第17章 函数及其图象（题型清单）（十九类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第17章 函数及其图象（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：变量与函数 1.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 2.常量：取值始终不变的量，称为常量。 3.自变量与因变量：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则称x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。 4.函数的表示方法：通常有列表法、解析法和图象法三种。 要点二：平面直角坐标系 1.定义：在数学中，用一对有序实数来确定平面上点的位置。在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，就建立了平面直角坐标系。通常把水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点。 2.坐标：点的横坐标表示其在平面直角坐标系中x轴上的位置，纵坐标表示其在y轴上的位置。 3.象限：平面直角坐标系被坐标轴分为四个象限，第一象限的点横坐标和纵坐标都为正，第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，第三象限的点横坐标和纵坐标都为负，第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负。 要点三：函数的图象 1.定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 2.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线。 要点四：一次函数 1.定义：一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx（k为常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。 2.图象：一次函数的图象是一条直线，正比例函数的图象是一条经过原点的直线。 3.性质：一次函数y=kx+b（k≠0）有以下性质，若k>0，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；若k<0，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。 要点五：反比例函数 1.定义：反比例函数的一般形式为y=k/x（k为常数，k≠0），其中自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 2.图象：反比例函数的图象由两条曲线组成，是双曲线。 3.性质：反比例函数的图象关于原点对称，且在每个象限内，y随x的增大而减小。 03 题型归纳 题型一　函数的概念 例题：下列选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数， ∴A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．下列图象中，表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，据此判断即可． 【详解】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； B、y是x的函数，该选项符合题意； C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； D、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意． 故选：B． 2．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧．若点燃后燃烧时间为，所剩余蜡烛的长为，则在这个变化过程中，下列判断错误的是（    ） A．20是常量 B．是自变量 C．是因变量 D．是的函数 【答案】D 【分析】本题考查了函数的相关定义，根据函数的相关定义逐个判断即可． 【详解】解：根据题意可得： 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧．若点燃后燃烧时间为，所剩余蜡烛的长为，则在这个变化过程中，20是常量，是自变量，是因变量，是的函数， 故A、B、C正确，不符合题意；D不正确，符合题意； 故选：D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数的定义，结合函数的概念可知，一个函数关系式有两个变量，其中一个是自变量，另一个是自变量的函数，根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．一年中，同一个气温可以对应很多个时间，则时间不一定是气温的函数，原说法错误，故该选项不符合题意； B．正方形的面积公式中，和都是变量，原说法错误，故该选项不符合题意； C．公共汽车全线有15个站．其中站票价5角，站票价1元，站票价1.5元，则票价是乘车站数的函数，原说法正确，故该选项符合题意； D．圆的周长与半径之间有函数关系为，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型二　正比例、一次、反比例函数的定义 例题：下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数． 根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，y不是x的正比例函数，故A不符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故B不符合题意； C、，y是x的正比例函数，故C符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．函数①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（k、b为常数，）的函数叫做一次函数，由此判断即可． 【详解】解：①当，才是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 故是一次函数的有②④，共2个． 故选：B． 2．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一次函数中：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0． ∴即可， 故答案为：（答案不唯一）． 3．用函数表达式表示下列问题中的两个变量之间的关系，其中是反比例函数的关系是 ． （1）长为的绳子剪下m米后，还剩下n米； （2）买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； （3）矩形的面积为，相邻两边的边长是； （4）家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟； 【答案】（3）（4）/（4）（3） 【分析】分别根据题意列出对应的函数关系式，再根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：（1）长为的绳子剪下m米后，还剩下n米，则，这不是反比例函数，不符合题意； （2）买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元，则，这是正比例函数，不符合题意； （3）矩形的面积为，相邻两边的边长是，则，这是反比例函数，符合题意； （4）家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟，则，这是反比例函数，符合题意， 故答案为：（3）（4）． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． 题型三　有序数对 例题：A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（　　） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 【答案】C 【分析】本题考查了在平面内确定物体的位置，正确理解确定的条件是解题关键．在平面内确定物体的位置需要东经与北纬的度数两个数据，确定点在东经的哪一条线上，北纬的哪一条线上，即可写出的位置． 【详解】解：地的位置是东经，北纬， 故选：C． 巩固训练 1．根据下列表述，能准确确定位置的是（    ） A．郑州位于东经 B．教室里，小涵的座位在第三排 C．教学楼在升旗台的南偏西方向100m处 D．此刻，风筝停留在25m的高空 【答案】C 【分析】本题考查了有序数对表示位置，解题的关键是理解有序数对表示位置．根据有序数对表示位置即可得． 【详解】解：A．郑州位于东经，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B．教室里，小涵的座位在第三排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C．教学楼在升旗台的南偏西方向100m处，能确定具体位置，故本选项符合题意； D．此刻，风筝停留在25m的高空，不能确定具体位置，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．