17.3 一次函数-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

17.3 一次函数 课程标准 学习目标 ①一次函数 ②一次函数的图象 ③一次函数的性质 ④求一次函数的表达式 1. 掌握一次函数和正比例函数的定义，； 2. 掌握画一次函数图象的方法． 3. 熟练一次函数的增减性并平移； 4. 掌握用待定系数法求一次函数表达式。 知识点01 一次函数 一次函数的标准形式是y=kx+b（其中k和b是常数，且k≠0）。x是自变量，y是因变量。即当x=0时，y的值。 知识点02 一次函数的图象 一次函数的图象是一条直线。 当k>0时，图象从左下方斜向右上方，表示函数随x的增大而增大； 当k<0时，图象从左上方斜向右下方，表示函数随x的增大而减小。 直线与y轴的交点坐标为（0，b）。 知识点03 一次函数的性质 1.增减性：由k决定，当k>0时，函数随x的增大而增大；当k<0时，函数随x的增大而减小。 2.图象位置：由k和b共同决定。当k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限。特别地，当b=0时，图象经过原点。 3.与坐标轴的交点：与x轴的交点坐标为（-b/k，0），与y轴的交点坐标为（0，b）。 知识点04 求一次函数的表达式 用待定系数法求一次函数表达式的步骤如下： 1.设函数表达式 设一次函数的表达式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）。 2. 代入已知条件 将已知条件（通常是两个点的坐标）代入函数表达式y=kx+b中，列出关于k和b的二元一次方程组。 3. 解方程组 解这个二元一次方程组，求出k与b的值。 1. 写出函数表达式 将求出的k，b的值代入原函数表达式y=kx+b中，得到一次函数的表达式。 题型01 正比例函数与一次函数 【典例1】下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果是关于x的正比例函数，则k的值为 ． 【变式3】当 时，函数是一次函数． 【变式4】当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 题型02 列一次函数解析式 【典例1】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（　　） x 0 1 2 3 y A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在直线y＝－2x＋1上，则2a＋b的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【变式2】函数的图象，经过点，则 ． 【变式3】一水池的容积是，现有水，用水管以每小时的速度向水池中注水，直到注满为止，则水池水量与注水时间（小时）之间的关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【变式4】某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 题型03 一次函数的图象 【典例1】两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 【变式3】已知直线为常数，且．当变化时，下列结论正确的有 ． ①当，图象经过一、三、四象限； ②当时，随的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点． 【变式4】补充完成下列表格，在平面直角坐标系中画出一次函数和的图象 函数列表1 x 0 y 0 函数列表2 x 0 1 y 题型04 一次函数的平移 【典例1】若直线向上平移4个单位长度后经过点，则m的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式1】一次函数的图象向上平移1个单位长度后，与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，得到的新图象所对应的函数表达式为 ． 【变式3】将直线向下平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的解析式为 ． 【变式4】如图，直线与轴交于点，点为该直线上一点，且点的纵坐标是6； (1)求点和点的坐标； (2)把直线向下平移7个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，连接，，求的面积； (3)点为直线上一点，连接和，若的面积为，求点的坐标． 题型05 一次函数与坐标轴的交点 【典例1】已知一次函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象是经过原点的直线 B．图象经过点 C．图象与x轴的交点坐标为 D．图象经过第二、三、四象限 【变式1】直线与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】无论k取何值，关于x的一次函数的图象必经过定点 ． 【变式3】直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为 ． 【变式4】在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且． (1)若，分别求出、与轴的交点坐标； (2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______； (3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围． 题型06 一次函数的增减性 【典例1】下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．与轴交于点 C．随的增大而增大 D．图像过一，三，四象限 【变式1】已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式2】已知一次函数（k为常数，且）的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第 象限． 【变式3】已知点，在一次函数的图像上，当时，有，则的取值范围是 ． 【变式4】已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 题型07 用待定系数法求一次函数表达式 【典例1】我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 【变式2】将的图象向左平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ． 【变式3】一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 ． x … m … y … n 2 4 … 【变式4】在平面直角坐标系中，某一次函数的图象与直线图象平行，且经过点，并与轴相交于点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为，求点的坐标． 题型08 一次函数的实际问题 【典例1】在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．空烧杯的质量是 B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系 C．液体的密度是 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为 【变式1】一个长为，宽为的长方形，当宽固定不变，将长增加时，其面积随变化的图象如图所示．