第17章 函数及其图象 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第17章 函数及其图象 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．如图，将四叶草放在平面直角坐标系中，其中落在第四象限的部分是（    ） A．M B．N C．E D．F 2．点到轴的距离是（   ） A．4 B．3 C． D． 3．若正比例函数的图象经过点，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知反比例函数图象经过点，则下列各点不在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 5．若一次函数（k、b是常数，）的图象经过一、二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”对应的坐标分别为，，则“科”所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（）与注水量（）关系的是（   ） A．B．C． D． 9．已知反比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．该函数图象与轴的交点为 C．该函数的图象与轴有交点 D．当时，的取值范围是 10．已知甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示． 有下列说法：①乙货车的速度为；②乙到终点时，甲乙相距；③点E的坐标为；④当或时，两车之间距离为． 其中正确说法的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而增大，请写出一个符合条件的的整数值： ． 12．在平面直角坐标系中，点一定在第 象限． 13．如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    14．若点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 15．若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ． 16．当分别取、0、1、2时，一次函数对应的函数值如下表：则关于的不等式的解集是 ． … 0 1 2 … … 1 3 5 … 17．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，则长的最小值为 ． 18．如图，直线与反比例函数的图像交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接，点D为线段的中点，若点B、点C的横坐标分别为和，，则k值是 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，在平面直角坐标系中完成以下问题： (1)描出点，并顺次连接点； (2)求四边形的面积． 20．已知一次函数，当时，，当时，，求此一次函数的解析式． 21．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标是整数的点称为整点，记三个顶点都是整点的三角形为整点三角形，如图，已知整点，，请在所给的网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个等腰且的面积为3． (2)在图2中画一个，是点P落在坐标轴上． 22．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． (1)求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)出口到轴的距离的长是多少？ 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 24．如图，在Rt中，．点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点在运动过程中，其运动的路程为的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若，直接写出时的取值． 25．【构建模型】（1）如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为__________，点的坐标为__________． （2）求（1）中点的坐标，并求出直线的函数表达式． 【模型应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________． 【拓展延伸】（4）如图3，图1中的点是轴上的一个动点，点保持不变，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 函数及其图象 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．如图，将四叶草放在平面直角坐标系中，其中落在第四象限的部分是（    ） A．M B．N C．E D．F 【答案】A 【分析】此题考查了平面直角坐标系的象限，根据点所在的象限进行解答即可． 【详解】解：由题意可得，将四叶草放在平面直角坐标系中，其中落在第四象限的部分是M， 故选：A 2．点到轴的距离是（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，解答即可． 【详解】解：∵点， ∴点到x轴的距离是， 故选：A． 3．若正比例函数的图象经过点，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正比例函数的性质．把代入得到，即可求出m的值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴ 解得，． 故选：B 4．已知反比例函数图象经过点，则下列各点不在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．代入到反比例函数求出，再根据反比例函数图象上点的特征，对选项逐个分析即可得出结论． 【详解】解：反比例函数图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； A、，故在反比例函数图象上，不符合题意； B、，故在反比例函数图象上，不符合题意； C、，故不在反比例函数图象上，符合题意； D、，故在反比例函数图象上，不符合题意； 故选：C． 5．若一次函数（k、b是常数，）的图象经过一、二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，象限内点的坐标特征．根据一次函数经过一、二、四象限得出，，再根据第二象限内坐标特征判断即可． 【详解】解：∵的图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴点在第二象限， 故选：B． 6．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”对应的坐标分别为，，则“科”所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系的建立与象限，熟练掌握坐标系的建立与象限的特点是解题的关键．根据“创”“新”对应的坐标分别为，，判定“新”在原点，“创”在x轴的负半轴，过点原点与x轴铅直的直线为y轴所在直线，这样就可以判定“科”在第二象限，解答即可． 【详解】解：根据“创”“新”对应的坐标分别为，， 故“新”在原点，“创”在x轴的负半轴，过点原点与x轴铅直的直线为y轴所在直线， 故“科”在第二象限， 故选：B． 7．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象过二，四象限， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 8．如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（）与注水量（）关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知， 开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大； 接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐减小； 选项符合题意， 故选：． 9．已知反比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．该函数图象与轴的交点为 C．该函数的图象与轴有交点 D．当时，的取值范围是 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象、函数的平移、函数与坐标轴的交点，正确画出图象，并掌握数形结合的方法是解题的关键．画出函数与的图象，结合图象对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：画出函数与的图象如下图所示：    A、由图象可知，函数，当时，随的增大而减小，故此选项结论错误，不符合题意； B、令，得，解得，则该函数图象与轴的交点为，故此选项结论正确，符合题意； C、由图象知，该函数的图象与轴没有交点，故此选项结论错误，不符合题意； D、当时，，由图象可知当时，的取值范围是，故此选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 10．已知甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示． 有下列说法：①乙货车的速度为；②乙到终点时，甲乙相距；③点E的坐标为；④当或时，两车之间距离为． 其中正确说法的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，由函数图象可知，A、B两地的距离为，且甲、乙出发小时后相遇，据此可求出乙的速度，则可判断①；再求出乙到达中点的时间，进而求出乙到达终点时，甲行驶的路程即可判断②③；分相遇前和相遇后两种情况，根据“速度和时间路程”，即可得出两车相遇的时间，即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，A、B两地的距离为，且甲、乙出发小时后相遇， ∴乙货车的速度为，故①正确； ∴乙到达终点的时间为， ∴乙到达终点时，甲行驶的路程为， ∴乙到终点时，甲乙相距，点E的坐标为，故②③错误； 当二者相遇前，相距时，则， 当二者相遇后，相距时，则，故④正确； 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而增大，请写出一个符合条件的的整数值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限的增减性是解题的关键． 