专题02 平行线及其判定【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题02 平行线及其判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平行线及画法 （1）平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示， 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。 （2）平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。 （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合 （二）平行公理及推论 （1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 （2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 几何描述 ：∵∥，∥ 　　　　 ∴∥ （三）平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 模块三 考点一遍过 考点1：平行线的定义 典例1：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【变式1】在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行 【变式2】  如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 【变式3】在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与 ； （2）若与有且只有一个公共点，则与 ； （3）若与有两个公共点，则与 ． 考点2：平面内两直线的位置关系 典例2：下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【变式2】  观察如图所示的长方体． （）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ； （）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知 内，不相交的两条直线才能叫做平行线． 【变式3】已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ． 考点3：平行线的画法 典例3：如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【变式1】如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【变式2】  （1）过点A画直线的平行线； （2）过点B画直线的垂线． 【变式3】如图，按要求画图并回答问题： (1)过点画点到直线的垂线段，垂足为； (2)过点画直线，交的延长线于点； (3)在线段，，中，最短的是______，理由为______． 考点4：平行公理及推论 典例4：在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1】下面命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平移前后的两个图形对应线段相等且平行；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．真命题的个数是（   ） A．2 B．3 C．0 D．1 【变式2】  生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【变式3】在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号） 考点5：平行线的判定——同位角相等 典例5：已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 【变式1】如图，在中，．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在上截取，连接； (2)过作的平行线交于点． 【变式2】  如图所示，在四边形中，已知，平分交于点E，平分交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    考点6：平行线的判定——内错角相等 典例6：如图，于点，，求证： 【变式1】如图，，，．问吗？为什么？    【变式2】  如图，，平分．求证：． 【变式3】完成下面的证明． 如图，分别平分．求证．    证明：， （____________________）． 分别平分， ∴， ______（____________________）． 又， （____________________）． ∴（____________________）． 考点7：平行线的判定——同旁内角互补 典例7：如图，已知．将下列推理过程补充 完整． ∵（已知）， ∴ ________（________________） ∵（已知） ∴ ________（________________） ∵（已知）， ∴_________________（________________）． 【变式1】如图，已知，． 求证：． 证明：∵ ( 已知  )， ∴ （ ） ∴（ ） 又∵（已知 ）， ∴ ( )   ∴（ ） ∴（ ） 【变式2】  完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【变式3】数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 考点8：垂直同一直线的两直线平行 典例8：下列说法：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若，，则；④若，，则．正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】在同一平面内，若a，b，c，d为直线，则下列说法正确的是（    ） A． ，， B． ，， C． ，， D． ，， 【变式2】  在同一平面内，若直线，，，，则直线，的位置关系是 ． 【变式3】在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线及其判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平行线及画法 （1）平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示， 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。 （2）平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。 （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合 （二）平行公理及推论 （1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 （2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 几何描述 ：∵∥，∥ 　　　　 ∴∥ （三）平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 模块三 考点一遍过 考点1：平行线的定义 典例1：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行； 故选C． 【变式1】在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行 【答案】B 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．根据同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答． 【详解】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系， 故选：B． 【变式2】  如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 【答案】 ③ ⑤ 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、相交线、平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交； 对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交； 对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交； 对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行． 