电影票上将“8排9号”记为，则“12排5号”记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．根据第一个数表示排数，第二个数表示号数，然后写出即可． 【详解】第一个数字表示排，第二个数字表示号，所以“12排5号”记为， 故答案为：． 3．在某表格里，如果用表示第3行第10列，那么第7行第5列用坐标表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据题意即可确定． 【详解】解：第7行第5列用坐标表示为， 故答案为：． 题型四　平面直角坐标系中的点与象限 例题：如图，在某平面直角坐标系的网格中，点A的坐标为，点C的坐标为，则它的坐标原点为（    ） A．点B B．点D C．点P D．点Q 【答案】C 【分析】根据点A的坐标为，点C的坐标为确定出x、y轴，即可得． 【详解】解：由题意得： ∴坐标原点为点P， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是能够正确的画出x、y轴，． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 故点所在的象限是第二象限． 故选：B． 2．若点的坐标满足方程，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和偶次方的非负性，点的坐标，根据绝对值和偶次方的非负性求出x，y的值，即可写出点的坐标． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，点到坐标轴的距离，以及象限内点的坐标特征，熟练运用象限内点的坐标特征是解决此题的关键， 根据点到坐标轴的距离可知点P横坐标的绝对值是5，纵坐标的绝对值是2，根据第一象限内的点横纵坐标都为正数得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：点在第一象限， ∴， ∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点P到轴的距离为7，到轴的距离为8， ∴， ∴， 故答案为：2，3． 题型五　函数图象认识 例题：下列各图象中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，变量y都有唯一值与之对应，称y是x的函数，据此判断即可． 本题考查了函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得A，B，D都符合题意，C中对于一个x的值有多个y值对应，y不是x的函数，符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．下列图象不能反映是的函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，理解函数定义，结合图象是解题关键．根据函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”即可得． 【详解】解：观察四个图象，B选项中对于的每一个确定的值，y的值都不唯一，这不符合y是x的函数的定义； A、C、D三个选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，符合y是x的函数的定义． 故选：B． 2．小刚从家出发步行去学校， 几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚， 同时小刚以原速的两倍跑步回家， 爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家， 而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校(小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程 (米)与小刚从家出发到学校的时间 (分钟)之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为 ． 【答案】 【分析】根据图像求出相遇后爸爸回家所用的时间，进而得出小刚打完电话与爸爸相遇所用的时间，结合题意得出相遇后爸爸2分钟走的路程，得到小刚后来的速度，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，小刚和爸爸相遇后，到小刚爸爸回到家用时（分钟）， ∵爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家， ∴小刚打完电话到与爸爸相遇用的时间为1分钟， ∵由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校， ∴小刚和爸爸相遇之后跑步的1分和爸爸2分钟走的路程是720米， ∴小刚后来的速度为：（米/分钟） 则步行的速度是（米/分钟）. 故答案为：160． 【点睛】本题主要考查了函数的图像问题，解题关键是理解每一段图像所表示的意思． 3．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班． 【答案】2 【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间． 【详解】解：由题意得： 七（1）班的速度为： 联络员与七（1）班的速度差为： 即联络员的速度为： 当七（2）班出发时， 联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和， 设七（2）班的速度为 列出方程： ， 解得： 即七（2）班的速度为， 则七（2）班追上七（1）班需要的时间为： 故填：2． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度． 题型六　一次函数的图象 例题：一次函数的图像不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的性质是解题关键．根据题意可知，，可知该一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，即可获得答案． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴该一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 巩固训练 1．如图，一次函数的图像与轴交于点，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像和系数的关系，直线经过一、三、四象限，可得，，据此推理判断即可． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，，故选项A、B错误； 直线与轴交于点， 当时，函数， ，故C错误； ∵， ∴，即，故D正确； 故选：D． 2．请写出一个图象平行于直线的一次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质．一次函数为常数，是一条直线，根据两直线平行的问题，可得所求的一次函数解析式，只要写一个的一次函数即可，注意答案不唯一． 【详解】解：设一次函数解析式为， ∵图象平行于直线， ∴一次函数解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)若点是直线上一点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）分别把、代入函数解析式计算即可求解； （）求出点坐标，再利用两点间距离公式计算即可求解； 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七　正比例函数的图象 例题：正比例函数和一次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与正比例函数中的图象与系数的关系，通过图象找到，，是解题的关键，通过图象得到，，即可求解． 【详解】解：由图得：正比例函数中；一次函数中，， A、，故该选项不符合题意； B、；故该选项不符合题意； C、；故该选项符合题意； D、；故该选项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质；先求出正比例函数的解析式，再依次判断选项中的四个点是否在所求的正比例函数图象上即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵正比例函数的图像经过点， ∴， 即， ∴正比例函数解析式为； 显然点与的横坐标相同，但纵坐标不相同，点不在的图象上； 当时，， ∴点不在的图象上；点在的图象上； 当时，， ∴点不在的图象上； 综上，点在的图象上； 故选：C． 2．如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据正比例函数的定义求参数的值，根据正比例函数的定义，结合正比例函数图象所经过的象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 3．已知y与x成正比例且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)若点在此函数的图象上，求a的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数的关系式； （2）把点代入即可求得的值． 【详解】（1）解：与成正比例， 设，把，代入，得． 解得：． 故与的函数关系式为． （2）把点代入得：， 解得：． 