如果固定其长不变，将宽增加，则其面积随变化的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式2】甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．    【变式3】如图，甲，乙两车从A城出发匀速行驶到B城．在整个行驶过程中，甲，乙两车距离B城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，则甲乙两车相距时，的值为 ． 【变式4】在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 1．若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 2．若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象如图所示，则k，b的值可以是（    ） A． B． C． D． 4．下列点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与轴，轴分别交于，两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若点是正比例函数图象上的点，则此正比例函数的表达式为 ． 7．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到 ． 8．直线与x轴交点坐标为 ． 9．点和点均在一次函数的图象上，则 b．（填“”、“”或“”） 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，过点的直线与轴交于点，若，则点的坐标为 ． 11．已知，当m，n 取何值时，y是x的一次函数? 12．已知函数． (1)m为何值时，这个函数是一次函数； (2)m为何值时，这个函数是正比例函数． 13．已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数． 35 50 55 …… 35 20 15 …… (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？ 14．如图，直线与x轴、y轴分别交于成A、B，与函数的图像交于点． (1)求出k，b的值； (2)求出的面积； (3)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．若，求点P的坐标． 15．乐乐和佳佳同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线和线段分别表示乐乐和佳佳离学校的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系，且两人骑车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题： (1)乐乐的速度为________米/分钟，佳佳比乐乐早________分钟到达体育馆； (2)求图中段与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)出发后经过16分钟，两人相距多少米？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.3 一次函数 课程标准 学习目标 ①一次函数 ②一次函数的图象 ③一次函数的性质 ④求一次函数的表达式 1. 掌握一次函数和正比例函数的定义，； 2. 掌握画一次函数图象的方法． 3. 熟练一次函数的增减性并平移； 4. 掌握用待定系数法求一次函数表达式。 知识点01 一次函数 一次函数的标准形式是y=kx+b（其中k和b是常数，且k≠0）。x是自变量，y是因变量。即当x=0时，y的值。 知识点02 一次函数的图象 一次函数的图象是一条直线。 当k>0时，图象从左下方斜向右上方，表示函数随x的增大而增大； 当k<0时，图象从左上方斜向右下方，表示函数随x的增大而减小。 直线与y轴的交点坐标为（0，b）。 知识点03 一次函数的性质 1.增减性：由k决定，当k>0时，函数随x的增大而增大；当k<0时，函数随x的增大而减小。 2.图象位置：由k和b共同决定。当k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限。特别地，当b=0时，图象经过原点。 3.与坐标轴的交点：与x轴的交点坐标为（-b/k，0），与y轴的交点坐标为（0，b）。 知识点04 求一次函数的表达式 用待定系数法求一次函数表达式的步骤如下： 1.设函数表达式 设一次函数的表达式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）。 2. 代入已知条件 将已知条件（通常是两个点的坐标）代入函数表达式y=kx+b中，列出关于k和b的二元一次方程组。 3. 解方程组 解这个二元一次方程组，求出k与b的值。 1. 写出函数表达式 将求出的k，b的值代入原函数表达式y=kx+b中，得到一次函数的表达式。 题型01 正比例函数与一次函数 【典例1】下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的定义，理解和掌握一次函数的定义及表示形式是解题的关键． 一般地，形如是常数，且的函数，叫做一次函数，其中是自变量，当时，一次函数也叫正比例函数，仍是一次函数，由此即可求解． 【详解】解：根据一次函数的定义得，①是正比例函数；②，③，是一次函数， ④不是一次函数， 故一次函数共有3个， 故选：C． 【变式1】若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】是关于的正比例函数， 且， 解得， 故选C． 【变式2】如果是关于x的正比例函数，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义．熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．由是关于的正比例函数，可知中，求解作答即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴中， 解得，， 故答案为：． 【变式3】当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（其中k、b是常数且）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1)． (2)，； 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，掌握注意一次项的系数不能为零是解题的关键． （1）根据形如，是常数是一次函数可得； （2）根据形如，是常数，是正比例函数可得 【详解】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． 答∶当时，是一次函数； （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， ∴，时，是正比例函数． 题型02 列一次函数解析式 【典例1】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（　　） x 0 1 2 3 y A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入，及求出与之对应的y值，再对照表格中的y值即可得出结论． 【详解】解：将，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为． 