故答案为：③；⑤． 【变式3】在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与 ； （2）若与有且只有一个公共点，则与 ； （3）若与有两个公共点，则与 ． 【答案】 互相平行 相交 重合 【知识点】平面内两直线的位置关系 【解析】略 考点2：平面内两直线的位置关系 典例2：下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理推论的应用、同旁内角互补两直线平行、两直线平行同位角相等 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是解题关键．分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误； ②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题正确； ④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误． 综上分析可知：正确的有1个． 故选：A． 【变式1】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交． 根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 【变式2】  观察如图所示的长方体． （）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ； （）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知 内，不相交的两条直线才能叫做平行线． 【答案】 ； ； ； 不是； 同一平面． 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】（）由平行线及垂线定义可得答案； （）由平行线定义可得答案； 本题考查了平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵该图是长方体， ∴，，，， 故答案为：；；；； （）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 【变式3】已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ． 【答案】 【知识点】平面内两直线的位置关系、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据题意得到前面直线序号为偶数两直线垂直，奇数两直线平行，即可得到结果；判断与，，，，，的关系，即可得到规律：，，，，四个一循环，则刚好开始进入新的循环，即可求解 【详解】根据题意得：直线与直线的位置关系是垂直． ∵，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴可得规律为：，，，，，，…… 所以可得到规律：，，，，四个一循环， 根据规律 ∴ ∵ ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，注意找到规律：⊥，⊥，，，四个一循环是解此题的关键． 考点3：平行线的画法 典例3：如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 【变式1】如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了用三角板和直尺作平行线的和垂线，解题的关键是熟练掌握过一点作平行线和垂线的方法． （1）用直尺和三角板作直线的平行线即可； （2）用三角板的直角作直线的垂线即可； （3）用三角板的直角作直线的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的平行线； （2）解：如图，直线即为所求作的垂线； （3）解：如图，线段即为所求作的垂线段． 【变式2】  （1）过点A画直线的平行线； （2）过点B画直线的垂线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画过一点画已知直线的平行线和垂线，掌握作图方法是解题关键． （1）过点A画直线的平行线即可； （2）过点B画直线的垂线即可． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求． 【变式3】如图，按要求画图并回答问题： (1)过点画点到直线的垂线段，垂足为； (2)过点画直线，交的延长线于点； (3)在线段，，中，最短的是______，理由为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【知识点】垂线段最短、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了画垂线，画平行线，垂线段最短： （1）根据垂线的画法画图即可； （2）根据平行线的画法画图即可； （3）根据垂线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； （3）解：由垂线段最短可知，在线段，，中，最短的是， 故答案为：，垂线段最短． 考点4：平行公理及推论 典例4：在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 【变式1】下面命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平移前后的两个图形对应线段相等且平行；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．真命题的个数是（   ） A．2 B．3 C．0 D．1 【答案】C 【知识点】点到直线的距离、平行公理的应用、判断命题真假、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了命题，平行公理，平移的性质，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件．利用平行公理，平移的性质，点到直线的距离的定义等逐项判断即可． 【详解】解：①同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②平移前后的两个图形对应线段相等且平行或在同一直线上，故②错误； ③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故③错误； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故④错误， 故真命题的个数是0， 故选：C． 【变式2】  生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据与相交，来判定与的关系． 【详解】解：∵与相交，， ∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式3】在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号） 【答案】② 【知识点】平行公理的应用、平行公理推论的应用、判断命题真假 【分析】此题主要考查了平行公理和推论，命题的真假．熟练掌握同一平面内两条直线的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，对各选项进行判断即可． 【详解】解：在同一平面内，有三条直线a，b，c， ①若a与b相交，b与c相交，则a与c不一定相交，故原命题不正确； ②若，，则；，故原命题正确； ③若，，则，故原命题不正确． 故答案为：②． 考点5：平行线的判定——同位角相等 典例5：已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、同位角相等两直线平行 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答． 根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】证明：，， ， ． 【变式1】如图，在中，．