【点睛】本题考查正比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数从而求得其解析式．把所求点代入即可求出的值． 题型八　反比例函数的图象 例题：在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是（    ） A． B． C．3 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故选：D． 巩固训练 1．如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为12，则的值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，连接，根据对称性质，继而得到三角形面积，根据k值几何意义和图象所在象限可得k值． 【详解】解：连接，如解图所示． 点是点关于轴的对称点， ． ． ∵是反比例函数图象上一点，轴， ， ∴ 又当时，反比例函数的图象位于第一象限， ， 故选：B． 2．如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 3．如图1，在中，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平画直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练列出函数解析式是解答本题的关键． （1）分阶段写出关于的函数表达式即可； （2）根据（1）的函数解析式画出的图象并写出一条性质即可； （3）结合函数图象，直接写出时的取值即可． 【详解】（1）过点D作，则四边形为矩形， ∵为中点， ， 当时， 当时， （2）图象如图所示，性质如下： 增减性：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 最值：该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值；当时，函数取得最大值； （3）由图可知： ． 题型九　一次函数的平移 例题：把函数的图像进行平移，所得到的图像对应的函数表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，根据函数图象平移的法则可知平移后不变，据此解答即可． 【详解】解：∵函数图象平移后不变， ∴把函数的图像进行平移，所得到的图像对应的函数表达式可能是， 故选：D． 巩固训练 1．将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移3个单位所得函数的解析式为，即2． 故选：B． 2．一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．利用“上加下减"的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，则平移后直线解析式为， ∵平移后直线经过点 ∴， 解得：， ∴平移后直线解析式为． 故答案为：． 3．已知一次函数． (1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围； (2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数的系数与图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据若图象经过一、二、三象限，，解不等式组即可解决问题； （2）根据图象平行于直线，所以相同即可求得，从而求得直线为． 【详解】（1）解：∵函数图象经过一、二、三象限， ∴， 解得． （2）∵一次函数的图象与直线平行， ∴，解得：． ∴， ∴这个函数的表达式为． 题型十　一次函数的增减性 例题：正比例函数的图象经过点，点和点，当时，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质，逐一判定各个选项即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点，点和点， ，，， 当时， 若，则，同为正，或，同为负，， 故或，故选项A错误； 若，则，异号，故，， 当时，； 当时，；故选项B错误； 若，则，异号，故，，故，故选项C错误； 若，则，异号，故，，故，故选项D正确； 故选D． 巩固训练 1．一次函数，若，两点在该一次函数的图像上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴y随x的增大而减小， 当时，， 解得 ∵， ∴， ∴． 故选C． 2．已知点，都在直线上，则 （用“、、”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键．先根据一次函数解析式判断一次函数的增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴对于，y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 3．探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； (2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)①，②见解析 (2)①；；② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握画图方法是解答本题的关键． （1）①根据解析式代入数据计算即可填表，②根据表格描点画图即可； （2）①根据图象可得函数的最大值；根据图象当y随x增大而减小时可得x的取值范围；②根据图象当时，可得x的取值范围． 【详解】（1）解：①完成下面列表： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 1 2 3 2 1 0 … ②函数图象如图所示： （2）解：①根据图象得：时，函数的最大值为，当y随x增大而减小时，x的取值范围是； ②根据图象结合表格得：当时，x的取值范围是． 题型十一　反比例函数的对称性 例题：下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握所有在反比例函数图像上的点的纵横坐标的积，应等于比例系数是解答本题的关键． 将选项中点的纵横坐标相乘，结果是比例系数的，就在双曲线的图象上． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 将选项中点的纵横坐标相乘： A选项，符合题意； B选项，不符合题意； C选项，不符合题意； D选项，不符合题意， 故选A． 巩固训练 1．若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两函数图象的一个交点横坐标为2，将代入正比例求得，则正比例函数与反比例函数交点，利用反比例函数的中心对称性即可求得另一个交点的坐标． 【详解】解： 一个交点的横坐标为2， 将代入得：， 交点为， 反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为， 另一个交点为． 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求得第一个交点坐标是解题的关键． 2．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵B的坐标为， ∴A的坐标为， 故答案为：． 3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)的取值范围为或． 【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解题； （2）先利用正比例函数求出交点，再将代入反比例函数求解，即可解题； （3）根据反比例函数与正比例函数的交点，再根据交点情况即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵正比例函数的图象过点， ∴， 反比例函数与正比例函数交点为， ∴， 解得； （3）解：由，则，解得：， ∴反比例函数与正比例函数的交点为，， ∴当时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，一次函数与反比例函数交点情况，以及根据一次函数与反比例函数交点情况求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 题型十二　一次函数与一元一次方程 例题：在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确． 【详解】解：∵， ∴一次函数过点，故B、C、D不合题意， A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．一次函数 与x轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入求出x的值，进而可得出一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标，令求出y的值可求出图象与y轴的交点坐标，令求出x的值可求出图象与x轴的交点坐标． 2．已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 3．