精品解析：江苏省常州市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

常州市2024-2025学年第一学期九年级期末质量调研数学2025年1月 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 的值等于（ ） A. B. C 1 D. 2. 方程x2＝x的两个实数根是（ ） A. x1＝x2＝1 B. x1＝1，x2＝﹣1 C. x1＝0，x2＝1 D. x1＝0，x2＝﹣1 3. 服装店老板在清点库存时发现，某种男士衬衫L码卖得最多，他考虑以后要多进L码的男士衬衫，他参考的是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4. 如图，每个小三角形都是全等的等边三角形．若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为．若三角尺的一边长为，则其投影三角形的对应边的长为（ ） A. B. C. D. 7. 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元．设平均每次降价的百分率是，可列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，以的中点为圆心作，当与相切于点时，与相交于点、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若，则_____． 10. 2024年巴黎奥运会跳水项目女子台决赛中，中国选手全红婵以425.6高分夺得冠军，她5跳的成绩分别为90.0分、84.8分、76.8分、92.4分、81.6分，则5次成绩的中位数为_____分． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 12. 如图，将一块三角尺放置在量角器上，使角的顶点恰好落在量角器的圆弧上，一条直角边与斜边分别与圆弧交于点、，则所对的圆心角的大小为_____． 13. 人字梯是家庭常用的生活工具．如图，人字梯撑开时两侧梯子的夹角为．若两侧梯子的长度都是，则人字梯顶端距离地面的高度是_____． 14. 如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且．连接，交于点，则与的面积的比为_____． 15. 如图，刘老师拍摄了一张美丽的日出照并将其冲刷成照片，测得照片中太阳被海平线截得的线段长为，太阳边缘上的点到海平线的最远距离也为，则照片中太阳的半径是_____． 16. 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了_____． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17、18、21、22、23每题8分，第19、20、24题每题6分，第25题10分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 寒假，明明、亮亮准备去哈尔滨旅游，游玩以下三个景点：“冰雪大世界”、“东北虎林园”、“太阳岛风景区”，假设游玩的顺序是随机的． （1）“冰雪大世界”作为游玩第一个景点的概率是_____； （2）求游玩顺序为“冰雪大世界”“东北虎林园”“太阳岛风景区”的概率． 19. 甲、乙两队某次射箭成绩如下（单位：环）： 甲队：10，9，10，9，8，9； 乙队：8，10，9，9，9，9． （1）将两队数据进行统计，得到下表，补全表格： 队伍 平均数（单位：环） 众数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环2） 甲队 _____ 9 乙队 _____ 9 9 _____ （2）结合上述表格中的统计量，分析两队各自的优势． 20. 如图，在平面直角坐标系中画一个的网格，一条圆弧经过格点． （1）在图中标出所在圆的圆心的位置，圆心的坐标为_____； （2）所在圆的半径为_____，的长度为_____； （3）下列各点与点的连线中，与所在圆相切的是_____（填序号）． ①点，②点，③点，④点． 21. 如图，某小区内有一块长、宽的矩形空地，物业打算在空地内铺设两条同样宽度的鹅卵石道路，余下部分铺上草坪．若草坪的面积为，求道路的宽度． 22. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，连接和． （1）若，，求的值； （2）以点为圆心，为半径作．当，旋转角为时，判断直线与的位置关系并说明理由． 23. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． （1）判断与的数量关系并说明理由； （2）若，求的长． 24. 【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据）． 25. 随着人工智能发展，机器人逐渐被群众所熟知，通过程序的设置，机器人能够根据指令精准地完成一系列动作．如：根据指令，机器人能在平面内完成下列动作：先原地顺时针旋转，再朝着此时面对的方向沿直线行进距离（其中．如图，在平面直角坐标系中，机器人“创创”的初始位置是原点，且面对轴的正方向，根据指令，“创创”到达点． （1）点的坐标为_____； （2）若“创创”根据第二个指令完成动作后恰好在轴上． ①若，则_____； ②若，求的值． （3）若“创创”根据第二个指令完成动作，另一机器人“新新”在轴负半轴的点处，面对轴的正方向，根据指令完成动作，其中，且“创创”和“新新”的行进轨迹有公共点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市2024-2025学年第一学期九年级期末质量调研数学2025年1月 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 方程x2＝x的两个实数根是（ ） A. x1＝x2＝1 B. x1＝1，x2＝﹣1 C. x1＝0，x2＝1 D. x1＝0，x2＝﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【详解】解：∵x2＝x， ∴x2﹣x＝0， 则x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝0，x2＝1， 故选：C． 