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在上截取，连接； (2)过作的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查尺规作图． （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可； （2）先以点为顶点作一个角，边与交于一点即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： 【变式2】  如图所示，在四边形中，已知，平分交于点E，平分交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； 【知识点】同位角相等两直线平行、与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形内角和、平行线的判定及角平分线的定义． （1）根据四边形的内角和是及即可求出； （2）由（1）及角平分线的定义证明出，再根据及余角的性质得出即可证平行． 【详解】（1）证明：四边形中，，， ． （2）证明：平分交于点E，平分交于点F， ， ， ， 中， ， ． 【变式3】如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    【答案】见解析． 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行 【分析】根据角平分线的定义，可证得，结合，即可证明结论． 【详解】∵平分，， ∴． 又， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定，牢记平行线判定的方法是解题的关键． 考点6：平行线的判定——内错角相等 典例6：如图，于点，，求证： 【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【变式1】如图，，，．问吗？为什么？    【答案】，理由见解析. 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理内容：内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，是解题关键． 【详解】解：．理由如下： ， ． ， ． ， ． ∴（内错角相等两直线平行） 【变式2】  如图，，平分．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据角平分线的定义，证明，即可解答，熟知“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键． 【详解】证明：平分， ． ， ， ． 【变式3】完成下面的证明． 如图，分别平分．求证．    证明：， （____________________）． 分别平分， ∴， ______（____________________）． 又， （____________________）． ∴（____________________）． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、内错角相等两直线平行 【分析】先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分， ∴， （角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 考点7：平行线的判定——同旁内角互补 典例7：如图，已知．将下列推理过程补充 完整． ∵（已知）， ∴ ________（________________） ∵（已知） ∴ ________（________________） ∵（已知）， ∴_________________（________________）． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，作答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式1】如图，已知，． 求证：． 证明：∵ ( 已知  )， ∴ （ ） ∴（ ） 又∵（已知 ）， ∴ ( )   ∴（ ） ∴（ ） 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】先根据证明，利用平行线的性质，结合已知证明即可得证． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知 ）， ∴（等式的性质）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的性质；内错角相等两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【变式2】  完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同平行于一条直线的两条直线互相平行 【知识点】平行公理推论的应用、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键． 先由，得到再由，得到，最后得到． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， ． （同平行于一条直线的两条直线互相平行）． 【变式3】数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行） (2)内错角相等，两直线平行 (3)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法解题即可． （1）根据或者即可得出答案． （2）根据即可得出答案． （3）证明，即可得出． 【详解】（1）解∶∵， ∴， 或∵， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）． （2）∵ ∴， 故答案为：内错角相等，两直线平行． （3）理由： ，， ． 又， ， ． 考点8：垂直同一直线的两直线平行 典例8：下列说法：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若，，则；④若，，则．正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、平行公理的应用、垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的判定与性质、垂直的性质，熟练掌握平行线的判定与性质及垂直的性质是解题的关键．利用平行线的判定与性质、垂线的性质逐一判断即可． 【详解】解：①中，应为：两直线平行，同位角相等，故错误； ②中，应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ③中，若，，则，故正确； ④中，应为：在同一平面内，若，，则，故错误． 综上所述，正确的有③，共个． 故选：A． 【变式1】在同一平面内，若a，b，c，d为直线，则下列说法正确的是（    ） A． ，， B． ，， C． ，， D． ，， 【答案】D 【知识点】平行公理推论的应用、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直于同一条直线的两直线平行，平行于同一条直线的两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：A、 ，， ，不能得到，原选项错误； B、 ，， ，原选项错误； C、，，无法得到，原选项错误； D、 ，， ，正确； 故选：D． 【变式2】  在同一平面内，若直线，，，，则直线，的位置关系是 ． 【答案】 【知识点】平行公理推论的应用、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，得到直线、与直线、的位置关系，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法，平行公理的应用．掌握垂直于同一条直线的两条直线互相平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行是解决本题的关键． 【变式3】在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ． 【答案】 平行 平行 【知识点】平行公理推论的应用、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环． 【详解】如图，a1⊥a2，a2∥a3， ∴a1⊥a3， ∵a3⊥a4， ∴a1∥a4， ∵a4∥a5， ∴a1∥a5， …， 依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，连续4条直线的位置关系为一个循环． ∴2021＝505×4+1， ∴a1∥a20 故答案是：平行；平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律． 学科网（北京）股份有限公司 $$