如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用相似求出线段长度是解题的关键． （1）分别令x，y为0即可求得B，A的坐标，利用勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得： （2）当点G与点B重合时，如图，则 直线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 的面积 题型十三　一次函数与二元一次方程组 例题：如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 巩固训练 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为 ， ． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 3．在平面直角坐标系中，有直线和直线，它们的交点为P，与x轴交于点A，与x轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)用图象法解方程组 ； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据函数值为零，可得相应自变量的值，可得图象与轴的交点坐标； （2）根据图象的交点坐标是相应方程组的解，可得答案， （3）根据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）解：当时，，解得，即； ，解得，即； （2）可变形为： 和的图象如图，      交点P坐标为： 故方程组的解为是； （3）． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 题型十四　一次函数与一元一次不等式 例题：如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，掌握函数图象的交点同时满足函数解析式成为解题的关键．联立解析式，求解对应的二元一次方程组即可求解．先根据题意列不等式组求得交点坐标，然后再根据交点在第一象限列不等式组求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴直线与直线的交点为， ∵直线与直线的交点在第一象限， ∴，解得：． 故选D． 巩固训练 1．如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 2．直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系．满足关于的不等式就是直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求得不等式的解集，再解不等式得，据此求解即可． 【详解】解：画草图，如图， ∵直线与的交点的横坐标为， ∴关于的不等式的解集为， 解不等式得， ∴关于的不等式组的解集为． 故答案为：． 3．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一次函数图象及性质，已知自变量值求函数值，代数式求值等． （1）将代入中即可求出的值，再将代入中，继而求出的值； （2）根据图象可得本题答案． 【详解】（1）解：点在直线：上， ， 点在直线：上， ， ∴； （2）解：∵，交点为， ∴． 题型十五　一次函数与反比例函数结合 例题：在平面直角坐标系中，点是函数的图象与函数的图象的交点． (1)求的值和函数的表达式； (2)若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，函数的表达式为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据交点，代入代入函数，求出的值，得出点的坐标为，再把代入，求出的值，即可得出函数的表达式； （2）由（1）得函数的表达式为，联立函数表达式，整理得出方程，求解得出函数的图象与函数的图象的交点，画出两函数的图象，根据图象，函数的值大于函数的值，即函数的图象在函数的图象上方时，得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点是函数的图象与函数的图象的交点， ∴把点代入函数得：， 解得：， ∴点的坐标为， 把代入得：， ∴， ∴函数的表达式为； （2）解：∵由（1）得函数的表达式为， ∴联立函数表达式得：， 整理得方程：， 解得：，， ∴，；，， ∴函数的图象与函数的图象的交点是和， 如图，画出两函数的图象， ∵函数的值大于函数的值， ∴或． 巩固训练 1．一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2)①8；② 或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用， （1）将代入一次函数可得的值为3，将代入反比例函数 可得的值，从而可得答案； （2）①先求解，再结合三角形的面积公式计算即可； ②根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数中，得 ， ， ， 将代入反比例函数得： ， ， 反比例函数解析式为 ； （2）解：① 在中，当时， ， ， ∴， ； ②∵， ∴， 由图象可得：或． 2．如图，双曲线与直线交于点． (1)求的值； (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)若直线与双曲线，直线和轴分别交于点，，，且，，中的两点关于第三点对称，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，理解函数图象上点坐标的特征，以及函数图象与不等式之间的关系是解题关键． （1）先将点坐标代入一次函数中求解即可得到完整坐标，然后将点完整坐标代入反比例函数解析式即可得到值； （2）求不等式的解集，实则找出一次函数图象位于反比例函数图象下方部分所对应的自变量的取值范围即可，从而结合（1）的结论以及函数图象直接写出即可； （3）先表示出，，三点坐标，再根据题意分情况：当为的中点和当为的中点时，求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ． 将代入， 解得； （2）解：根据表达式与，观察图像得， 所以的解集为； （3）解：由可得，，． 直线与轴的交点为， 结合图象可得当为的中点时，， 解得，（舍去）； 当为的中点时，， 解得，（舍去）， 的值为或． 3．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)4 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点，代入得，，进而可得反比例函数的表达式，点，将，代入即可得出一次函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，，结合函数的图象即可得出当时，的取值范围； （3）设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，则点，点，由此可得，，，然后根据可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，解得 把代入，得到，解得， 反比例函数的表达式为，点， 将，代入， 得，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：一次函数与反比例函数交于点，， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 对于，当时，，当时，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点，， ，， ，， ． 题型十六　一次函数的应用 例题：为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车，如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡上预留的安全距离． (1)当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y米，则y与x的关系式是 ； (2)若该超市扶手电梯水平距离为4m，高为3m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多． 【答案】(1) (2)17辆，扶手电梯一次性转运的购物车数量多． 【分析】本题考查函数关系式，根据题意写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）1辆购物车时长度为，每增加一辆长度增加，据此写出y与x的关系式即可； （2）在中利用勾股定理求出，根据题意列关于x的一元一次不等式并求解，比较x的最大值与12的大小关系即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴y与x的关系式是． 故答案为：． （2）在中利用勾股定理，得， 根据题意，得， 解得， ∴扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车， ∵， ∴扶手电梯一次性转运的购物车数量多． 巩固训练 1．小英目前在甲地工作，“十一黄金周”期间，回乙地探亲．甲乙两地相距，现有一列火车从甲地出发，以的速度向乙地行驶．设表示火车行驶的时间，表示火车与乙地的距离． (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)火车离开甲地行驶了40分钟，此时小英距离家里还有多远？ 