当时，； 当时，，； 当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在直线y＝－2x＋1上，则2a＋b的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】将点代入直线的解析式即可得． 【详解】解：由题意，将点代入直线得：， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的求值，理解一次函数图象上的点是解题关键． 【变式2】函数的图象，经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的点的特征，熟练一次函数知识点是解题的关键．将点代入，再解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象，经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】一水池的容积是，现有水，用水管以每小时的速度向水池中注水，直到注满为止，则水池水量与注水时间（小时）之间的关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 V＝10+5t 0≤t≤16 【分析】根据蓄水量等于现蓄水量加注水量，可得函数关系解析式，根据水池容量即可确定自变量的取值范围． 【详解】由蓄水量等于现蓄水量加注水量，得V=5t+10， 由5t+10≤90， 解得t≤16， ∴自变量的取值范围是0≤t≤16， 故答案为：（1）V=5t+10；（2）0≤t≤16． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，是一道实际应用问题，根据蓄水量等于现蓄水量加注水量的数量关系建立解析式是解题关键． 【变式4】某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 题型03 一次函数的图象 【典例1】两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图像的识别，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题目中各函数图像，分析函数解析式中一次项系数和常数项的正负情况，然后结合函数解析式分析判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意； D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1】一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质；根据一次函数的一次项系数小于，则函数一定过二、四象限，常数项，则一定与轴负半轴相交，据此即可判断． 【详解】一次函数的一次项系数为， ， 函数一定过二、四象限， 常数项， 函数与轴负半轴相交， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据，直线经过一，三，四象限，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴直线经过一，三，四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【变式3】已知直线为常数，且．当变化时，下列结论正确的有 ． ①当，图象经过一、三、四象限； ②当时，随的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数的图象与系数的关系及增减性判断①②；根据直线过定点得出定点坐标判断④；利用两点间的距离公式即可判断③． 【详解】解：当时，， 此时一次函数，经过一、三、四象限，故①正确； 对于直线为常数，且， 当时，即时，随的增大而增大；故②错误； 直线， 当时，， 直线过定点，故④错误； 由④知直线必过定点， 坐标原点到定点的距离是，故③正确． 故答案为：①③． 【变式4】补充完成下列表格，在平面直角坐标系中画出一次函数和的图象 函数列表1 x 0 y 0 函数列表2 x 0 1 y 【答案】补充表格及图象见解析， 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象． 直接将点横（纵）坐标代入，计算即可补充表格，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象. 【详解】解：解：∵ ∴当时，；当时，； 列表1 x 0 2 y 0 ∵函数 ∴当时，；当时，； 列表2 x 0 1 y 4 2 函数图像如下： 题型04 一次函数的平移 【典例1】若直线向上平移4个单位长度后经过点，则m的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移．先求出平移后的直线解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵直线向上平移4个单位长度后得到直线，且平移后直线经过点， ∴． 故选：A． 【变式1】一次函数的图象向上平移1个单位长度后，与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的平移以及与坐标轴的交点，熟练掌握“上加下减”是解题的关键．根据“上加下减”得到平移后的函数值为：，即可求出与轴的交点坐标． 【详解】解：一次函数的图象向上平移1个单位长度后得到， 当时，， 故与轴的交点坐标为． 故选A． 【变式2】将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，得到的新图象所对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度， ∴根据“上加下减”规律可得平移后新图象所对应的函数表达式为是， 故答案为：． 【变式3】将直线向下平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，先根据平移的性质，得到直线的解析式为，再将点代入，得到，进而求出，即可得到直线l的解析式． 【详解】解：设直线向下平移m个单位后得到直线l， ∴直线l的解析式为， ∵直线l经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线l的解析式为． 故答案为：． 【变式4】如图，直线与轴交于点，点为该直线上一点，且点的纵坐标是6； (1)求点和点的坐标； (2)把直线向下平移7个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，连接，，求的面积； (3)点为直线上一点，连接和，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）把代入求得相应的值，即可得点的坐标；把代入求得相应的值，可得点的坐标； （2）首先求得平移后直线方程为，据此求得；设直线与轴交于点，则． （3）分两种情况：过作交轴于，过作于，当在左侧时，设交轴于，求出，由的面积为6，，可得，由，可得是等腰直角三角形，可知是等腰直角三角形，求出，直线的解析式为，联立可得；当在右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：把代入，得， ． 把代入，得， 解得， ； 的坐标为，的坐标为； （2）解：设直线与轴交于点，如图： 在中，令得， ， 把直线向下平移7个单位长度得到直线：，即， 在中，令得， 解得， ， ， ． 