【点睛】此题考查了提公因式法解一元二次方程.选择合适的方法解一元二次方程是解答此题的关键. 3. 服装店老板在清点库存时发现，某种男士衬衫L码卖得最多，他考虑以后要多进L码的男士衬衫，他参考的是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查主要考查了平均数、众数、中位数、方程的意义，准确对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键． 众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个服装店的老板来说，他最关注的是数据的众数，据此来判断即可． 【详解】解：对这个服装店的老板来说最关注的是哪一型号的卖得最多，众数能帮助服装店老板了解进货时应该进哪种尺码的最多，因为这种尺码的鞋子需求量最大，销售量最多． 故他参考的是统计量中的众数． 故选：B． 4. 如图，每个小三角形都是全等的等边三角形．若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，解题的关键是掌握几何概率的计算方法．根据每个小三角形都是全等的等边三角形，可设小三角形的面积为，则大三角形的面积为，利用概率公式计算即可． 【详解】解：每个小三角形都是全等的等边三角形， 设小三角形的面积为，则大三角形的面积为，阴影部分的面积为， 若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是． 故选：C． 5. 如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：扫过的面积为 故选：. 6. 如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为．若三角尺的一边长为，则其投影三角形的对应边的长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．设边长为的投影三角形的对应边长为，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：设边长为的投影三角形的对应边长为， 根据题意得， 解得． 故选：B． 7. 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元．设平均每次降价的百分率是，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降价的百分率），把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元， 所以可列方程为． 故选：D． 8. 如图，在中，，，，以的中点为圆心作，当与相切于点时，与相交于点、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，过点D作，垂足为Q，先由勾股定理和直角三角形的性质得出的长度，再证明，继而得出长度，证明，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点D作，垂足为Q， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的计算，掌握比例的性质得到是解题的关键．根据题意可得，代入分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 10. 2024年巴黎奥运会跳水项目女子台决赛中，中国选手全红婵以425.6的高分夺得冠军，她5跳的成绩分别为90.0分、84.8分、76.8分、92.4分、81.6分，则5次成绩的中位数为_____分． 【答案】84.8 【解析】 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的定义是关键．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．将一组数据按照从小到大的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 【详解】解：把成绩从小到大排列76.8分、81.6分、84.8分、90.0分、92.4分， ∵最中间的分数为84.8分， ∴5次成绩的中位数为84.8分． 故答案为：84.8 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根．先计算根的判别式的意义得到，然后解关于k的一次方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：2． 12. 如图，将一块三角尺放置在量角器上，使角的顶点恰好落在量角器的圆弧上，一条直角边与斜边分别与圆弧交于点、，则所对的圆心角的大小为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， 则所对的圆心角的大小为， 故答案为：． 13. 人字梯是家庭常用的生活工具．如图，人字梯撑开时两侧梯子的夹角为．若两侧梯子的长度都是，则人字梯顶端距离地面的高度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 即人字梯顶端距离地面的高度是， 故答案为：． 14. 如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且．