【答案】(1)，是的一次函数 (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用、求函数值，理清题意，根据数量关系列出关系式是解题的关键： （1）根据“路程速度时间”可列出关系式，再根据一次函数的定义即可求解； （2）将代入原函数即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 与之间的关系式为：，是的一次函数． （2）解：分钟小时， 当时， ． ∴此时小英距离家里还有. 2．【项目主题】气温与海拔高度之间的关系 【项目背景】数学风暴社团到附近山地进行实践活动，开展了“气温与海拔高度变化之间的关系”为主题的跨学科活动． 【任务驱动】 任务一：该社团分组行动，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 … 10 11 12 13 14 15 … 气温T … … 任务二：建立数学模型，在如图所示的平面直角坐标系中，将表格中的各点描点、连线，根据图象呈现的特征，求T与h的函数关系式． 任务三：由任务二的函数关系式可知，当日同一时刻海拔高度为2500米的气温大约是______． 【答案】任务一：详见解析；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了一次函数解析式及实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键； 任务一：根据表格数据在平面直角坐标系中描点，连线即可； 任务二：设T与h之间的函数关系式为，运用待定系数法求一次函数解析式即可； 任务三：首先将2500米转化为25百米，然后代入即可解答． 【详解】解：任务一：如图所示 任务二：设T与h之间的函数关系式为 把，分别代入关系式，得 解得 所以，T与h之间的函数关系式为 任务三： 2500米百米， 将代入得 ， 故答案为：． 3．我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． (1)若，请写出与的函数关系式． (2)若，请写出与的函数关系式． (3)如果该户居民这个月交水费20元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1) (2) (3)这个月该户用了11吨水 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系找出函数关系式是解题关键． （1）当时，根据水费=用水量，即可求出y与x的函数关系式； （2）当时，根据“每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费”，把两部分费用相加即可求出y与x的函数关系式； （3）当时，，由此可知这个月该户用水量超过6吨，将代入（2）中所求的关系式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 当时，； （2）解：根据题意可知： 当时，； （3）解：∵当时，， 的最大值为（元），， 该户当月用水超过6吨． 令中，则， 解得：． 答：这个月该户用了11吨水． 题型十七　反比例函数的应用 例题：如图1，在中，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平画直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练列出函数解析式是解答本题的关键． （1）分阶段写出关于的函数表达式即可； （2）根据（1）的函数解析式画出的图象并写出一条性质即可； （3）结合函数图象，直接写出时的取值即可． 【详解】（1）过点D作，则四边形为矩形， ∵为中点， ， 当时， 当时， （2）图象如图所示，性质如下： 增减性：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 最值：该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值；当时，函数取得最大值； （3）由图可知： ． 巩固训练 1．图1为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升13，加热到100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至60时，饮水机处于恒温保温状态，若要再次加热，启动加热开关即可，当前水温为22，接通电源开始加热，水温（）与通电时间（）之间的关系如图2所示． (1)求反比例函数表达式； (2)若沏茶的最佳水温不低于80，求从当前水温22开始加热，到饮水机处于恒温保温状态的过程中，最佳沏茶的时间有多久？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出加热到需要的时间，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出所需要的时间，代入反比例函数即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得（）， 当时，， 设反比例函数表达式为，将，代入，即， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：由题意得（）， 将代入，即， ， 最佳沏茶的时间为（）， 答：最佳沏茶的时间为． 2．如图，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)； (2)画图见解析，性质见解析 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题； （1）分，，结合三角形的面积公式可得的解析式，由的长度与的比为，可得的图象． （2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质； （3）直接利用函数图象得到的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 当时，，， ∵的面积为， ∴， 当时，则，， ∴， 综上：； ∵的长度与的比为． ∴； （2）解：如图，，的图象如下： ； 当，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小． （3）解：由图象可得：当时，图象在之间； ∴； 3．如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系，其中段可看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高0.3米，宽1米，其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴． (1)①求k的值； ②求出口C点到的距离的长； (2)若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于1.5米，则Q到的距离至少是多少米？ 【答案】(1)  米 (2)米 【分析】（1）①先求出点的坐标，然后将其代入反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值；②先求出点的纵坐标，然后将其代入反比例函数解析式，得到关于的分式方程，解方程即可求出的值，进而得出点的坐标，于是即可求出的长； （2）当时，，解方程即可求出此时的值，由于，因而随x的增大而减小，由此可知，当时，米，进而可求出此时点到的距离． 【详解】（1）解：①由题意可得： （米），（米）， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：； ②（米）， 点的纵坐标为， 由得：反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 点的坐标为， （米）； （2）解：当时，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 随x的增大而减小， 当时，（米）， （米）， 点到的距离至少是米． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，解一元一次方程，解分式方程，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数的性质是解题的关键． 题型十八　一次函数与反比例函数表达式 例题：一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． (1)求a与k的值； (2)当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） (3)在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)点D的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）由图像即可判断； （3）分点D在轴正半轴上时和负半轴上时两种情况，再分别求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵反比例函数（）过点A， ∴， ∴． （2）解：当时，由图可知， 故答案为： （3）解：当点D在轴正半轴上时，如图， 过点A作轴交于点，则，此时， 此时点； 当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 巩固训练 1．