根据在每个象限内的函数值随的增大而增大，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而增大， ∴， 解得，， ∴符合条件的的整数值为（答案不唯一）， 故选：（答案不唯一） ． 12．在平面直角坐标系中，点一定在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的坐标，先判断横、纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标的特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴点一定在第四象限， 故答案为：四． 13．如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【答案】点 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点．    14．若点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 由点在函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：2027． 15．若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，两直线的交点即是二元一次方程组的解．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可得． 【详解】解：∵两直线的交点， ∴关于、的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 16．当分别取、0、1、2时，一次函数对应的函数值如下表：则关于的不等式的解集是 ． … 0 1 2 … … 1 3 5 … 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键． 根据表确定函数的增减性以及交点，然后根据增减性判断． 【详解】解：由表中知中随的增大而增大， 当时，， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，垂线段最短，勾股定理；连接，当时，最小，由勾股定理得，可得，由即可求解；能熟练利用勾股定理求解，并能由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 当时，最小， 当时，， 当时，， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 18．如图，直线与反比例函数的图像交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接，点D为线段的中点，若点B、点C的横坐标分别为和，，则k值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、反比例函数与一次函数的综合、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据题意确定、、，则，然后根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在反比例函数的图像上，点B、点C的横坐标分别为和， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意，舍弃）， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得∶． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，在平面直角坐标系中完成以下问题： (1)描出点，并顺次连接点； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用． （1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C、D的位置，然后顺次连接即可； （2）直接由底乘高计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：边上的高为3， 四边形的面积． 20．已知一次函数，当时，，当时，，求此一次函数的解析式． 【答案】 【分析】根据待定系数法即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 一次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确建立二元一次方程组即可． 21．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标是整数的点称为整点，记三个顶点都是整点的三角形为整点三角形，如图，已知整点，，请在所给的网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个等腰且的面积为3． (2)在图2中画一个，是点P落在坐标轴上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形： （1）如图所示，取整点P，则等腰即为所求； （2）如图所示，取整点P，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，等腰即为所求； 由网格的特点可得； （2）解：如图所示，即为所求； 可证明，则， 再证明，则． 22．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． (1)求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)出口到轴的距离的长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长． 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数的表达式为， ∵梯子的高为6米，宽为1米， ∴点在该函数图象上， ∴，得， ∴段所在的反比例函数的表达式为． （2）解：由题意可得，点C的横坐标为， 将代入，得， 即出口C到x轴的距离的长时米 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1)，（） (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合知识点，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，以及利用三角形面积公式建立等式求解点的坐标． （1）已知反比例函数图象过点，将点坐标代入反比例函数中，可求出的值，进而得到反比例函数解析式．再把点代入已求出的反比例函数解析式，求出点坐标．最后将，两点坐标代入一次函数，通过解方程组得到一次函数的k，b的值，从而确定一次函数解析式． （2）先求出直线与轴交点的坐标，再根据已知条件求出点坐标为．设点坐标为，利用三角形面积公式，根据的面积等于的面积列出方程，求解得出点坐标． 【详解】（1）反比例函数（）经过点， 将点代入中得，， 反比例函数解析式为（）， 的图象经过点， ，点坐标为， 将，两点代入中得， 解得， 一次函数解析式为 （2）对于函数，令，得， 解得， ， ，，轴，轴， 点坐标为， ，，， ， 点是反比例函数（）上一点， 可设点坐标为， ， 解得， 点坐标为． 24．如图，在Rt中，．点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点在运动过程中，其运动的路程为的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若，直接写出时的取值． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小（答案不唯一） (3)4或9 【分析】本题考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，解题的关键是掌握画函数图象的方法． （1）根据题意，进行分类讨论，当点P在上时，当点P在上时，再根据三角形的面积公式，即可解答； （2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质； （3）观察图象，求出两函数图象的交点横坐标即可． 【详解】（1）解：当点P在上时，如图，由题意，，， 则， 即， 当点P在上时，如图，由题意，，， 则， 即， 综上：； （2）解：当、时，；当时，； 则函数图象如图所示， 由图可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，，，则； 当时，，，则， ∴当时的取值为4或9． 25．【构建模型】（1）如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为__________，点的坐标为__________． （2）求（1）中点的坐标，并求出直线的函数表达式． 【模型应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________． 【拓展延伸】（4）如图3，图1中的点是轴上的一个动点，点保持不变，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），直线解析式为；（3）；（4）线段存在最小值 【分析】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）当时，，当时，，即可求解； （2）过点作直线于，由可得，可得，，即可得到；再设直线解析式为，代入，求出直线解析式即可； （3）过点作，交直线于，过点作轴于，先证明，得到，，即可得到，设直线解析式为，代入，计算即可； （4）如图，过点作轴于，由（2）可得，得到，由垂线段最短可得，即当与重合时最小，最小值为． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，， 当时，， ∴点，点， 故答案为：，； （2）如图①，过点作直线于， ∴， ∴， ∴， 又∵等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴点； 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为； （3）由（1）可得直线与轴交于点，与轴交于点， 过点作，交直线于，过点作轴于， ∴， ∴， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 故答案为：； （4）如图，过点作轴于， 同理由（2）可得， ∴，， ∵图1中的点是轴上的一个动点，点保持不变， ∴， ∴， ∴，即当与重合时最小，最小值为． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$