连接，交于点，则与的面积的比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得，，则，而，所以，再证明，得，所以与的面积的比为，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 与的面积的比为， 故答案为：． 15. 如图，刘老师拍摄了一张美丽的日出照并将其冲刷成照片，测得照片中太阳被海平线截得的线段长为，太阳边缘上的点到海平线的最远距离也为，则照片中太阳的半径是_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解图示，确定圆心，掌握垂径定理，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，确定圆心，由垂径定理可得，设圆的半径为，则，，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，，，，连接，作垂直平分线交于点，则为圆心，连接，则， ∴， 设圆的半径为，则，， 中，， ∴， 解得，， ∴照片中太阳的半径是， 故答案为： ． 16. 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键，作垂线构造直角三角形是解决问题的前提．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 即人的头部支撑点向后水平推移了． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17、18、21、22、23每题8分，第19、20、24题每题6分，第25题10分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），，（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了特殊角三角函数的混合运算． （1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先根据特殊角的三角函数值得到原式，然后进行二次根式的混合运算． 【详解】解：（1）， ， 或， 所以，； （2）原式 ． 18. 寒假，明明、亮亮准备去哈尔滨旅游，游玩以下三个景点：“冰雪大世界”、“东北虎林园”、“太阳岛风景区”，假设游玩的顺序是随机的． （1）“冰雪大世界”作为游玩的第一个景点的概率是_____； （2）求游玩顺序为“冰雪大世界”“东北虎林园”“太阳岛风景区”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式以及画树状图法与列表法求概率．解题关键是把所有等可能的情况都列举出来． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：“冰雪大世界”作为游玩的第一个景点的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：记“冰雪大世界”、“东北虎林园”、“太阳岛风景区”分别为A、B、C． 第一个景点第二个景点第三个景点游玩顺序 一共有6个等可能的结果， 其中游玩顺序是的有1个结果． （游玩顺序是． 答：游玩顺序为“冰雪大世界”“东北虎林园”“太阳岛风景区”的概率为． 19. 甲、乙两队某次射箭的成绩如下（单位：环）： 甲队：10，9，10，9，8，9； 乙队：8，10，9，9，9，9． （1）将两队数据进行统计，得到下表，补全表格： 队伍 平均数（单位：环） 众数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环2） 甲队 _____ 9 乙队 _____ 9 9 _____ （2）结合上述表格中的统计量，分析两队各自的优势． 【答案】（1）见解析 （2）甲队射箭环数的平均数比乙队高，众数、中位数相同，说明甲队成绩更好；乙队射箭环数的方差比甲队小，说明乙队发挥更稳定 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、众数、中位数、方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的定义及意义． （1）根据众数、平均数和方差的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：甲队成绩的众数为9环； 乙队成绩的平均数为， 则乙队成绩的方差为， 补全表格： 队伍 平均数（单位：环） 众数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环2） 甲队 9 9 乙队 9 9 9 【小问2详解】解：由甲队成绩的平均数大于乙队知，甲队平均成绩较好； 由乙队成绩的方差小于甲队知，乙队成绩较为稳定． 20. 如图，在平面直角坐标系中画一个的网格，一条圆弧经过格点． （1）在图中标出所在圆的圆心的位置，圆心的坐标为_____； （2）所在圆的半径为_____，的长度为_____； （3）下列各点与点的连线中，与所在圆相切的是_____（填序号）． ①点，②点，③点，④点． 【答案】（1）画图见解答； （2）； （3）③ 【解析】 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． （2）由勾股定理以及勾股定理的逆定理可得所在圆的半径为，，再利用弧长公式计算即可． （3）结合切线的判定及勾股定理的逆定理进行分别判断，可得答案． 【小问1详解】 解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由勾股定理得，，，， 所在圆的半径为，， ． 的长度为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：①如图，设点，分别连接， ，即与不垂直， 点与点的连线与所在圆不相切， 点不符合要求； ②如①图，设点，分别连接， ，即与不垂直， 点与点的连线与所在圆不相切， 点不符合要求； ③如①图，设点，分别连接， ，即与垂直， 点与点的连线与所在圆相切， 点符合要求； ④如①图，设点，分别连接， ，即与不垂直， 点与点的连线与所在圆不相切， 点不符合要求； 故答案为：③． 