如图，已知反比例函数与一次函数的图像交于点和点． (1)分别求出两个函数的解析式； (2)结合图形，直接写出满足不等式的x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式、反比例函数和一次函数的综合、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意先将点代入求出反比例函数解析式，再将代入求出的反比例函数解析式中求出m，然后利用待定系数法求解即可； （2）通过观察图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，解得，则， 把代入得，解得， ∴直线解析式为． （2）解：∵， ∴， 根据函数图象可得不等式的解集为：或， ∴不等式的x的取值范围为或． 2．已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)，或 (3)4 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键． （1）先求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，将A、B坐标代入求出a、b的值即可； （2）根据一次函数解析式求出点C、D的坐标即可；根据函数图象求出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围即可； （3）根据求出的C、D点的坐标，结合函数图象，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点， ∴ ， 解得：， ∴， 解得：， ∴ 解得； （2）解：关于直线，当时，；当时，， ∴点C的坐标为， 点D的坐标为， 观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或． （3）解： ． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，且与轴，轴分别交于点，． (1)直接写出的值； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)点在线段上，过点作轴的垂线，交反比例函数图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）根据点，先确定反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式确定点，最后代入确定一次函数的解析式计算即可 ； （2）根据图象交点坐标为，点，结合，利用交点的横坐标，直接写出解集即可； （3）根据题意，设，则，故，解答即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数 得 在的图象上 直线AB的函数解析式为 根据题意，可得 解得 直线解析式为 （2）解：根据（1）得图象交点坐标为 或 （3）解：根据题意，设，则 故 整理，得 解得 故点的坐标为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、图象交点的意义、根据图象求不等式的解集、解一元二次方程、一次函数以及反比例函数的解析式，求出函数解析式是解题的关键． 题型十九　行程问题 例题：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示： (1)根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围． (2)运用（1）的结论，求当时两车之间的距离． (3)若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式． 【答案】(1)， (2)当时两车之间的距离为200千米 (3)相遇前，相遇后 【分析】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力． （1）直接运用待定系数法就可以求出、与x之间的函数图关系式； （2）将代入（1）中的关系式，再由得出结果； （3）先求出两车相遇时所需时间，再分别根据相遇前和相遇后两种情况列出函数表达式即可． 【详解】（1）解：设，由图可知，函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴， 设由图可知，函数图象经过点，， 则， 解得：， ∴； （2）解：当时，，， ∴， 答：当时两车之间的距离为200千米； （3）解：当两车相遇时，即，解得， 故两车相遇之前S与x的函数关系式为：； 两车相遇之后S与x的函数关系式为：． 巩固训练 1．一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)小轿车的速度为，大客车的速度为 (2)点的坐标为，点实际意义是：两车出发小时后相遇，此时距离甲地 (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度； （2）先确定与所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程； （3）分三种情况求解即可； 解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：由图象可知： 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：， ∴小轿车的速度为，大客车的速度为； （2）由图像可知：，，， ∵小轿车往返的速度相同， ∴， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴点的坐标为， 点实际意义是：两车出发小时后相遇，此时距离甲地； （3）设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时， 得：，解得：； 当时，则， 得：， 此时，两车相距超过； 当时， 得：， 解得：或； 综上所述，出发后经过小时或小时或小时两车相距． 2．杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，也是国内唯一一个集城市湿地、农耕湿地和文化湿地于一体的国家湿地公园． 某日，小亮沿着访溪路经过芦雪桥、问云桥和西溪艺术集合村，它们依次在同一条直线上（图1）．芦雪桥到问云桥和西溪艺术集合村的距离分别为和．小亮从芦雪桥出发，先匀速步行了到问云桥，停留了，之后继续匀速步行了到西溪艺术集合村，并停留了，最后匀速骑行了返回芦雪桥．下图（2）反映了此过程中小亮离芦雪桥的距离随时间变化的函数图象． 请认真阅读相关信息，回答下列问题： (1)如表 小亮离开芦雪桥的时间 4 8 12 50 小亮离芦雪桥的距离 b c 填空：______，______，______． (2)当时，求y关于x的函数表达式． (3)当小亮离开芦雪桥时，他的爸爸也从芦雪桥出发匀速步行了直接到达了西溪艺术集合村，那么从问云桥到西溪艺术集合村的途中（），两人相遇时离芦雪桥的距离是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3)两人相遇时离芦雪桥的距离是 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象，当时，小亮从问云桥步行到西溪艺术集合村，设y关于x的函数表达式为，把，代入，用待定系数法求解即可； （3）先求出小亮爸爸的速度，设小亮爸爸离芦雪桥的距离为，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：芦雪桥离问云桥，小亮从芦雪桥出发，先匀速步行了到问云桥， ∴小亮的步行速度为， ∴小亮离开芦雪桥时，小亮离芦雪桥，即； 根据函数图象：小亮离开芦雪桥时，还在问云桥，故此时小亮离芦雪桥是，即； 小亮离开芦雪桥时，在西溪艺术集合村，故此时小亮离芦雪桥是，即； （2）解：根据图象，当时，小亮从问云桥步行到西溪艺术集合村， 设y关于x的函数表达式为， 把，代入， 则， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为：； （3）解：根据题意： 小亮爸爸的速度为， 设小亮爸爸离芦雪桥的距离，则， 当两人相遇时有， 解得：， 则， 答：两人相遇时离芦雪桥的距离是． 3．一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地.设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象. (1)小李骑车的速度为______米/分钟； (2)点B的坐标为______； (3)小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早_____分钟. (4)运动的时间t为_____分钟时，两人第二次相遇. 【答案】(1)240 (2)（12，2400） (3)3 (4)20 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质结合函数图象求解是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据计算即可； （2）根据题意和函数图象中的数据直接写出点的坐标即可； （3）根据题意和函数图象中的数据计算即可； （4）根据题意和函数图象中的数据计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 小李骑车的速度为：（米/分钟）， 故答案为：； （2）解：由题意得，点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：由题意得， （分钟）， 小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早分钟， 故答案为：； （4）解：由题意得，， 解得：， 运动的时间t为分钟时，两人第二次相遇， 故答案为：． 