直线与x轴的交点为N， 当时，， 解得：， 点N的坐标为， ． 15．如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，与双曲线交于、两点，若点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)若点为轴上一动点，且，求的坐标； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，正确理解题意是解题的关键： （1）根据题意得出，，求解即可得出答案； （2）设，先得出与轴交点的坐标为，根据面积得出，求出，进而可得出答案； （3）根据图象可知，当或时，． 【详解】（1）解：∵点和点在直线和双曲线的图象上， ∴，， 解得， ，． （2）设， ∵ ∴与轴交点的坐标为， ， ， ， ， ， ∵， 的坐标为或， （3）由图象可得，当时，的取值范围为：或． 38 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.4 反比例函数 课程标准 学习目标 ①反比例函数 ②反比例函数的图象和性质 1. 掌握反比例函数的定义； 2. 掌握画反比例函数图象的方法． 3. 熟练反比例函数的增减性和对称性； 知识点01 反比例函数 一般地，形如y=k/x（k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 知识点02 反比例函数的图象和性质 1、反比例函数的图像特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 2、反比例函数的性质： 当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。 题型01 反比例函数的定义 【典例1】下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知反比例函数，当时， ． 【变式3】若反比例函数的图象过点，则m的值为 ． 【变式4】已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 题型02 用反比例函数表示数量关系 【典例1】若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ． 【变式1】下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．圆的面积和半径 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【变式2】已知三角形的面积是12cm²，则三角形的高cm与底cm的函数关系式是 ，这时是的 . 【变式3】若一个水池内蓄水40m³，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m³，则与之间的函数关系式是 ；当m³时， . 【变式4】已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 题型03 反比例函数的图象 【典例1】函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】根据所学知识，你推测函数的函数图象最可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【变式3】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，从大到小的排列是 ． 【变式4】参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 题型04 反比例函数的增减性 【典例1】已知三点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知反比例函数，当时，的取值范围为 ． 【变式3】若点与点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是 （填“”或“”） 【变式4】已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 题型05 反比例函数的对称性 【典例1】如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【变式1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【变式3】如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ． 【变式4】如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 题型06 求反比例函数表达式 【典例1】点在反比例函数的图像上，则k值为（   ） A．2 B． C．8 D． 【变式1】若反比例函数的图象经过点，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】已知一个反比例函数的图象经过和两点，则 ． 【变式3】若点，点均在反比例函数的图象上，则 ． 【变式4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，且点的横坐标为6． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，连接，求△ABC的面积； (3)在第一象限内，直接写出不等式成立的的取值范围． 题型07 反比例函数中的面积问题 【典例1】如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的边轴，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，边的中点D在x轴上，的面积为8，则 ． 【变式4】如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，当时，的取值范围为______； (3)如图，轴正半轴上有一点，当四边形的面积为5时，求点的坐标． 1．下列四点中，位于反比例函数的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到时，关于线段的长度，下列判断正确的是（   ） A．由大变小 B．由小变大 C．保持不变 D．有最小值 4．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，反比例函数的图象经过点，矩形的面积为， ． 7．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 8．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则a的值可以是 ． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，连接，，若，则的值为 ． 11．已知一个反比例函数为，求的值． 12．参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 …    (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 13．已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于M、N两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出中x的取值范围； (3)求的面积． 15．如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，与双曲线交于、两点，若点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)若点为轴上一动点，且，求的坐标； (3)当时，请直接写出的取值范围． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$