的面积为； （3）解：过作交轴于，过作于， 当在左侧时，设交轴于，如图： 在中，令得， ， ，， ， 的面积为6，， 的面积为6， ， ， 由，可得是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得， ； 当在右侧时，如图： 同理可得， 直线解析式为， 联立， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数的平移，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 题型05 一次函数与坐标轴的交点 【典例1】已知一次函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象是经过原点的直线 B．图象经过点 C．图象与x轴的交点坐标为 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点． 根据一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴图象经过一、三、四象限，不经过原点，故本选项不符合题意； B．当时，，则图象经过点，故本选项不符合题意； C．当时，，解得， ∴图象与x轴的交点坐标为，故本选项符合题意； D．∴，， ∴图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】直线与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握求一次函数图象与坐标交点坐标是解题的关键．先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在一次函数中，令，则， 直线与轴交点坐标为， 令，则，解得， 直线与坐标轴围成的三角形的面积． 故选：A 【变式2】无论k取何值，关于x的一次函数的图象必经过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵无论k取何值，一次函数的图象必过定点， ∴， 解得， ∴无论k取何值，一次函数的图象必过定点． 故答案为：． 【变式3】直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与x，y轴交点坐标的求法是解题的关键；先求出一次函数与x，y轴交点坐标，即可得出所围三角形的底和高，再根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， 当时，， 当时，， 解得：， 直线与x轴、y轴的交点为， 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5， ， 解得：， 故答案为：． 【变式4】在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且． (1)若，分别求出、与轴的交点坐标； (2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______； (3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围． 【答案】(1)、与轴的交点坐标分别为 (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把代入可得、的解析式，然后问题可求解； （2）把点代入一次函数的表达式，然后可得m、n的关系，进而问题可求解； （3）由函数的图像不经过第一象限，可得，，然后把点代入函数解析式可得m、n的关系，进而可建立不等式进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 分别令代入可得：，， 解得：，， ∴、与轴的交点坐标分别为； （2）解：把点代入一次函数的表达式得：， ∴， ∴， 令，则有， 解得：， ∴函数的图像与轴交点坐标为； 故答案为； （3）解：由函数的图像不经过第一象限，可得，， 把点代入得：， ∴， ∴． 题型06 一次函数的增减性 【典例1】下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．与轴交于点 C．随的增大而增大 D．图像过一，三，四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的图像与性质是解题关键．对于直线，当，可得，易知直线一定经过点，即可判断选项A； 当，可得，，可知该直线与轴交于点，即可判断选项B；因为，易知随的增大而增大，即可判断选项C；结合，，可知该函数图像过一，三，四象限，即可判断选项D． 【详解】解：A. 对于直线，当，可得，即该直线一定经过点，本选项正确，不符合题意； B. 对于直线，当，可得，，即该直线与轴交于点，本选项不正确，符合题意； C. 对于直线，因为，所以随的增大而增大，本选项正确，不符合题意； D. 因为，，所以该函数图像过一，三，四象限，本选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1】已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ， 故选：A 【变式2】已知一次函数（k为常数，且）的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此可得k的符号，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，且）的函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四，不经过第一象限， 故答案为：一． 【变式3】已知点，在一次函数的图像上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵时，， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式4】已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）把原点坐标代入解析式，解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，得到；根据图象交y轴于正半轴，得 ，求解集即可； （3）根据图象不过第三象限，得图象分布在二、四、一象限，得到且图象交y轴于正半轴和原点，即，求解集即可． 本题考查了图象过点，图象的分布，性质，熟练掌握分布与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， 故； 解得； 又图象交y轴于正半轴， 故， 解得， 故． （3）解：图象不过第三象限，得图象分布在二、四、一象限， 故且， 解得． 题型07 用待定系数法求一次函数表达式 【典例1】我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，根据题意得到，解得，则直线l：，再把代入即可求出． 【详解】解：∵直线l：与互相垂直， ∴， 解得， ∴直线l：， 把代入得到，，解得， 故选：B 【变式1】已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，结合表格数据确定函数解析式是解题关键．根据表格数据，待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，由表格可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， ∴当时，． 故选：C． 【变式2】将的图象向左平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移法则是关键．先求出的图象与轴交于，再得所得图象对应的函数图象与轴交于，设平移后的函数关系式为，将代入求解即可． 【详解】解：在一次函数中，令，则，解得：， 的图象与轴交于， 将的图象向左平移4个单位长度， 所得图象对应的函数图象与轴交于， 设平移后的函数关系式为， 将代入得：，解得， 平移后所得图象对应的函数表达式是， 故答案为：． 