2 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 函数及其图象（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：变量与函数 1.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 2.常量：取值始终不变的量，称为常量。 3.自变量与因变量：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则称x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。 4.函数的表示方法：通常有列表法、解析法和图象法三种。 要点二：平面直角坐标系 1.定义：在数学中，用一对有序实数来确定平面上点的位置。在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，就建立了平面直角坐标系。通常把水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点。 2.坐标：点的横坐标表示其在平面直角坐标系中x轴上的位置，纵坐标表示其在y轴上的位置。 3.象限：平面直角坐标系被坐标轴分为四个象限，第一象限的点横坐标和纵坐标都为正，第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，第三象限的点横坐标和纵坐标都为负，第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负。 要点三：函数的图象 1.定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 2.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线。 要点四：一次函数 1.定义：一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx（k为常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。 2.图象：一次函数的图象是一条直线，正比例函数的图象是一条经过原点的直线。 3.性质：一次函数y=kx+b（k≠0）有以下性质，若k>0，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；若k<0，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。 要点五：反比例函数 1.定义：反比例函数的一般形式为y=k/x（k为常数，k≠0），其中自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 2.图象：反比例函数的图象由两条曲线组成，是双曲线。 3.性质：反比例函数的图象关于原点对称，且在每个象限内，y随x的增大而减小。 03 题型归纳 题型一　函数的概念 例题：下列选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列图象中，表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧．若点燃后燃烧时间为，所剩余蜡烛的长为，则在这个变化过程中，下列判断错误的是（    ） A．20是常量 B．是自变量 C．是因变量 D．是的函数 3．下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 题型二　正比例、一次、反比例函数的定义 例题：下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．函数①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 ． 3．用函数表达式表示下列问题中的两个变量之间的关系，其中是反比例函数的关系是 ． （1）长为的绳子剪下m米后，还剩下n米； （2）买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； （3）矩形的面积为，相邻两边的边长是； （4）家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟； 题型三　有序数对 例题：A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（　　） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 巩固训练 1．根据下列表述，能准确确定位置的是（    ） A．郑州位于东经 B．教室里，小涵的座位在第三排 C．教学楼在升旗台的南偏西方向100m处 D．此刻，风筝停留在25m的高空 2．电影票上将“8排9号”记为，则“12排5号”记为 ． 3．在某表格里，如果用表示第3行第10列，那么第7行第5列用坐标表示为 ． 题型四　平面直角坐标系中的点与象限 例题：如图，在某平面直角坐标系的网格中，点A的坐标为，点C的坐标为，则它的坐标原点为（    ） A．点B B．点D C．点P D．点Q 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若点的坐标满足方程，则点P的坐标为 ． 3．若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ． 题型五　函数图象认识 例题：下列各图象中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列图象不能反映是的函数的是（   ）． A． B． C． D． 2．小刚从家出发步行去学校， 几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚， 同时小刚以原速的两倍跑步回家， 爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家， 而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校(小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程 (米)与小刚从家出发到学校的时间 (分钟)之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为 ． 3．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班． 题型六　一次函数的图象 例题：一次函数的图像不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固训练 1．如图，一次函数的图像与轴交于点，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．请写出一个图象平行于直线的一次函数的表达式 ． 3．如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)若点是直线上一点，求的长． 题型七　正比例函数的图象 例题：正比例函数和一次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（    ） A． B． C． D． 2．如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 ． 3．已知y与x成正比例且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)若点在此函数的图象上，求a的值 题型八　反比例函数的图象 例题：在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是（    ） A． B． C．3 D．0 巩固训练 1．如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为12，则的值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 3．如图1，在中，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平画直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 题型九　一次函数的平移 例题：把函数的图像进行平移，所得到的图像对应的函数表达式可能是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（） A． B． C． D． 2．一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为 ． 3．已知一次函数． (1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围； (2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式． 题型十　一次函数的增减性 例题：正比例函数的图象经过点，点和点，当时，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 巩固训练 1．一次函数，若，两点在该一次函数的图像上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，都在直线上，则 （用“、、”填空）． 3．