21. 如图，某小区内有一块长、宽的矩形空地，物业打算在空地内铺设两条同样宽度的鹅卵石道路，余下部分铺上草坪．若草坪的面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据草坪的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设道路的宽度为． 由题意得． 整理得 解得∶，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为． 22. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，连接和． （1）若，，求的值； （2）以点为圆心，为半径作．当，旋转角为时，判断直线与的位置关系并说明理由． 【答案】（1） （2）直线与相切．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出，进而得到； （2）首先根据旋转的性质得到，然后证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后根据切线的判定定理求解即可． 【小问1详解】 旋转得到， ，，． ． ． ． 【小问2详解】 直线与相切．理由如下： 旋转得到， ． 旋转角为， ． 又， 是等边三角形． ． ． ． 又是半径， 直线与相切． 【点睛】此题考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，切线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． （1）判断与的数量关系并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）．理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键. （1）根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，由互余关系得，根据圆周角定理，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可； 【小问1详解】 解：．理由如下： 是的直径， ． ． 是的切线， ． ． ． ． 又， ． ． 【小问2详解】 解：连接． 平分， ． ． ， ． ． 24. 【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据）． 【答案】（方法理解）③，25；（灵活应用）见详解，答案不唯一， 【解析】 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 【方法理解】根据数形结合思想求解； 【灵活应用】先把方程按照题中的方法进行部分分解，再作图． 【详解】解：（方法理解）， ， 能体现方程的解法的是 ③， ， 故答案为：③，25； （灵活应用）， ， 或， 能够求出方程的解的图示如下： ． 25. 随着人工智能的发展，机器人逐渐被群众所熟知，通过程序的设置，机器人能够根据指令精准地完成一系列动作．如：根据指令，机器人能在平面内完成下列动作：先原地顺时针旋转，再朝着此时面对的方向沿直线行进距离（其中．如图，在平面直角坐标系中，机器人“创创”的初始位置是原点，且面对轴的正方向，根据指令，“创创”到达点． （1）点的坐标为_____； （2）若“创创”根据第二个指令完成动作后恰好在轴上． ①若，则_____； ②若，求值． （3）若“创创”根据第二个指令完成动作，另一机器人“新新”在轴负半轴的点处，面对轴的正方向，根据指令完成动作，其中，且“创创”和“新新”的行进轨迹有公共点，求的最大值． 【答案】（1） （2）①6；②105或165 （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了用坐标确定点的位置，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，新定义-指令的理解和运用等知识，读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，运用勾股定理求点的坐标是解题的关键． （1）根据新定义可得是等腰直角三角形，则，即可解答； （2）①先计算，根据含角的直角三角形的性质可得，可得答案； ②分两种情况：交点在F的左边和右边，根据三角函数可解答； （3）由题意得：机器人“新新”的行进轨迹是：线段，根据题意可知：线段所在的直线与以点A为圆心，以为半径的圆（不含端点）相切，切点是Q，根据三角函数可得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，过点A作轴于D，则， 由题意得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点A的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点A作轴于F，则， ①如图2，由题意得：， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：6； ②根据题意可知：“创创”根据第二个指令完成动作后，可在点F的两侧， i）点B在点F的右侧时，如图3，当时，， ∵， ∴， ∴； ii）点B在点F的左侧时，同理可得：； 综上，θ的值是105或165； 【小问3详解】 解：根据题意，得“新新”的行进轨迹是线段． “创创”和“新新”的行进轨迹有公共点，且要取最大值， 线段所在的直线与以点为圆心，为半径的半圆（不含端点）相切，切点为． 如图，过点A、P作轴的垂线，垂足分别为点D、P，过点作轴的垂 线，这些垂线相交于点E、F． ，， ，则，． ． ． ∴, 此时． 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$