【变式3】一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 ． x … m … y … n 2 4 … 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把点代入，得出，求出即可． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得：， 把②代入③得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：． 故答案为：1． 【变式4】在平面直角坐标系中，某一次函数的图象与直线图象平行，且经过点，并与轴相交于点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求一次函数解析式， （1）由该一次函数的图象与直线图象平行，可设此一次函数的表达式为，再根据点A的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点的坐标为，将代入一次函数解析式中求出值，由此即可得出的长度，再根据三角形的面积为， 即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出值，将其代入点的坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：设此一次函数的表达式为：， 将代入， 得， 解得， ∴此一次函数的表达式为； （2）设点P的坐标为， 当时，， ∴点，   ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，． ∴点P的坐标为或． 题型08 一次函数的实际问题 【典例1】在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．空烧杯的质量是 B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系 C．液体的密度是 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，从函数图象中获取信息，先求解，再结合函数图象逐一分析判断即可. 【详解】解：设与的函数关系式为， 根据题图可知， 解得， ∴． 当时，，即空烧杯的质量是，故选项A符合题意； 函数图象是一条线段，则液体与烧杯的总质量与液体体积满足一次函数关系，因为烧杯的质量是一定的，所以液体的质量与液体的体积满足一次函数关系，故选项B不符合题意； 由液体的密度液体的质量液体的体积知， 液体的密度为，故选项C不符合题意； 把代入，得， 当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为204g，故选项D不符合题意． 故选A． 【变式1】一个长为，宽为的长方形，当宽固定不变，将长增加时，其面积随变化的图象如图所示．如果固定其长不变，将宽增加，则其面积随变化的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是求出a、b的值，并求出关键点时矩形对应的面积．先利用待定系数法求出图中直线解析式，结合解析式可求出矩形的长a和宽b的值；根据固定其长不变，将宽增加x，求出S随x变化的表达式，并求出当时，S的值，再结合选项即可得出结论． 【详解】解：设图中所给直线的解析式为， 则直线过点， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当固定其长a不变，将宽b增加x时， ， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：D． 【变式2】甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．    【答案】28 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．根据图像提供的信息可知，这是两个一次函数构成分段函数，当时，设一次函数的解析式为，在图像上找到两点代入所设的解析式中，求出一次函数解析式，再把代入所求的一次函数中，求出的值即可问题得解． 【详解】解：如图，当时，设一次函数解析式为， 将代入上式，得， 解得， ， 当时，， 解得， 故答案为：28． 【变式3】如图，甲，乙两车从A城出发匀速行驶到B城．在整个行驶过程中，甲，乙两车距离B城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，则甲乙两车相距时，的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，准确识图，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．先求出甲、乙两车行驶的路程与时间的关系式，然后分三种情况：甲、乙在行驶过程中，乙车出发前，乙车到达B城后，分别列式算出结果即可． 【详解】解：设甲车离开A城的距离y与t的关系式为， 把，代入可得：， 解得， ∴， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把和代入可得， 解得， ∴， 令，可得， 解得：或； 把代入得：， 解得： 即当时，甲车行驶了，此时乙车还没出发； 把代入得：， 解得：， 即当时，乙到达B城，甲车离B城还有； 综上，当甲、乙两车相距时， 或或或． 故答案为：或或或． 【变式4】在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． （1）用待定系数法可得所在直线的函数表达式； （2）结合（1），求出石块下降的高度为时，的值，即可得到答案． 【详解】（1）设AB所在直线的函数表达式为， 将，代入得： 解得 ∴所在直线的函数表达式为； （2）在中，令得， ∵， ∴当石块下降的高度为时，该石块所受浮力为． 1．若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是将其变形可以解答．把变形为解答即可． 【详解】解：因为以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上， 把可以变形为， 与对照即可得到， ， 解得：， 故选：D． 2．若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，对于正比例函数，当时，函数图像经过第一、三象限，当时，函数图像经过第二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 故选：D． 3．已知一次函数的图象如图所示，则k，b的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 根据一次函数图象与系数的关系解答即可． 【详解】解：由一次函数图象可知，， A、，不符合图象位置，故此选项不符合题意； B、，不符合图象位置，故此选项不符合题意； C、，不符合图象位置，故此选项不符合题意； D、，，故此选项符合图象位置，符合题意； 故选：D． 4．下列点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将四个选项中的点分别代入解析式即可得到结论；将点的坐标代入解析式正确的计算出结果是解题的关键． 【详解】解：A、将 代入 得，，则点 不在正比例函数的图象上，不符合题意； B、将 代入 得，，则点 不在正比例函数 的图象上，不符合题意； C、将 代入 得，，点 在正比例函数 的图象上，符合题意； D、将 代入 得，，则点不在正比例函数 的图象上，不符合题意； 故选：C 5．