探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； (2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 题型十一　反比例函数的对称性 例题：下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 题型十二　一次函数与一元一次方程 例题：在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．一次函数 与x轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 3．如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 题型十三　一次函数与二元一次方程组 例题：如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 巩固训练 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 2．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为 ， ． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 3．在平面直角坐标系中，有直线和直线，它们的交点为P，与x轴交于点A，与x轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)用图象法解方程组 ； (3)求的面积． 题型十四　一次函数与一元一次不等式 例题：如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式组的解集为 ． 3．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)直接写出关于的不等式的解集． 题型十五　一次函数与反比例函数结合 例题：在平面直角坐标系中，点是函数的图象与函数的图象的交点． (1)求的值和函数的表达式； (2)若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 巩固训练 1．一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 2．如图，双曲线与直线交于点． (1)求的值； (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)若直线与双曲线，直线和轴分别交于点，，，且，，中的两点关于第三点对称，求的值． 3．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 题型十六　一次函数的应用 例题：为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车，如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡上预留的安全距离． (1)当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y米，则y与x的关系式是 ； (2)若该超市扶手电梯水平距离为4m，高为3m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多． 巩固训练 1．小英目前在甲地工作，“十一黄金周”期间，回乙地探亲．甲乙两地相距，现有一列火车从甲地出发，以的速度向乙地行驶．设表示火车行驶的时间，表示火车与乙地的距离． (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)火车离开甲地行驶了40分钟，此时小英距离家里还有多远？ 2．【项目主题】气温与海拔高度之间的关系 【项目背景】数学风暴社团到附近山地进行实践活动，开展了“气温与海拔高度变化之间的关系”为主题的跨学科活动． 【任务驱动】 任务一：该社团分组行动，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 … 10 11 12 13 14 15 … 气温T … … 任务二：建立数学模型，在如图所示的平面直角坐标系中，将表格中的各点描点、连线，根据图象呈现的特征，求T与h的函数关系式． 任务三：由任务二的函数关系式可知，当日同一时刻海拔高度为2500米的气温大约是______． 3．我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． (1)若，请写出与的函数关系式． (2)若，请写出与的函数关系式． (3)如果该户居民这个月交水费20元，那么这个月该户用了多少吨水？ 题型十七　反比例函数的应用 例题：如图1，在中，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平画直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 巩固训练 1．图1为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升13，加热到100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至60时，饮水机处于恒温保温状态，若要再次加热，启动加热开关即可，当前水温为22，接通电源开始加热，水温（）与通电时间（）之间的关系如图2所示． (1)求反比例函数表达式； (2)若沏茶的最佳水温不低于80，求从当前水温22开始加热，到饮水机处于恒温保温状态的过程中，最佳沏茶的时间有多久？ 2．如图，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 3．如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系，其中段可看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高0.3米，宽1米，其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴． (1)①求k的值； ②求出口C点到的距离的长； (2)若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于1.5米，则Q到的距离至少是多少米？ 题型十八　一次函数与反比例函数表达式 例题：一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． (1)求a与k的值； (2)当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） (3)在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．如图，已知反比例函数与一次函数的图像交于点和点． (1)分别求出两个函数的解析式； (2)结合图形，直接写出满足不等式的x的取值范围． 2．已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)求的面积． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，且与轴，轴分别交于点，． (1)直接写出的值； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)点在线段上，过点作轴的垂线，交反比例函数图象于点，若，求点的坐标． 题型十九　行程问题 例题：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示： (1)根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围． (2)运用（1）的结论，求当时两车之间的距离． (3)若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式． 巩固训练 1．一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 2．杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，也是国内唯一一个集城市湿地、农耕湿地和文化湿地于一体的国家湿地公园． 某日，小亮沿着访溪路经过芦雪桥、问云桥和西溪艺术集合村，它们依次在同一条直线上（图1）．芦雪桥到问云桥和西溪艺术集合村的距离分别为和．小亮从芦雪桥出发，先匀速步行了到问云桥，停留了，之后继续匀速步行了到西溪艺术集合村，并停留了，最后匀速骑行了返回芦雪桥．下图（2）反映了此过程中小亮离芦雪桥的距离随时间变化的函数图象． 请认真阅读相关信息，回答下列问题： (1)如表 小亮离开芦雪桥的时间 4 8 12 50 小亮离芦雪桥的距离 b c 填空：______，______，______． (2)当时，求y关于x的函数表达式． (3)当小亮离开芦雪桥时，他的爸爸也从芦雪桥出发匀速步行了直接到达了西溪艺术集合村，那么从问云桥到西溪艺术集合村的途中（），两人相遇时离芦雪桥的距离是多少？ 3．一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地.设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象. (1)小李骑车的速度为______米/分钟； (2)点B的坐标为______； (3)小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早_____分钟. (4)运动的时间t为_____分钟时，两人第二次相遇. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$