已知直线与轴，轴分别交于，两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，过点C作轴于Q，先求出A、B坐标，进而得到的长，再证明求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于Q， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．若点是正比例函数图象上的点，则此正比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，将已知点P坐标代入函数解析式中求得k值即可求解． 【详解】解：∵点是正比例函数图象上的点， ∴，解得， ∴此正比例函数的表达式为， 故答案为：． 7．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到 ． 【答案】31 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，设一次函数为，把点代入得到解析式，再把代入即可求解． 【详解】解：根据函数图象设一次函数为，把点代入得， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，， 当时，，则该植物达到最高高度， ∴该植物最高长到， 故答案为：31 ． 8．直线与x轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 令，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， 即直线与x轴的交点坐标为：， 故答案为：． 9．点和点均在一次函数的图象上，则 b．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质；根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵直线中，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，过点的直线与轴交于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过作于点，分别过作轴于点，轴于点，过作轴于点，交于点，交于点，证明，则，从而，所以，，设，，，则，从而求出，，，点，设直线解析式为，求出直线解析式为，然后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，分别过作轴于点，轴于点，过作轴于点，交于点，交于点， 则，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵、， 设，，，则， ∴， ∴，，， 联立，解得：，，， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解方程组等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 11．已知，当m，n 取何值时，y是x的一次函数? 【答案】，n为任何数 【分析】本题考查了一次函数定义，根据一次函数的定义得出且，为任何数，再求出答案即可． 【详解】解：当且时是一次函数， 解得：， 为任何实数，都是一次函数 所以，为任何实数，是的一次函数． 12．已知函数． (1)m为何值时，这个函数是一次函数； (2)m为何值时，这个函数是正比例函数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数的定义求解； （2）根据正比例函数的定义求解． 【详解】（1）根据一次函数的定义可得：， ∴当时，这个函数是一次函数； （2）根据正比例函数的定义，可得：且， ∴时，这个函数是正比例函数． 【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如的函数叫做一次函数，特别的，当时，叫做正比例函数，熟知概念是关键． 13．已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数． 35 50 55 …… 35 20 15 …… (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？ 【答案】(1) (2)日销售量是个 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数应用．熟练掌握一次函数解析式，一次函数应用是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）将代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 将和代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：将代入得，， ∴日销售量是个． 14．如图，直线与x轴、y轴分别交于成A、B，与函数的图像交于点． (1)求出k，b的值； (2)求出的面积； (3)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．若，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，掌握一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算是解题的关键． （1）把代入，得，把代入，可得； （2）根据直线与坐标轴的交点可得，由即可求解； （3）根据题意可得，设，则，，由，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 解得：； （2）解：直线与x轴、y轴分别交于成A、B， ∴当时，， ∴， ，又 ， ； （3）解：当时，， ， ， 如图， 设，则，， ， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 15．乐乐和佳佳同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线和线段分别表示乐乐和佳佳离学校的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系，且两人骑车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题： (1)乐乐的速度为________米/分钟，佳佳比乐乐早________分钟到达体育馆； (2)求图中段与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)出发后经过16分钟，两人相距多少米？ 【答案】(1)300，2 (2)； (3)出发后经过16分钟，两人相距800米． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度=路程÷时间分别求出乐乐和佳佳的速度，再由时间=路程÷速度求出佳佳到达体育馆所用时间，从而计算佳佳比乐乐早多长时间到达体育馆； （2）根据时间=路程÷速度求出段所用的时间，从而求出点B的坐标，再利用待定系数法求段y与x的函数关系式即可； （3）将代入段y与x的函数关系式，求出对应的y值；根据路程=速度×时间求出佳佳16分钟的路程，从而求出出发后经过16分钟两人之间的距离． 【详解】（1）解：乐乐的速度为（米/分钟）； 佳佳的速度为（米/分钟）， 佳佳到达体育馆所用时间为（分钟）， ∴佳佳比乐乐早（分钟）到达体育馆． 故答案为：300，2； （2）解：，则， ∴． 设段y与x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴段y与x的函数关系式为； （3）解：当时，， （米）， （米）． 答：出发后经过16分钟，两人相距800米． 37 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$